2016年四川省雅安市高考数学三诊试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年四川省雅安市高考数学三诊试卷（理科） 一、选择题：（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 .）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知 i 是虚数单位，则（ 2+i）（ 3+i） =（ ） A 5 5i B 7 5i C 5+5i D 7+5i 2已知实数集 R，集合 A=x|x 0 或 x 2，集合 B=y|y= ，则（ B=（ ） A x|1 x 2 B x|1 x 2 C x|1 x 2 D x|0 x 2 3已知命题 p， q，那么 “p q 为真命题 ”是 “p q 为真命题 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4相距 1400m 的 A、 B 两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差 3s，已知声速 340m/s，则炮弹爆炸点所在曲线的离心率为（ ） A B C D 1 5图 1 是某高三学生进 入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1 次到 14 次的考试成绩依次记为 ， 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 6已知 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ），其导函数 f（ x）的图象如图所示，则 f（ ）的值为（ ） A B C 2 D 2 第 2 页（共 19 页） 7一个多面体的三视图如图所示，则这个多面体的面数及这些面中直角三角形的个数分别为（ ） A 5 和 2 B 5 和 3 C 5 和 4 D 4 和 3 8假设你家订了一份牛奶，送奶工人在早上 6： 00 7： 00 之间把牛奶送到你家，你离开家去上学的时间在早上 6： 30 7： 30 之间，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ） A B C D 9已知直线 （ 是非零常数）与圆 x2+00 有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A 60 条 B 66 条 C 72 条 D 78 条 10已知 f（ x） =x+存在实数 m （ 2， +），使得 f（ m） k（ m 2）成立，则整数 k 的最小取值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11 2_ 12（ ） 6 的二项展开式中 系数为 _（用数字表示） 13若 a 1， b 0，且 a+b=2，则 + 的最小值为 _ 14在 ， ， ， =1，则 _ 15定义在 R 上的偶函数 f（ x）满足对任意 x R，有 f（ x+2） =f（ x） f（ 1），且当 x2， 3时， f（ x） = x 9，若函数 y=f（ x） x+1）在（ 0， +）上至少有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是 _ 三、解答题：（本大题共 6 个小题， 75 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16等差数列 ， a2+a3+5， （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ，求数列 前 n 项和 17已知函数 f（ x） =22x+ ） 2（ 0）的最小正周期为 （ ）求 f（ x）的对称中心； （ ）在 ，内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c，若 锐角三角形且 f（ A） =0，求 的取值范围 18某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查 36 名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为 120 分），成绩的频率直方图如图所示， 第 3 页（共 19 页） 其中成绩分组间是： 80， 90）， 90， 100）， 100， 110）， 110， 120 （ 1）在这 36 名学生中随机抽取 3 名学生，求同时满足下列条件的概率：（ 1）有且仅有 1名学生成绩不低于 110 分；（ 2）成绩在 90， 100）内至多 1 名学生； （ 2）在成绩是 80， 100）内的学生中随机选取 3 名学生进行诊断问卷，设成绩在 90， 100）内的人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望 19圆 O 上两点 C， D 在直径 两侧（如图甲），沿直径 圆 O 折起形成一个二面角（如图乙），若 平分线交弧 于点 G，交弦 点 E， F 为线段 中点 （ ）证明：平面 平面 （ ）若二面角 C D 为直二面角，且 ， 5， 0，求直线 成角的正弦值 20设椭圆 C： + =1（ a b 0），其离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为 4+2 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设曲 线 C 的上、下顶点分别为 A、 B，点 P 在曲线 C 上，且异于点 A、 B，直线 P 与直线 l： y= 2 分别交于点 M， N （ 1）设直线 斜率分别为 证： 定值； （ 2）求线段 的最小值 21已知函数 f（ x） =2g（ x） =（ a R） （ ）设函数 h（ x） =g（ x） f（ x），其导函数为 h（ x），若 h（ x）在 0， +）上具有单调性，求 a 的取值范围； （ ）在（ ）的条件下，求证： f（ 1） +f（ ） +f（ ） +f（ ） n+ （ n N*） 第 4 页（共 19 页） 2016 年四川省雅安市高考数学三诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 .）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知 i 是虚数单位，则（ 2+i）（ 3+i） =（ ） A 5 5i B 7 5i C 5+5i D 7+5i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式 【解答】 解：复数（ 2+i）（ 3+i） =6+5i+5i 故选 C 2已知实数集 R，集合 A=x|x 0 或 x 2，集合 B=y|y= ，则（ B=（ ） A x|1 x 2 B x|1 x 2 C x|1 x 2 D x|0 x 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出 B 中 y 的范围确定出 B，找出 A 补集与 B 的交集即 可 【解答】 解：由 B 中 y= 0，得到 B=y|y 0， 实数集 R， A=x|x 0 或 x 2， x|0 x 2， 则（ B=x|0 x 2， 故选： D 3已知命题 p， q，那么 “p q 为真命题 ”是 “p q 为真命题 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 复合命题的真假 【分析】 根据 p q， p q 的真假和 p， q 真假的关系便可判断由 “p q 为真命题 ”能得到 “p q 为真命题 ”，而 “p q 为真命题 ”得不到 “p q 为真命题 ”，从而得出正确选项为 A 【解答】 解：若 p q 为真命题，则 p， q 都为真命题， p q 为真命题； 若 p q 为真命题，则 p， q 中至少有一个为真命题，而如果 p， q 中只有一个为真命题，则得不到 p q 为真命题； “p q 为真命题 ”是 “p q 为真命题 ”的充分不必要条件 故选： A 4相距 1400m 的 A、 B 两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差 3s，已知声速 340m/s，则炮弹爆炸点所在曲线的离心率为（ ） A B C D 1 【考点】 双曲线的应用 第 5 页（共 19 页） 【分析】 设 A（ 700， 0）、 B、 M（ x， y）为曲线上任一点，根据 | |常数，推断 M 点轨迹为双曲线，根据题意可知 a 和 c 的值，可得炮弹爆炸点所在曲线的离心率 【解答】 解：设 A（ 700， 0）、 B、 M（ x， y）为曲线上任一点， 则 | |=340 3=1020 1400 M 点轨迹为双曲线，且 a=510， c=700 e= = 故选： B 5图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1 次到 14 次的考试成绩依次记为 ， 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考点】 茎叶图；循环结构 【分析】 根据流程图可知该算法表示统计 14 次考试成绩中大于等于 90 的人数，结合茎叶图可得答案 【解答】 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加 14 次考试成绩超过 90 分的人数； 根据茎叶图的含义可得超过 90 分的人数为 10 个 故选 D 6已知 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ），其导函数 f（ x）的图象如图所示，则 f（ ）的值为（ ） A B C 2 D 2 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法 第 6 页（共 19 页） 【分析】 求出函数的导函数，利用导函数的周期，求出 ，利用振幅求出 A，利用导函数经过（ ），求出 ，得到函数的解析式 【解答】 解：函数的导函数 f（ x） =x+），由图象可知 f（ x） 的周期为 4所以 = 又因为 所以 A=4 函数经过（ ），所以 2=2+）， 0 ， 所以 =，即 = 所以 f（ x） =4+ ） 所以 f（ ） =4x+ ） =2 故选 C 7一个多面体的三视图如图所示，则这个多面体的面数及这些面中直角三角形的个数分别为（ ） A 5 和 2 B 5 和 3 C 5 和 4 D 4 和 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 观察多面体 的三视图，确定出多面体的面数与这些面中直角三角形个数即可 【解答】 解：根据多面体的三视图可得几何体 O 图所示， 则这个多面体的面数 5，分别为面 这些面中直角三角形的个数 3，根据三视图得： 长分别为 2 ， 4， 2 ； 长分别为 2， 2， 2 ； 长分别 为 2， 2， 2 故选： B 8假设你家订了一份牛奶，送奶工人在早上 6： 00 7： 00 之间把牛奶送到你家，你离开家去上学的时间在早上 6： 30 7： 30 之间，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 第 7 页（共 19 页） 【分析】 设送报人到达的时间为 x，此人离家的时间为 y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系，作图求面积之比即可 【解答】 解：设送奶人到达的时间为 x，此人离家的时间为 y， 以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间， 建立平面直角坐标系（如图） 则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示 所求概率 P=1 = ； 故选： D 9已知直线 （ 是非零常数）与圆 x2+00 有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A 60 条 B 66 条 C 72 条 D 78 条 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考查圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答 【解答】 解：可知直线的横、纵截距都 不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x2+00 上的整数点共有 12 个，分别为（ 6， 8），（ 6， 8），（ 8， 6），（ 8， 6），（ 10， 0），（ 0， 10），前 8 个点中，过任意一点的圆的切线满足，有 8 条； 12 个点中过任意两点，构成 6 条直线，其中有 4 条直线垂直 x 轴，有 4 条直线垂直 y 轴，还有 6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有 52 条综上可知满足题设的直线共有52+8=60 条， 故选 A 10已知 f（ x） =x+存在实数 m （ 2， +），使得 f（ m） k（ m 2）成立，则整数 k 的最小取值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 由所给不等式可以等价为新函数 F（ m） =m+k（ m 2）， m 2， F（ m） 0 恒成立，对 F（ m）求导，由导函数得到极大值，只需要极大值小于 0 即可 【解答】 解： 存在实数 m （ 2， +），使得 f（ m） k（ m 2）成立， 题干等价于：当 m 2 时，不等式 m+k（ m 2）恒成立， 记 F（ m） =m+k（ m 2）， m 2，即有 F（ m） 0 恒成立 令 F（ m） =0，解得 m=2， F（ m） （ m） 极大值 =F（ 2） =2k 2， 当 k=2 时， F（ m） 1 0 不合题意， 当 k=3 时， F（ m） e 0 不合题意， 第 8 页（共 19 页） 当 k=4 时， F（ m） 0 不合题意， 当 k=5 时， F（ m） 0 0 合题意， 整数 k 的最小值为： 5 故选： C 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11 22 【考点】 对数的运算性质 【分析】 根据对数运算法则 行求解可直接得到答案 【解答】 解： 22 故答案为： 2 12（ ） 6 的二项展开式中 系数为 15 （用数字表示） 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据二项展开式的通项公式 ，令 x 项的次数为 2，求出 r 的值，再计算含 系数 【解答】 解：（ ） 6 的二项展开式的通项公式为： = （ 6 r =（ 1） r ， 令 12 2r =2， 解得 r=4； 所以展开式中 系数为（ 1） 4 =15 故答案为： 15 13若 a 1， b 0，且 a+b=2，则 + 的最小值为 9 【考点】 基本不等式 【分析】 利用 “乘 1 法 ”与基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： a 1， b 0，且 a+b=2， a 1+b=1， + =（ + ）（ a 1+b） 第 9 页（共 19 页） =5+ + 5+2 =9， 故答案为： 9 14在 ， ， ， =1，则 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 利 用向量的数量积，及余弦定理，即可求得 值 【解答】 解：设 ， ，则 ， =1 2 又由余弦定理可得： 9=4+ ， a= 故答案为： 15定义在 R 上的偶函数 f（ x）满足对任 意 x R，有 f（ x+2） =f（ x） f（ 1），且当 x2， 3时， f（ x） = x 9，若函数 y=f（ x） x+1）在（ 0， +）上至少有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是 0 a 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理 【分析】 利用函数是偶函数，求出 f（ 1） =0，然后得出函数的周期，利用函数的周期性，由 y=f（ x） x+1） =0 得到 f（ x） =x+1），分别作出函数 y=f（ x）和 y=x+1）的图象，利用图象确定 a 的取值范围 【解答】 解： 偶函数 f（ x）满足对任意 x R， 有 f（ x+2） =f（ x） f（ 1）， 令 x= 1 得 f（ 1+2） =f（ 1） f（ 1）， 即 f（ 1） =f（ 1） f（ 1） =0， 则 f（ x+2） =f（ x） f（ 1） =f（ x）， 即函数是周期为 2 的周期函数， 若 x 0， 1，则 x+2 2， 3， 则 f（ x） =f（ x+2） =（ x 1） 2， 当 x 1， 0，则 x 0， 1， 函数 f（ x）是偶函数， f（ x） =f（ x） =（ x+1） 2， 由 y=f（ x） x+1） =0 得到 f（ x） =x+1）， 分别作出函数 y=f（ x）和 g（ x） =x+1）的图象， 若 a 1，则不满足条件（图 1） 如 0 a 1，要使函数 y=f（ x） x+1） 第 10 页（共 19 页） 在（ 0， +）上至少有三个零点， 则满足当 x=2 时， f（ 2） = 1， g（ 2） 1， 即 2+1） 1， 1， 解得 0 a 故答案为： 0 a 三、解答题：（本大题共 6 个小题， 75 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16等差数列 ， a2+a3+5， （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ ） 先设出公差为 d 首项为 据题意和等差数列的通项公式列出方程组，再解方程组； （ ）把（ ）求出的 入 出 求出 的表达式，根据式子的特点，利用错位相减法求出此数列的前 n 项和 【解答】 解：（ ）设数列 公差为 d 首项为 题意得， ，即 ， 解得 ， d=2， 数列 通项公式 n 1， 第 11 页（共 19 页） （ ）由（ ）可得 =3n， = 3+2 32+3 33+n 3n， 3 32+2 33+3 34+n 3n+1， 得， 2+32+33+3n n 3n+1= n 3n+1 = n 3n+1， 17已知函数 f（ x） =22x+ ） 2（ 0）的最小正周期为 （ ）求 f（ x）的对称中心； （ ）在 ，内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c，若 锐角三角形且 f（ A） =0，求 的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理 【分析】 （ ）求出 f（ x）的表达式，根据 2x+ =出 f（ x）的对称中心即可；（ ）先求出 A 的值，得到 B， C 的范围，由正弦定理得到 = （ 1+ ），从而求出其范围即可 【解答】 解：（ ） f（ x） =22x+ ） 2 =2（ 2 =2 = 2（ +1 = 22x+ ） +1， T= =， 故 =1， f（ x） = 22x+ ） +1， 由 2x+ =得 x= ， 故 f（ x）的对称中心是（ ， 1）； 第 12 页（共 19 页） （ ） f（ A） =0， 22A+ ） +1=0，解得 A= ， B+C= ，而 锐角三角形， 45 C 90， 1， = = = = （ 1+ ）， 1， （ ， ） 18某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查 36 名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为 120 分），成绩的频率直方图如图所示， 其中成绩分组间是： 80， 90）， 90， 100）， 100， 110）， 110， 120 （ 1）在这 36 名学生中随机抽取 3 名学生，求同时满足下列条件的概率：（ 1）有且仅有 1名学生成绩不低于 110 分；（ 2）成绩在 90， 100）内至多 1 名学生； （ 2）在成绩是 80， 100）内的学生中随机选取 3 名学生进行诊断问卷，设成绩在 90， 100）内的人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ 1）根据频率分布直方图，求出 a 的值，计算成绩在各分数 段内的学生数，计算满足条件的事件的概率即可； （ 2）根据题意得出 X 的可能取值，计算对应的概率，求出 X 的分布列与数学期望即可 【解答】 解：（ 1）由频率分布直方图，得； 10a=1（ + + ） 10= ， 解得 a= ； 成绩在 80， 90）分的学生有 36 10=3 人， 成绩在 90， 100）分的学生有 36 10=6 人， 成绩在 100， 110）分的学生有 36 10=18 人， 第 13 页（共 19 页） 成绩在 110， 120）分的学生有 36 10=9 人； 记事件 A 为 “抽取 3 名学生中同时满足条件 的事件 ”， 包括事件 抽取 3 名学生中， 1 人成绩不低于 110 分， 0 人在 90， 100）分之间 ”， 事件 抽取 3 名学生中， 1 人成绩不低于 110 分， 1 人在 90， 100）分之间 ”，且 P（ A） =P（ 2） =P（ +P（ = + = + = ； （ 2）随机变量 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3； P（ X=0） = = ， p（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ； X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望为 +1 +2 +3 =2 19圆 O 上两点 C， D 在直径 两侧（如图甲），沿直径 圆 O 折起形成一个二面角（如图乙），若 平分线交弧 于点 G，交弦 点 E， F 为线段 中点 （ ）证明：平面 平面 （ ）若二面角 C D 为直二面角，且 ， 5， 0，求直线 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；平面与平面平行的判定 【分析】 （ I）利用中位线定理和圆的性质分别证明 而得出平面 平面 第 14 页（共 19 页） （ 结 可证四边形 菱形， 平面 O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 法向量 和 的坐标，则直线 平面 成角的正弦值为| | 【解答】 证明：（ ） 一条中位线， 面 面 平面 又 平分线， O 的直径， 面 面 平面 又 平面 的两条相交直线， 平面 平面 （ ） O 为 中点， 平面 平面 面 面 B， 面 平 面 又 ， ， 0， ，又 ， ， 四边形 菱形， 20， 设 点为 M，则 0，即 直线 两垂直， 以 O 为原点，以 坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系 O 则 B（ 0， 1， 0）， C（ 0， 0， 1）， D（ ， ， G（ ， ， F（ 0， ， ） =（ ， ， =（ 0， 1， 1）， =（ ， ， 0） 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， ，令 y=1， =（ ， 1， 1） =1， | |=1， = = 直线 平面 成角的正弦值为 第 15 页（共 19 页） 20设椭圆 C： + =1（ a b 0），其离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为 4+2 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设曲线 C 的上、下顶点分别为 A、 B，点 P 在曲线 C 上，且异于点 A、 B，直线 P 与直线 l： y= 2 分别交于点 M， N （ 1）设直线 斜率分别为 证： 定值； （ 2）求线段 的最小值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由椭圆 C： + =1（ a b 0），其离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为 4+2 ，求出 a， b，由此能求出椭圆 C 的方程 （ ）（ 1）由题意， A（ 0， 1）， B（ 0， 1），令 P（ 则 0，直线 斜率， 斜率 由点 P 在椭圆上能证明 定值 （ 2）由题设可以得到直线 方程为 y 1=x 0），直线 方程为 y（ 1） =