2016年四川省高考数学模拟试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年四川省高考数学模拟试卷（理科） 一 大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知 i 为虚数单位， a R，若（ a 3） +（ a+3） i 为纯虚数，则 a 的值为（ ） A 1 B 3 C 3 或 1 D 3 或 1 2已知集合 M=x|x| 2， x R， N=x|x 1| a， a R，若 N M，则 a 的取值范围为（ ） A 0 a 1 B a 1 C a 1 D 0 a 1 3设命题 p：存在四边相等的四边形不是正方形；命 题 q：若 x=y，则下列判断正确的是（ ） A p q 为真 B p q 为假 C p 为真 D q 为真 4已知抛物线 2p 0）经过点（ 2， 2），则抛物线的焦点坐标为（ ） A B C D 5小明、小王、小张、小李 4 名同学排成一纵队表演节 目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（ ）种 A 14 B 18 C 12 D 16 6执行如图所示的程序框图，输出 P 的值为（ ） A 1 B 1 C 0 D 2016 7设 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A 1024 B 256 C 8 D 4 8已知 O 为 一点，且有 ，记 面积分别为 于（ ） A 3： 2： 1 B 3： 1： 2 C 6： 1： 2 D 6： 2： 1 第 2 页（共 20 页） 9若椭圆 和圆 为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是（ ） A B C D 10已知函数 ，若存在 0 2 时， f（ f（ 则 f（ 取值范围为（ ） A B CD 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11若样本数据 ， 平均数为 8，则数据 21， 21， ， 21 的平均数为 _ 12在二项式 的展开式中，所有二项式系数之和为 128，则展开式中 系数为 _ 13已知正方体 棱长为 a， P 为棱 中点，在面 任取一点 E，使得 A 最小，则 最小值为 _ 14在平面直角坐标系中，以（ 0， 1）为圆心且与直线 ax+y+ +1=0（ a R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为 _ 15已知 a 0， f（ x） =x2+不等式 e f（ x） 3e+2 对任意 x 1， e恒成立，则实数 a 的取值范围为 _ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 = （ I）求角 A； （ ）若 =（ 0， 1）， =（ 2，求 | + |的取值范围 17为了解班级学 生对任课教师课堂教学的满意程度情况现从某班全体学生中，随机抽取12 名，测试的满意度分数（百分制）如下： 65， 52， 78， 90， 86， 86， 87， 88， 98， 72，86， 87 根据学校体制标准，成绩不低于 76 的为优良 （ ）从这 12 名学生中任选 3 人进行测试，求至少有 1 人成绩是 “优良 ”的概率； （ ）从抽取的 12 人中随机选取 3 人，记 表示测试成绩 “优良 ”的学生人数，求 的分布列及期望 18如图所示，在三棱锥 P ， 平面 P=D， C， E， F 分别是中点， 于点 G， 于点 H，连接 第 3 页（共 20 页） （ ）求证： （ ）求异面直线 成的角； （ ）求直线 平面 成角的正弦值 19已知数列 前 n 项和为 4，数列 足 ，其 n 项和为 6=32 （ ）求数列 通项公式； （ ）若不等式 ） n 7 对任意的 n N*恒成立，求实数 的取值范围 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右顶点分别为 |4，上顶点为 B，若直线 圆 M：（ x+1） 2+相切 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）直线 l： x=2 与 x 轴交于 D， P 是椭圆 C 上异于 动点，直线 别交直线 l 于 E、 F 两点， 求证： |定值 21设函数 f（ x） =x+t， t 0， g（ x） = （ ）若对任意的正实数 x，恒有 g（ x） 实数 的取值范围； （ ）对于确定的 t，是否存在直线 l 与函数 f（ x）， g（ x）的图象都相切？若存在，讨论直线 l 的条数，若不存在，请说明理由 第 4 页（共 20 页） 2016 年四川省高考数学模拟试卷（理科） 参考答案与试题解析 一 大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知 i 为虚数单位， a R，若（ a 3） +（ a+3） i 为纯虚数，则 a 的值为（ ） A 1 B 3 C 3 或 1 D 3 或 1 【考点】 复数的基本概念 【分析】 直接由实部等于 0 且虚部不为 0 列式求得 a 值 【解答】 解： （ a 3） +（ a+3） i 为纯虚数， ，解得： a=1 故选： A 2已知集合 M=x|x| 2， x R， N=x|x 1| a， a R，若 N M，则 a 的取值范围为（ ） A 0 a 1 B a 1 C a 1 D 0 a 1 【考点】 集 合的包含关系判断及应用 【分析】 分别化简集合 M， N，对 a 分类讨论，利用集合之间的关系即可得出 【解答】 解：集合 M=x|x| 2， x R= 2， 2， N=x|x 1| a， a R， 当 a 0 时， N=，满足 N M 当 a 0 时，集合 N=1 a， 1+a N M， ，解得 0 a 1 综上可得： a 的取值范围为 a 1 故选： B 3设命题 p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题 q：若 x=y，则下列判断正 确的是（ ） A p q 为真 B p q 为假 C p 为真 D q 为真 【考点】 命题的否定 【分析】 根据复合命题的真假关系进行判断即可 【解答】 解：菱形的四边形的边长相等，但不一定是正方形，故命题 p 是真命题， 当 x= y 时，满足 x=y 不成立，即命题 q 是假命题， 故 q 为真，其余都为假命题， 故选： D 4已知抛物线 2p 0）经过点（ 2， 2），则抛物线的焦点坐标为（ ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 第 5 页（共 20 页） 【分析】 抛物线 2p 0）经过点（ 2， 2），代值计算即可求出 p，能求出焦点坐标 【解答】 解：抛物线 2p 0）经过点（ 2， 2）， 4=4p， p=1， 抛物线的焦点坐标为（ 0， ）， 故选： C 5小明、小王、小张、小李 4 名同 学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（ ）种 A 14 B 18 C 12 D 16 【考点】 计数原理的应用 【分析】 小明不站排头，小张不站排尾，可按小明在排尾与不在排尾分为两类，根据分类计数原理可得 【解答】 解：小明不站排头，小张不站排尾排法计数可分为两类， 第一类小明在排尾，其余 3 人全排，故有 种， 第二类小明不在排尾，先排小明，有 方法，再排小张有 方法，剩下的 2 人有排法，故有 2 2 2=8 种 根据分类计数原理可得，共有 6+8=14 种， 故选： A 6执行如图所示的程序框图，输出 P 的值为（ ） A 1 B 1 C 0 D 2016 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图的运行过程，写出每次循环得到的 P， i 的值，当 i=2017 2016时，满足条件，终止循环，输出 P 的值 【解答】 解：执行程序框图，有 p=0， i=1， P=0+ 1， i=2，不满足条件 i 2016？，有 P= 1+， i=3，不满足条件 i 2016，有 P=0+ 1， ， ， i=2016，不满足条件 i 2016，有 P= 1+， 第 6 页（共 20 页） i=2017，满足条件 i 2016，输出 P 的值为 0 故选： C 7设 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A 1024 B 256 C 8 D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可 【解答】 解：由 z= =22x y，令 u=2x y， 作出约束条件 ，对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线 y=2x u 由图象可知当直线 y=2x u 过点 A 时，直线 y=2x u 的截距最小，此时 u 最大， 由 ，解得 ，即 A（ 5， 2） 代入目标函数 u=2x y， 得 u=2 5 2=8， 目标函数 z= =22x y，的最大值是 28=256 故选： B 8已知 O 为 一点，且有 ，记 面积分别为 于（ ） A 3： 2： 1 B 3： 1： 2 C 6： 1： 2 D 6： 2： 1 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 第 7 页（共 20 页） 【分析】 如图所示，延长 点 E，使得 =2 ，分别以 ， 为邻边作平行四边形 +2 = + = ，由于 +2 +3 = ，可得 =3 又 =2 ，可得 =2 于是 = ，得到 S S 理可得： S S S 可得出 【解答】 解：如图所示， 延长 点 E，使得 =2 ，分别以 ， 为邻边作平行四边形 则 +2 = + = ， +2 +3 = ， =3 又 =2 ，可得 =2 于是 = ， S S 同理可得： S S S S 面积比 =6： 1： 2 故选： C 9若椭圆 和圆 为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 圆与圆锥曲线的综合 【分析】 由题设知 ，由 ，得 2c b，再平方， 4；由，得 b+2c 2a， 综上所述， 【解答】 解： 椭圆 和圆 为椭圆的半焦距）的中心都在原点， 且它们有四个交点， 圆的半径 ， 第 8 页（共 20 页） 由 ，得 2c b，再平方， 4 在椭圆中， a2=b2+5 ； 由 ，得 b+2c 2a， 再平方， 4 33 43 4c 3b， 169 1699 925 ， 综上所述， 故选 A 10已知函数 ，若存在 0 2 时， f（ f（ 则 f（ 取值范围为（ ） A B CD 【考点】 分段函数的应用 【分析】 先作出函数图象然后根据图象，根据 f（ =f（ 确定 取值范围然后再根据 f（ 转化为求在 取值范围即可 【解答】 解：作出函数的图象： 存在 0 2 时， f（ =f（ 0 ， x+ 在 0， ）上的最小值为 ； 2x 1 在 ， 2）的最小值为 ， 第 9 页（共 20 页） ， ， f（ =， f（ =f（ f（ = f（ 2 = （ ） =， 设 y=（ ） 2 ，（ ）， 则对应抛物线的对称轴为 x= ， 当 x= 时， y= ， 当 x= 时， y= ， 即 f（ 取值范围为 ， ） 故选： B 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11若样本数据 ， 平均数为 8，则数据 21， 21， ， 21 的平均数为 15 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 根据平均数与方差的公式即可求出数据 21， 21， ， 21 的平均数 【解答】 解： 样本数据 ， 平均数是 10， = （ x1+=8； 数据 21， 21， ， 21 的平均数是： = （ 21） +（ 21） +（ 21） =2 （ x1+ 1=2 8 1=15 第 10 页（共 20 页） 故答案为： 15 12在二项式 的展开式中，所有二项式系数之和为 128，则展开式中 系数为 35 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 由条件利用二项式系数的性质求得 n=7，再利用二项展开式的通项公式求得 系数 【解答】 解 ：由题意可得 2n=128， n=7， = ， 它的通项公式为 = 4r，令 21 4r=5，求得 r=4， 故展开式中 系数为 =35， 故答案为： 35 13已知正方体 棱长为 a， P 为棱 中点，在面 任取一点 E，使得 A 最 小，则最小值为 a 【考点】 棱柱的结构特征 【分析】 由图形可知 平面 A 到平面 距离与 C 到平面 C，所以 是 P 的最小值； 【解答】 解：连接 N，连接 则 平面 平面 C， 连接 线段 长就是 A 的最小值 在 ， a， a， = a 故答案为： a 第 11 页（共 20 页） 14在平面直角坐标系中，以（ 0， 1）为圆心且与直线 ax+y+ +1=0（ a R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为 2 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 圆半径 r= ， a= 1 时， =1， a=1 时， = ，由此能求出最大圆面积与最小圆面积的差 【解答】 解： 圆以（ 0， 1）为圆心且与直线 ax+y+ +1=0（ a R）相切， 圆半径 r= = = ， a= 1 时， =1，最小圆面积 12=， a=1 时， = ，最大圆面积 =3， 最大圆面积与最小圆面积的差为： 3 =2 故答案为： 2 15已知 a 0， f（ x） =x2+不等式 e f（ x） 3e+2 对任意 x 1， e恒成立，则实数 a 的取值范围为 e+1， 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 利用导数可求得 f（ x）的单调区间，由 f（ 1） = 1+a e 可得 a e+1，从而可判断f（ x）在 1， e上的单调性，得到 f（ x）的最大值，令其小于等于 3e+2 可得答案 【解答】 解： f（ x） = 2x+a= ， x 0，又 a 0， x （ 0， a）时 f（ x） 0， f（ x）递增； x （ a， +）时， f（ x） 0， f（ x）递减 又 f（ 1） = 1+a e， a e+1， f（ x）在 1， e上是增函数， 最大值为 f（ e） =e2+3e+2， 第 12 页（共 20 页） 解得： a ， 又 a e+1，而 e+1 ， a 的取值集合是 e+1， ， 故答案为： e+1， 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 = （ I）求角 A； （ ）若 =（ 0， 1）， =（ 2，求 | + |的取值范围 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 （ I）将切化弦，利于和角公式和正弦定理化简得出 （ 出 + 的坐标，计算 | + |2，根据 B 的范围解出 | + |的范围 【解答】 解：（ I） = ， ，整理得 A= （ 21+ B+ ） =1 =（ 1 =（ （ ） 2= 2= + + 2B+ ） 0 B ， 2B+ 1 2B+ ） ， （ ） 2 | + | 17为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况现从某班全体学生中，随机抽取12 名，测试的满意度分数（百分制）如下： 65， 52， 78， 90， 86， 86， 87， 88， 98， 72，86， 87 根据学校体制标准，成绩不低于 76 的为优良 （ ） 从这 12 名学生中任选 3 人进行测试，求至少有 1 人成绩是 “优良 ”的概率； （ ）从抽取的 12 人中随机选取 3 人，记 表示测试成绩 “优良 ”的学生人数，求 的分布列及期望 第 13 页（共 20 页） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ） 12 名学生中成绩是 “优良 ”的学生人数为 9 人，至少有 1 人成绩是 “优良 ”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是 “优良 ”，由此能求出至少有 1 人成绩是 “优良 ”的概率 （ ）由已知得 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 【解答】 解：（ ） 随机抽取 12 名，测试的满意度分数（百分制）如下： 65， 52， 78， 90，86， 86， 87， 88， 98， 72， 86， 87， 根据学校体制标准，成绩不低于 76 的为优良， 12 名学生中成绩是 “优良 ”的学生人数为 9 人， 从这 12 名学生中任选 3 人进行测试，基本事件总数 n= =220， 至少有 1 人成绩是 “优良 ”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是 “优良 ”， 至少有 1 人成绩是 “优良 ”的概率： p=1 = （ ）由已知得 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， 有的分布列为： 0 1 2 3 P = 18如图所示，在三棱锥 P ， 平面 P=D， C， E， F 分别是中点， 于点 G， 于点 H，连接 （ ）求证： （ ）求异面直线 成的角； （ ）求直线 平面 成角的正弦值 第 14 页（共 20 页） 【考点】 直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角 【分析】 （ I）根据中位线及平行公理可得 是 平面 用线面平行的性质得出 而 （ 得 B 为原点建立空间直角坐标系，求出 ， 的坐标，计算 ， 的夹角得出异面直线 成的角； （ 出 和平面 法向量 ，则直线 平面 成角的正弦值为 | | 【解答】 证明：（ I） 中位线， 中位线， 面 面 平面 又 面 面 面 H， （ D 是 中点， 平面 两垂直 以 B 为原点以 坐标轴建立空间直角坐标系如图： 设 P=，则 B（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， 1）， D（ ， ， 0）， Q（ 0， 1， 0） =（ ， ， 1）， =（ 0， 1， 0） = ， | |= ， | |=1， = 异面直线 成的角为 （ P=，则 A（ 1， 0， 0）， Q（ 0， 1， 0）， P（ 0， 0， 1）， D（ ， ， 0），C（ 0， ， 0） =（ 1， 1， 0）， =（ ， 0， 0）， =（ 0， ， 1） 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z），则 ， =0， 第 15 页（共 20 页） ，令 z=1， 得 =（ 0， 2， 1） =2， | |= ， | |= ， = = ， 直线 平面 成角的正弦值为 19已知数列 前 n 项和为 4，数列 足 ，其 n 项和为 6=32 （ ）求数列 通项公式； （ ）若不等式 ） n 7 对任意的 n N*恒成立，求实数 的取值范围 【考点】 数列的求 和；数列递推式 【分析】 （ I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、递推关系即可得出 （ ） 4n 4不等式 ） n 7，化为： ，利用单调性求出 的最小值即可得出 【解答】 解：（ I） 4， n=1 时， 4，解得 ；当 n 2 时， n 1=24（ 21 4），化为：1 数列 等比数列，首项为 4，公比为 2， 2n 1=2n+1 数列 足 ， 数列 等差数列，公差为 1 6=32， 2+6 1=32，解得 +（ n 1） =n+1 （ ） 2n+1 4 不等式 ） n 7，化为： ， 第 16 页（共 20 页） =（ n+1） + 3 2 3=3， 当 n=2 时， 取得最小值 3， 实数 的取值范围是 3 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右顶点分别为 |4，上顶点为 B，若直线 圆 M： （ x+1） 2+相切 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）直线 l： x=2 与 x 轴交于 D， P 是椭圆 C 上异于 动点，直线 别交直线 l 于 E、 F 两点，求证： |定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由条件可得到 2， 0）， B（ 0， b），从而可以写出直线 方程，这样即可得出圆心（ 1， 0）到该直线的距离为 ，从而可以求出 b，这便可得出椭圆 C 的标准方程为 ； （ ）可设 P（ 从而有 ，可写出直线 方程为 ，从而可以求出该直线和直线 x= 的交点 E 的坐标，同理可得到点 F 的坐标，这样即可得出 | |然后可求得 |3，即得出 |定 值 【解答】 解：（ ）由题意得 2， 0）， B（ 0， b）； 直线 方程为 ； 圆心（ 1， 0）到直线 距离为 ； 解得 ； 椭圆 C 的标准方程为 ； （ ）证明：设 P（ 则 ， ； 第 17 页（共 20 页） 直线 方程为 ； ； 同理得， ； ； |定值 21设函数 f（ x） =x+t， t 0， g（ x） = （ ）若对任意的正实数 x，恒有 g（ x） 实数 的取值范围； （ ）对于确定的 t，是否存在直线 l 与函数 f（ x）， g（ x）的图象都相切？若存在，讨论直线 l 的条数，若不存在，请说明理由 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）由题意可得 0 恒成立，讨论当 0 时， h（ x） =最大值；当 0 时，求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，由恒成立思想解不等式即可得到所求范围； （ 2）分别设出切点，再根导数的几何意义求出切线方程，构造方程组，消元，再构造函数F（ x） =（ t+1），利用导 数求出函数