2016年山西省高考数学三模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年山西省高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1若集合 A=x|1 5x， B=x| 2 x 2，则 A B=（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 2） C（ 1， 5） D（ 2， 5） 2复数 + 的共轭复数为（ ） A 5+i B 5+i C 5 i D 5 i 3如图 是某班 50 位学生期中考试化学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是 40，50）， 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100，则成绩在 70， 90）内的频数为（ ） A 27 B 30 C 32 D 36 4 P（ Q（ 别为抛物线 x 上不同的两点， F 为焦点，若 |2|则（ ） A B D 执 行如图所示的程序框图，则输出的 S 等于（ ） A B C D 6将函数 y=3x+ ）的图象向左平移 个单 位后，得到的图象可能为（ ） 第 2 页（共 19 页） A B CD 7函数 f（ x） =x 在区间 1， 1上的值域为（ ） A 1， e 1 B C D 0， e 1 8 已知 等差数列 前 n 项和，给出下列两个命题： 命题 p：若 大于 9，则 于 11 命题 q：若 小于 12，则 至少有 1 个不小于 9 那么，下列命题为真命题的是（ ） A p B（ p） （ q） C p q D p （ q） 9在矩形 ， |3， |5， = ， = ，若 =x +y ，则 x+y 的值为（ ） A 2 B 4 C 5 D 7 10设 a 0，且 x， y 满足约束条件 ，若 z=x+y 的最大值为 7，则 的最大值为（ ） A B C D 11某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A +8 B +8 C 16+8 D +16 12记 a， b表示 a， b 中较小的数，比如 ， 1= 1设函数 f（ x） =|x2，x|（ x 0），若 f（ =f（ =f（ 不相等），则 取值范围为（ ） 第 3 页（共 19 页） A B C D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13一个蜂巢有 1 只蜜蜂，第 1 天，它飞出去找回了 5 个伙伴；第 2 天， 6 只蜜蜂飞出去，各自找回了 5 个伙伴 如果这个找伙伴的过程继续下去，第 5 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有 _只蜜蜂 14已知函数 f（ x） = 为奇函数，则 g（ 2） =_ 15若双曲线 （ m 1）的离心率恰好是 实轴长与虚轴长的等比中项，则m=_ 16长方体 8 个顶点都在球 O 的表面上， E 为 中点， ， ，且四边形 正方形，则球 O 的直径为 _ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， C=60， c= b （ 1）求角 A， B 的大小； （ 2）若 D 为边 一点，且 a=4， 面积为 ，求 长 18已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表： X 人数 Y A B C A 14 40 10 B a 36 b C 28 8 34 若抽取学生 n 人，成绩分为 A（优秀）、 B（良好）、 C（及格）三个等级，设 x， y 分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为 A 等级的共有 14+40+10=64 人，数学成绩为B 等级且地理成绩为 C 等级的有 8 人已知 x 与 y 均为 A 等级的概率是 （ 1）设在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 a， b 的值； （ 2）已知 a 8， b 6，求数学成绩为 A 等级的人数比 C 等级的人数多的概率 19如图，在四棱柱 ， 底面 E 为线段 包括 A、 D 两点），平面 平面 于 （ 1）证明： （ 2）证明： 平面 第 4 页（共 19 页） 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且椭圆 C 与圆 M： y 3）2=4 的公共弦长为 4 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）已知 O 为坐标原点，过椭圆 C 的右顶点 A 作直线 l 与圆 x2+相切并交椭圆 C 于另一点，求 的值 21已知函数 f（ x） =（ x a R） （ 1）当 a=6 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若 f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图，在 O 的直径 延长线上取点 P，作 O 的切线 N 为切点，在 找一点 M，使 M，连接 延长交 O 于点 C （ 1） 求证： （ 2）若 O 的半径为 ， P，求 长 选修 4标系与参数方程 23以坐标原点 O 为极点， O 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 =2（ ） （ 1）写出曲线 C 的参数方程； （ 2）在曲线 C 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴， y 轴的垂线，垂足分别为 A， B，求矩形 的最大值 选修 4等式选讲 24已知不等式 |1+ | |1 | 对 x （ 0， +）恒成立 （ 1）求实数 a 的取值范围； （ 2）不等式 |x 1|+|x+1| a 的解集为 A，不等式 4 2x 8 的解集为 B，试判断 AB 是否一定为空集？请证明你的结论 第 5 页（共 19 页） 2016 年山西 省高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1若集合 A=x|1 5x， B=x| 2 x 2，则 A B=（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 2） C（ 1， 5） D（ 2， 5） 【考点】 并集及其运算 【分析】 化简集合 A，求出 A B 即可 【解答】 解：集合 A=x|1 5x=x|1 x 5， B=x| 2 x 2， A B=x| 2 x 5=（ 2， 5 故选： D 2复数 + 的共轭复数为（ ） A 5+i B 5+i C 5 i D 5 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解： + = + =2+2i+3 i=5+i 的共轭复数为 5 i 故选： C 3如图是某班 50 位学生期中考试化学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是 40，50）， 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100，则成绩在 70， 90）内的频数为（ ） A 27 B 30 C 32 D 36 【考点】 频率分布直方图 【分析】 由频率分布直方图先求出成绩在 70， 90）内的频率，由此能求出 成绩在 70， 90）内的频数 【解答】 解：由频率分布直方图得成绩在 70， 90）内的频率为： 1（ 10= 成绩在 70， 90）内的频数为： 50 6 第 6 页（共 19 页） 故选： D 4 P（ Q（ 别为抛物线 x 上不同的两点， F 为焦点，若 |2|则（ ） A B D 考点】 抛物线的简单性质 【分析】 根据抛物线的性质将 | |化为到准线的距离，得出答案 【解答】 解：抛物线的准线方程为 x= 1， |， | |2| =2（ ），即 故选： A 5执行如图所示的程序框图，则输出的 S 等于（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 S= 时，满足条件S 1，退出循环，输出 S 的值为 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=600， i=1 执行循环体， S=600， i=2 不满足条件 S 1，执行循环体， S=300， i=3 不满足条件 S 1，执行循环体， S=100， i=4 不满足条件 S 1，执行循 环体， S=25， i=5 不满足条件 S 1，执行循环体， S=5， i=6 不满足条件 S 1，执行循环体， S= ， i=7 满足条件 S 1，退出循环，输出 S 的值为 故选： C 第 7 页（共 19 页） 6将函数 y=3x+ ）的图象向左平移 个单位后，得到的图象可能为（ ） A B CD 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由函数 y=x+）的图象变换可得向左平移 个单位后，得到的函数解析式为： y= 用正弦函数的图象和性质即可得解 【解答】 解：将函数 y=3x+ ）的图象向左平移 个单位后， 得到的函数解析式为： y=（ x+ ） + = 此函数过原点，为奇函数，排除 C， D； 原点在此函数的单调递减区间上，故排除 B 故选： A 7函数 f（ x） =x 在区间 1， 1上的值域为（ ） A 1， e 1 B C D 0， e 1 【考点】 函数的值域 【分析】 求函数的导数，判断函数的单调性和极值，最值，结合函数的最值即可求出函数的值域 【解答】 解：函数的导数 f（ x） =1， 由 f（ x） 0 得 1 0，即 1，得 0 x 1，此时函数递增， 由 f（ x） 0 得 1 0，即 1，得 1 x 0，此时函数递减， 即当 x=0 时，函数取得极小值同时也是最小值 f（ 0） =1， f（ 1） =e 1， f（ 1） = +1 e 1， 函数的最大值为 f（ 1） =e 1， 即函数的值域为 1， e 1， 故选： A 8已知 等差数列 前 n 项和，给出下列两个命题： 命题 p：若 大于 9，则 于 11 命题 q：若 小于 12，则 至少有 1 个不小于 9 那么，下列命题为真命题的是（ ） A p B（ p） （ q） C p q D p （ q） 【考点】 复合命题的真假 第 8 页（共 19 页） 【分析】 由等差数列的前 n 项和的性质可得： 等差数列，即可判断出命题 p， q 的真假 【解答】 解：对于命题 p：由等差数列的前 n 项和的性质可得： 等差数列， 2（ =9 39 3 9+9， 12，因此命题 p 正确； 命题 q：由上面可知： 39=33 12=36，因此 至少有 1 个不小于 9，是真命题 那么，下列命题为真命题的是 p q 故选： C 9在矩形 ， |3， |5， = ， = ，若 =x +y ，则 x+y 的值为（ ） A 2 B 4 C 5 D 7 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 由已知利用勾股定理可得 |从而可得 =3 ， = =4 ，由向量的加法可得 = + =3 +4 ，利用平面向量的基本定理及其意义即可得解 x， y 的值，进而得解 【解答】 解： 在矩形 ， |3， |5， 利用勾股定理可得： |4， = ， = ， =3 ， = =4 ， = + =3 +4 ， x=3， y=4，可得： x+y=7 故选： D 10设 a 0，且 x， y 满足约束条件 ，若 z=x+y 的最大值为 7，则 的最大值为（ ） 第 9 页（共 19 页） A B C D 【考点】 简单线性规划的应用；简单线性规划 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，利用 z=x+y 的最大值为 7，推出直线 x+y=7 与x+4y 16=0 的交点 A 必在可行域的边缘顶点，得到 a，利用所求的表达式的几何意义，可得 的最大值 【解答】 解：作出不等式组约束条件 表示的平面区域，直线 x+y=7 与 x+4y 16=0 的交点 A 必在可行域的边缘顶点 解得 ，即 A（ 4， 3）在 3y 9=0 上， 可得 12a 3 9=0，解得 a=1 的几何意义是可行域的点与（ 3， 0）连线的斜率，由可行域可知（ 3， 0）与 B 连线的斜率最大， 由 可得 B（ 1， ）， 的最大值为： = 故选： D 11某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 10 页（共 19 页） A +8 B +8 C 16+8 D +16 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥， 且两个四棱锥的定点相对、底面是俯视图中两个矩形两条边分别是 2、 4， 其中一条侧棱与底面垂直，高都是 2， 圆柱的底面圆半径是 2、母线长是 4， 几何体的体积 V=2 + = ， 故选： B 12记 a， b表示 a， b 中较小的数，比如 ， 1= 1设函数 f（ x） =|x2，x|（ x 0），若 f（ =f（ =f（ 不相等），则 取值范围为（ ） A B C D 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 由 f（ =f（ =f（ 不相等），不妨设 0 ， = ，由此，即可求出 取值范围 【解答】 解：作出 y= y=| |的图象， f（ =f（ =f（ 不相等）， 不妨设 0 ， = ， ， 0 ， 故选： A 第 11 页（共 19 页） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13一个蜂巢有 1 只蜜蜂，第 1 天，它飞出去找回了 5 个伙伴；第 2 天， 6 只蜜蜂飞出去，各自找回了 5 个伙伴 如果这个找伙伴的过程继续下去，第 5 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有 7776 只蜜蜂 【考点】 归纳推理 【分析】 根据题意，第 n 天蜂巢中的蜜蜂数量为 数列 等比数列根 据等比数列的通项公式，可以算出第 5 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共的蜜蜂 【解答】 解：设第 n 天蜂巢中的蜜蜂数量为 据题意得 数列 等比数列，它的首项为 6，公比 q=6， 所以 通项公式： 6n 1 到第 5 天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有 5=7776 只蜜蜂 故答案为： 7776 14已知函数 f（ x） = 为奇函数，则 g（ 2） = 6 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由题意， g（ 2） =f（ 2） +6，利用函数是奇函数，即可得出结论 【解答】 解：由题意， g（ 2） =f（ 2） +6= f（ 2） +6=6 答案为： 6 15若双曲线 （ m 1）的离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，则 m= 7 4 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的标准方程，求出 a， b，结合离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，建立方程关系进行转化求解即可 【解答】 解：双曲线的标准方程为 =1（ m 1）， 则焦点在 y 轴上，且 a=1， ， 离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项， a2b=4 即 =4 则 b，即 1+b， 第 12 页（共 19 页） 平方得 1+2b2+6 即 14=0， 则 + +1=0， 则 1+14m+ 即 m= = = 7 4 ， m 1， m= 7 4 ， 故答案为： ； 16长方体 8 个顶点都在球 O 的表面上， E 为 中点， ， ，且四边形 正方形，则球 O 的直径为 4 或 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 设 x，则 AE=x， ，由余弦定理可得 +3 2 3 ，求出 x，即可求出球 O 的直径 【解答】 解：设 x，则 AE=x， ， 由余弦定理可得 +3 2 3 ， x=1 或 ， ， ，球 O 的直径为 =4， 或 ， ，球 O 的直径为 = 故答案为： 4 或 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， C=60， c= b （ 1）求角 A， B 的大小； （ 2）若 D 为边 一点，且 a=4， 面积为 ，求 长 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由 C=60，可得 c= b，可得： ， 又由正弦定理可得：，解得 合 b c，可得 B 为锐角，利用三角形内角和定理可求 B， A 的值 （ 2）利用三角形面积公式及已知可求 余弦定理即可解得 值 【解答】 （本题满分为 12 分） 第 13 页（共 19 页） 解：（ 1） C=60，可得： ，由 c= b，可得： ， 又 由正弦定理 ，可得： ，解得： ， 由已知可得 b c，可得 B 为锐角， 可得： B=45， A= B C=75 （ 2） 面积为 ，即： aCD= ，解得： ， 由余弦定理可得： = = 18已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表： X 人数 Y A B C A 14 40 10 B a 36 b C 28 8 34 若抽取学生 n 人，成绩分为 A（优秀）、 B（良好）、 C（及格）三个等级，设 x， y 分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为 A 等级的共有 14+40+10=64 人，数学成绩为B 等级且地理成绩为 C 等级的有 8 人已知 x 与 y 均为 A 等级的概率是 （ 1）设在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 a， b 的值； （ 2）已知 a 8， b 6，求数学成绩为 A 等级的人数比 C 等级的人数多的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）由频率 = ，能求出 a， b 的值 （ 2）由 14+a+28 10+b+34，得 a b+2由此利用列举法能求出所求概率 【解答】 解：（ 1）由频率 = ，得到 ， ，故 a=18， 而 14+a+28+40+36+8+10+b+34=200， b=12 （ 2） a+b=30 且 a 8， b 6， 由 14+a+28 10+b+34，得 a b+2 （ a， b）的所有结果为（ 8， 22），（ 9， 21），（ 10， 20），（ 11， 19）， （ 24， 6）共 17 组， 其中 a b+2 的共 8 组， 第 14 页（共 19 页） 故所求概率为： 19如图，在四棱柱 ， 底面 E 为线段 包括 A、 D 两点），平面 平面 于 （ 1）证明： （ 2）证明： 平面 【考点】 直线与平面平行的判定；棱柱的结构特征 【分析】 （ 1）先证出 可证明 平面 而证出 （ 2）先证明 平面 出 而得出 证出 平面 【解答】 解：（ 1）证明：四棱柱 ， 底面 平面 又 1D= 面 面 平面 又 面 （ 2）四棱柱 ， 面 面 平面 又平面 面 G， 又 面 面 平面 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且椭圆 C 与圆 M： y 3）2=4 的公共弦长为 4 （ 1）求椭圆 C 的方程； 第 15 页（共 19 页） （ 2）已知 O 为坐标原点，过椭圆 C 的右顶点 A 作直线 l 与圆 x2+相切并交椭圆 C 于另一点，求 的值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）运用椭圆的离心率公式和对称性可得椭圆经过点（ 2， 3），代入椭圆方程，解得 a， b，进而得到椭圆方程 ； （ 2）设过右顶点 A（ 4， 0）的直线 l 为 y=k（ x 4），由直线和圆相切的条件： d=r，可得 k，再由直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得 B 的横坐标，结合向量的数量积的坐标表示，即可得到所求值 【解答】 解：（ 1）由题意可得 e= = ， b2= 椭圆 C 与圆 M： y 3） 2=4 的公共弦长为 4， 可得椭圆经过点（ 2， 3）， 即有 + =1， 解得 a=4， b=2 ， 即有椭圆的方程为 + =1； （ 2）设过右顶点 A（ 4， 0）的直线 l 为 y=k（ x 4）， 由直线与圆 x2+相切，可得 = ， 解得 k= ， 将直线 y= （ x 4），代入椭圆 + =1，消去 y，可得 3132x 368=0， 设 B（ 可得 4 ， 则 =（ 4， 0） （ =4 21已知函数 f（ x） =（ x a R） （ 1）当 a=6 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若 f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，计算 f（ 1）， f（ 1），求出切线方程即可； （ 2）设 g（ x） =x x 0），求出函数的导数，得到若 f（ x） 0 恒成立，则 0 恒成立，问题转化为 ，设 ，根据函数的单调性求出 【解答】 解：（ 1）当 a=6 时， 第 16 页（共 19 页） ， f（ 1） =11， f（ 1） =6， 曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y 6=11（ x 1）， 即 y=11x 5 （ 2）设 g（ x） =x x 0）， 则 ， 当 0 x 1 时， g（ x） 0，函数 g（ x）递减， 当 x 1 时， g（ x） 0，函数 g（ x）递增， 所以当 x 0 时， g（ x） g（ 1） =1 0 若 f（ x） 0 恒成立，则 0 恒成立， 设 ，则 ， 当 时， h（ x） 0，函数 h（ x）递增， 当 时， h（ x） 0，函数 g（ x）递减， 所以当 x 0 时， ， . 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图，在 O 的直径 延长线上取点 P，作 O 的切线 N 为切点，在 找一点 M，使 M，连接 延长交 O 于点 C （ 1）求证： （ 2）若 O 的半径为 ， P，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）连接 用圆的切线的性质和等腰三角形的性质，由垂直的判定即可得证； （ 2）运用直角三角形的勾股定理和圆的相交弦定理，计算即可得到所求值 【解答】 解：（ 1）证明：连接 等腰三角形， 则