一阶电路和二阶电路的时域分析

1,第七章一阶电路和二阶电路的时域分析71动态电路的议程及其初始条件72一阶电路的零输入响应73一阶电路的零状态响应74一阶电路的全响应75二阶电路的零输入响应76二阶电路的零状态响应和全响应77一阶电路和二阶电路的阶跃响应78一阶电路和二阶电路的冲激响应*79卷积积分*710状态方程*711动态电路时域分析中的几个问题,2,1.换路定则和电路初始值的求法；2.掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念和物理意义；3.会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法)；4.了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的概念和物理意义；5.会分析简单的二阶电路；6.会计算一阶电路的阶跃响应、冲激响应；7.会用系统法列写简单的状态方程。,内容提要与基本要求,3,重点,(1)动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；(2)一阶电路时间常数的概念与计算；(3)一阶电路的零输入响应和零状态响应；(4)求解一阶电路的三要素法；(5)暂态分量(自由分量)和(稳态分量)强制分量概念；(6)二阶电路的零输入、零状态和全响应的概念；(7)二阶电路的方程和特征根、过渡过程的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼的概念及分析；(8)二阶电路的阶跃响应。,4,难点,(1)应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程；(2)电路初始条件的概念和确定方法；(3)二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方法和基本物理概念。,与其它章节的联系,本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。,5,7-1动态电路的方程及其初始条件,引言自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳定状态。当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状态。从一种稳定状态转到另一种新稳定状态时，往往不能跃变，而是需要一定时间，或者说需要一个过程，在工程上称过渡过程。,接通电源，C被充电，C两端的电压逐渐增长到稳态值Us，即要经历一段时间。电路中的过渡过程虽然短暂，在实践中却很重要。,6,一、动态电路的基本概念,含有动态元件(L、C)的电路称为动态电路。描述动态电路的方程是微分方程。全部由线性非时变元件构成的动态电路，其描述方程是线性常系数微分方程。只含一个动态元件(L或C)的电路，其描述方程是一阶线性常系数微分方程，称一阶电路。,一阶电路有3种分析方法：1.经典法列写电路的微分方程，求解电流和电压。是一种在时间域中进行的分析方法。,7,2.典型电路分析法,记住一些典型电路(RC串联、RL串联、RC并联、RL并联等)的分析结果，在分析非典型电路时可以设法套用。,3.三要素法只要知道一阶电路的三个要素，代入一个公式就可以直接得到结果，这是分析一阶电路的最有效方法。,重点掌握3，1、2两种方法可掌握其中之一。,8,9,10,11,二、换路及换路定则,1.换路电路结构或元件参数的改变称为换路。换路是在t=0(或t=t0)时刻进行的。,含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于储能元件L、C，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要,纯电阻电路在换路时没有过渡期。,一定的时间来完成。,12,2.换路定则,在换路前后：,q(0+)=q(0-)+,0+,0-,iC(x)dx,以t=t0=0作为换路的计时起点：换路前最终时刻记为t=0-，换路后最初时刻记为t=0+。,线性电容C的电荷,0-到0+瞬间，iC(t)为有限值时，积分为0。,q(0+)=q(0-)C上的电荷不能跃变！,由q(t)=CuC(t)可知，当换路前后C不变时,uC(0+)=uC(0-)C两端的电压也不能跃变！,13,Y(0+)=Y(0-)L中的磁链不能跃变！由Y(t)=LiL(t)可知，当换路前后L不变时iL(0+)=iL(0-)L中的电流也不能跃变！,同理可得：,q(0+)=q(0-),uC(0+)=uC(0-),换路定则表明,(1)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律的体现。(2)换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。这是磁链守恒定律的体现。,14,三、初始值的计算,解：,换路前的“原电路”,求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。,1.由换路前的“原电路”计算uC(0-)和iL(0-)。,iC(0-)=0，C视为开路。uL(0-)=0，L视为短路。,iL(0-)=12A,uC(0-)=24V,=iL(0+),=uC(0+),由等效电路算出,15,2.画出t=0+等效电路：电感用电流源替代，电容用电压源替代。,iC(0+)=,48-24,3,=8A,uL(0+)=,48-212,=24V,iL(0-)=12A=iL(0+),uC(0-)=24V=uC(0+),i(0+)=iL(0+)+iC(0+),=12+8=20A,t=0+时刻的等效电路,16,7-2一阶电路的零输入响应,零输入响应：在电源激励为零的情况下，由动态元件的初始值(0)引起的响应。,1.RC电路,换路后的“新电路”,=Ri,由KVL得：,duc,dt,RC,+uC=0,uR,分析RC电路的零输入响应，实际上是分析其放电过程。,一阶齐次微分方程,17,=RC称RC电路的时间常数。若R取W，C取F，则t为s。的大小，反映uC的变化快慢：,p=-,RC,1,通解,uC=Ae,由初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0得：,uC=U0e,=U0e,，t0,t的图解,特征方程,特征根,RCp+1=0,18,t=0，uC=U0,t=t，uC=U0e-10.638U0,在理论上，要经过无限长时间，uC才能衰减到0。在工程上，认为经过35时间，过渡过程即告结束。,t=3t，uC=U0e-30.05U0,t=5t，uC=U0e-50.007U0,uR,WR=,0,i2(t)Rdt,=,C储存的能量全被R吸收，并转换成热能消耗掉。,19,令=RC,称为一阶电路的时间常数,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,从以上各式可以得出：,连续函数,跃变,（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；,20,时间常数的大小反映了电路过渡过程时间的长短,=RC,大过渡过程时间长,小过渡过程时间短,电压初值一定：,R大（C一定）i=u/R放电电流小,C大（R一定）W=Cu2/2储能大,物理含义,21,工程上认为,经过35,过渡过程结束。,：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。,t1时刻曲线的斜率等于,U00.368U00.135U00.05U00.007U0,U0U0e-1U0e-2U0e-3U0e-5,次切距的长度,22,（3）能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.,设uC(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,23,例,已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,解,这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：,分流得：,24,例：试求t0时的i(t)。,换路后，C通过(R1/R2)放电，Req=R1/R2=2。所以t=ReqC=2s引用典型电路结果：,uC(0-)=,2+4+4,104,=4V,根据换路定则：uC(0-)=uC(0+)=4V,uC=uC(0+)e,=4e-0.5tV,i=-,=-e-0.5tA,解：,(t0),(t0),25,2.RL电路,由KVLuL+uR=0,di,L,dt,+Ri,=0,i(0+)=i(0-),=,R0,U0,i(t)=i(0+)e,为RL电路的时间常数。,得i(t),代入初试条件,(t0),26,电阻和电感上的电压分别为：,uR,=Ri,=RI0e,uL=-uR,=-RI0e,di,dt,L,或者：uL=,=-RI0e,，(t0),，(t0),，(t0),27,从以上式子可以得出：,连续函数,跃变,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；,28,令=L/R,称为一阶RL电路时间常数,L大W=Li2/2起始能量大R小P=Ri2放电过程消耗能量小,大过渡过程时间长,小过渡过程时间短,物理含义,时间常数的大小反映了电路过渡过程时间的长短,=L/R,电流初值i(0)一定：,29,（3）能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.,设iL(0+)=I0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,30,3.例题分析P144例7-2,试求：t；i(0+)和i(0-)；i(t)和uV(t)；uV(0+)。,某300kW汽轮发电机励磁回路的电路模型,电压表的量程才50V。,t=,R+RV,L,=,0.189+5103,0.398,=79.6(ms),i(0-),R,U,=,0.189,35,=185.2A,i(t)=185.2e-12560tA,uV(t)=-RVi(t)=-926e-12560tkV,uV(0+)=926kV!,实践中，要切断L的电流，必须考虑磁场能量的释放问题,解：,=i(0+),31,7-3一阶电路的零状态响应,零状态响应：在动态元件初值为0的状态下，外施激励引起的响应。,1.RC电路由KVL：uR+uC=US,uR=Ri,=RC,常系数非齐次线性方程,对应的齐次方程：,其解为：uC=uC+uC,通解：,uC=Ae,特解：,uC=US,所以：uC=US+Ae,32,与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解,变化规律由电路参数和结构决定,全解,uC(0+)=A+US=0,A=US,由起始条件uC(0+)=0定积分常数A,的通解,的特解,33,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：,从以上式子可以得出：,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,暫态分量（自由分量）,+,34,（2）响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大，充电慢，小充电就快。,（3）响应与外加激励成线性关系；,（4）能量关系,电容储存：,电源提供能量：,电阻消耗,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,35,2.RL电路的零状态响应,(1)激励是恒定直流(并联）换路前：iL(0+)=iL(0-)=0,换路后：iR+iL=IS,S,R,L,+,-,IS,uL,t=0,iR,iL,iR=,uL,R,=,L,R,diL,dt,L,R,diL,dt,+iL=IS,解得：,代入,式中：,36,已知iL(0)=0，电路方程为：,(2)激励是恒定直流(串联）,37,例1,t=0时,开关K打开，求t0后iL、uL的变化规律。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,38,7-4一阶电路的全响应,1.全响应：外施激励和动态元件初值都不为零时的响应。,uC(0+)=uC(0-)=U0,uC=US,+(U0-US)e,(1)一阶电路的全响应可以看成是稳态分量(强制分量)与暂态分量(自由分量)之和。,=,+,2.全响应的两种分解方式,强制分量,自由分量,39,(2)把上式改写成下列形式：,此种分解方式便于叠加计算，体现了线性电路的叠加性质。,=,+,40,3.三要素法,(1)在恒定激励下,f(t)=f()+f(0+)-f(),由初始值、稳态值和时间常数三个要素决定。,全响应=稳态分量+暂态分量,(2)在正弦电源激励下,f(t)=f(t)+f(0+)-f(0+),的正弦量；,f(t)是换路后的稳态响应(特解)，是与激励同频率,f(0+)是稳态响应f(t)的初始值。,f(0+)和t的含义与恒定激励下相同。,说明一阶电路的响应,求f(t)的方法是待定系数法或相量法。,41,4.解题指导例1,换路前：iL(0-)=-IS=-2A,求换路后的戴维宁电路,=10-22=6V,Uoc=Us-Ris,Req=R=2W,求iL的三个要素：,iL(0+)=iL(0-)=-2A,iL(),=Uoc/Req,=6/2=3(A),t=L/Req,=4/2=2(s),f(t)=f()+f(0+)-f()e,iL(t),2,iL(t)=3-5e-0.5tA,i(t)=IS+iL(t),=5-5e-0.5tA,42,例2：图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关S闭合，求换路后的电流i(t)。,S闭合前C开路L短路,iL(0-)=0，,uC(0-)=10V，,换路后变为两个独立的单回路,解：,电容电路的三要素为,iC(0+)=uC(0+)R1=5A,t1=R1C=0.5s,iC()=0,电感电路的三要素为,iL(0+)=iL(0-)=0,t2=LR2=0.2s,iL()=UR2,=105=2A,i(t)=iL(t)+iC(t),求出iC(t)、iL(t)后,43,例3：电路如图。t=0时S1从位置1拨向位置2，经0.12s后S2打开，求uC(t)并绘波形图。,解：,先求初始值,uC(0-)=-10V,再分阶段用三要素法求解。,(1)0t0.12s,uC(0+)=uC(0-)=-10V,uC()=,30+20,30,50,=30V,t1=(20/30)1031010-6,=0.12s,uC(t)=30-40e-8.33tV,(0t0.12s),44,(2)t0.12s,uC(0.12-)=30-40e-8.330.12=15.28V,uC(0.12+)=uC(0.12-)=15.28V,t2=R2C=301031010-6=0.3s,uC()=0,uC(t)=15.28e-3.33(t-0.12)V,t0.12s,45,7.5一阶电路的阶跃响应,在前面的讨论中，我们看到直流一阶电路中的各种开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电路的作用，这种作用可以描述为分段恒定信号对电路的激励。随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入阶跃函数来描述这些物理现象，以便更好地建立电路的物理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。,46,1(t-t0),一、阶跃函数,单位阶跃函数I(t)的定义为,图725阶跃函数,(7-26),k1(t),1,k,t0,1,1(-t),47,开关电路可以等效为阶跃信号作用于该电路。,图726用阶跃函数代替开关的作用,48,二、阶跃响应,阶跃响应：阶跃信号作用下电路的零状态响应，称为电路的阶跃响应.,单位阶跃响应：单位阶跃信号作用下电路的零状态响应，称为电路的单位阶跃响应.,49,单位阶跃输入的零状态响应称为电路的单位阶跃响应，记作s(t)。,通过例题说明一些概念。,例1：求uC(t)、iC(t)。,根据阶跃函数的性质得,uC(0-)=0，,解：,uC()=1V,单位阶跃响应为,uC=(1-e,iC=,R,1,e,e(t)A,初值为零。,注意,初值可以不为零。,)e(t)V,50,若激励在t=t0时加入，则响应从t=t0开始。,延迟的阶跃响应为,uC=(1-e,iC=,e,)e(t-t0)V,e(t-t0)A,注意：,uC=(1-e,)e(t-t0)V,阶跃响应的求法与恒定激励下的零状态响应的求法本质相同。用f(t)e(t-t0)表示。,延迟的阶跃响应不要写为,51,例2：S在位置1时电路处于稳态。t=0时S由位置1合向位置2，在t=t时，S又从位置2合向位置1。求t0时的uC。,解法1：把电路的工作过程分段求解,(1)0tt：为典型RC串联电路的零状态响应。,(2)tt：为典型RC串联电路的零输入响应。,uC=US(1-e),t=RC,uC=0.632USe,0tt,tt,初始值：uC(t+)=uC(t-)=US(1-e-1)=0.632US,52,解法2：用阶跃函数表示激励，求阶跃响应。,uS(t)=USe(t)-USe(t-t),RC电路的单位阶跃响应为,s(t)=(1-e,s(t-t)=(1-e,利用线性电路的叠加性质可得,uC(t)=,阶跃响应,延迟的阶跃响应,)e(t),)e(t-t),53,利用三要素公式得到电感电流iL(t)的阶跃响应如下所示。,以上两个式子可以用一个表达式表示如下：,其中时间常数=RC或=L/R。,用阶跃函数代替开关的作用,(a),(b),54,已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得在任意分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应，例如图7-28(b)所示信号作用图7-28(a)所示RC串联电路时，由于图(b)所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信号的叠加。,图728RC电路及其分段恒定信号,55,其电容电压uC(t)的零状态响应可以表示为,由图(b)知，,56,例7-14用阶跃电流源表示图(b)所示的方波电流，求解电路中电感电流的响应，并画出波形曲线。,(a),(b),解：图(b)所示的方波电流，用两个阶跃函数表示：iS(t)=10(t)-10(t-1ms)mA,57,由于该电路是线性电路，根据动态电路的叠加定理，其零状态响应等于10(t)和-10(t-1ms)两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。,1.阶跃电流源10(t)mA单独作用时，其响应为,2.阶跃电流源-101(t-1ms)mA单独作用时，其响应为,3.应用叠加定理求得10(t)和-10(t-1ms)共同作用的零状态响应为,58,分别画出和的波形，如曲线1和2所示。然后它们相加得到iL(t)波形曲线，如曲线3所示。,59,7.6一阶电路的冲击响应,在前面的讨论中，我们用到的激励都是直流电源，应用三要素法求解电路初始值的求解的依据是换路定律，即在换路瞬间，电容电压和电感电流是连续变化的在介绍换路定律时，我们也提到它的适用条件是：非跃变电路这一节我们将介绍的冲击响应在求解时换路定律将不成立因此，本节介绍有关跃变电路的求问题,60,单位脉冲函数特点是，脉宽与幅值乘积为.当脉宽a变小时，幅值1/a变大当a0时，其幅值1/a，但其面积仍为1把单位脉冲的这种极限情况，称为单位冲击函数波形如图所示。,一、单位脉冲函数和单位冲击函数,1.单位脉冲函数的定义为,单位脉冲函数,61,2.冲击函数的定义(1)单位冲击函数,(2)延时的单位冲击函数,D0,limpD(t),=d(t),d(t)=0，,t0+和tt0+和t0+和t0-时d(t)=0，所以：,62,3.冲击函数的性质,(1)d(t)与e(t)的关系,(2)“筛分”性质f(t)d(t-t0)=f(t0)d(t-t0),d(t)=,de(t),dt,e(t)=,-,t,d(x)dx,-,+,f(t0)d(t-t0)dt,=f(t0),把t0时刻的函数值“筛”出来，也称取样性质。,(3)冲击强度,定义中的积分值称为冲击强度。,kd(t)的冲击强度为k。,63,4、冲击响应,冲击响应：冲击信号作用下电路的零状态响应，称为电路的冲激响应.,如果电路的激励是冲击信号，那么此电路是跃变电路因此，换路定律不成立这样就不能用换路定律求初始值，进而也不能直接应用三要素公式这里介绍一种利用单位阶跃响应求解冲击响应的方法,单位冲击信号作用下电路的零状态响应，称为电路的单位冲击响应，用符号h(t)表示。,64,冲击响应的分析,对上式取积分求uC(0+)；,在冲击电流激励下的RC并联电路,duC,dt,C,+,R,=di(t),uC,uC(0-)=0,dt,+,dt,=,di(t)dt,CuC(0+)-uC(0-),因uC是有限值，故此项积分为0。,uC(0+)=,C,1,+uC(0-),电路在单位冲击函数激励下的零状态响应称为冲击响应。记作h(t)。,(1)分析过程,列t0-时电路的微分方程；,根据di(t)的定义，故此项积分为1。,=1,65,(3)t0+时，di(t)=0。,用同样的方法，可求得RL串联电路在单位冲击电压作用下的响应。,变为,=0,+uC(0-),iL(0+)=,L,1,+iL(0-),方程,已变成了零输入响应的求解问题(t0+)。,iL(0+),t0+,66,综上，冲击响应分两个过程：,若d(t)的强度为k,过程1：t从0-0+,uC(t)从uC(0-)uC(0+),iL(t)从iL(0-)iL(0+),建立初始值的过程。,uC或iL产生跃变，已不满足换路定则。,过程2：t从0+,d(t)已不起作用。,第1个过程中留下的能量开始释放。这是以uC(0+)或iL(0+)为初始值的零输入响应。,可用三要素法求解。,则,67,5.解题指导,列t0-时的微分方程,RC,duC,dt,+uC=di(t),uC(0-)=0,对方程两边从0-到0+积分,得RCuC(0+)-uC(0-)=1,uC(0+)=,RC,1,求零输入响应,t0+,t=RC，,uC(t)=,e(t),uC(0+),初始条件为,uC()=0,代入三要素公式得,e(t)的“起始性”表示uC(t)从t0+开始。,解：,题1：求RC串联电路的单位冲击响应。,68,s(t)与h(t)的关系：,由于单位脉冲函数为：,f(t)在a0时变为(t)，因此，f(t)所对应的响应在a0时变成为h(t),即,f(t)所对应的响应为：,由线性性质，若,则,69,冲击响应的求解步骤：,把电路的冲击激励换为(t)，这时电路是非跃变电路，可以用前面所学过的方法求s(t).,根据h(t)=s(t)，求出h(t).,若激励为k(t)，则所求响应为kh(t).,下面讨论RC和RL电路的冲击响应,图737RC电路图738RL电路,70,那么，在(t)作用下,将(t)换为(t)，则,1.RC电路,71,72,那么，,将(t)换为(t)，则,2.RL电路,73,可以看出，在冲击激励(t)作用下，uC(或iL)在0时刻有跃变，而iC(或uL)在0时刻会有冲击,74,三、电容电压和电感电流的跃变,跃变电路：电容电压和电感电流发生跃变的电路,跃变电路的两种情况：,电路的激励是冲击激励.,电路在结构上是变电路的结构,换路后，电容直接并联在恒压源或电容两端.,图7-41电容电压跃变电路,(a),(b),75,换路后，与某节点相连的各个支路中都有电感或恒流源.,图7-42电感电流跃变电路,(a),(b),对于所述的结构上是跃变电路的情形如何求初始值,76,由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。,一、RLC串联电路的微分方程,7-6二阶电路的零状态响应和全响应,77,已知uC(0-)=Uo，开关在t=0时闭合。开关闭合后，由KVL电压定律，得,将代入上式经整理得,78,这是一个常系数齐次线性二阶微分方程。,其特征方程为,其特征根为,(7-37),(7-38),(7-39),特征根又称为电路的固有频率。,79,1.当时，为不相等的负实根。工作状态为过阻尼情况，或非振荡衰减。,当R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况,2.当时，为两个相等的负实根。工作状态为临界阻尼情况。,3.当时，为共轭复数根。工作状态为欠阻尼情况，或振荡衰减。,80,二、当时，为不相等的负实根。非振荡衰减状态。,齐次微分方程的解,设,此时,(7-40),0,81,式中的常数K1，K2由初始条件i(0+)和uc(0+)确定.,联立求解以上两个方程，可以得到,82,83,tm,2tm,84,三、当时，为共轭复数根。振荡衰减工作状态。,齐次微分方程的解,(7-41),其中,85,式中的常数K1，K2由初始条件i(0+)和uc(0+)确定.,联立求解以上两个方程，可以得到,86,87,若电路中的电阻为零，称为等幅震荡unattenuatedoscillatory)过程，此时:,88,K1，K2由初始条件i(0+)和uC(0+)确定。,四、当时，为两个相等的负实根。工作状态为临界阻尼情况。,齐次微分方程的解,89,90,1.在非振荡衰减(过阻尼)情况，p1和p2是不相等的负实数，固有频率出现在复平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。2.在临界阻尼情况，p1=p2