2016年四川省南充市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2016 年四川省南充市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1设全集 U=x|1 x 4，集合 A=x|0 1，则 ） A x|1 x 2 B x|2 x 3 C x|2 x 4 D x|2 x 4 2 （ ） A B C D 3二项式（ 1 x） 6 的展开式中 系数是（ ） A 20 B 15 C 15 D 20 4设 a， b R，且 b 1 是 “a+b 2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5执行下面的程序框图，若输入 x=5， y=4，则输出的有序数对为（ ） A（ 8， 9） B（ 9， 10） C（ 10， 11） D（ 11， 12） 6已知 P 是 一点， + +4 = ，现将一粒黄豆撒在 ，则黄豆落在 的概率是（ ） A B C D 7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 180 B 360 C 144+72 D 108 8双曲线 C： 的左右顶点分别为 P 在双曲线 C 上，且直线 斜率的取值范围为 1， 2，那么直线 斜率的取值范围是（ ） 第 2 页（共 17 页） A ， B（ ， ） C ， D（ ， ） 9下列四个图象中，有一个是函数 f（ x） = x3+ 9） x+1（ a R， a 0）的导函数 y=f（ x）的图象，则 f（ 1） =（ ） A B C D 1 10设抛物线 p 0），点 M 在抛物线 ，且 |10，若以线段 直径的圆 点 A（ 0， 3），则圆心 抛物线的准线的距离为（ ） A 6 B 6 或 14 C 14 D 2 或 18 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 .、共 16 分 . 11设 i 是虚数单位，复数 z 满足（ z i）（ 1+i） 2=2i，则 z=_ 12用数字 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的奇数共有 _个（用数字作答） 13在 ，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c 已知 2a b= c，则 _ 14定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） = ，则 f 在直角坐标系中，定义两点 A（ B（ 间的 “直角距离 ”为 d（ A， B） =| 现有以下命题： 若 A， B 是 x 轴上两点，则 d（ A， B） =| 已知点 A（ 1， 2），点 B 在线段 x+y=1（ x 0， 1）上，则 d（ A， B）为定值； 已知点 A（ 2， 1），点 B 在椭圆 + 上，则 d（ A， B）的取值范围是（ 1， 5）； 若 |示 A， B 两点间的距离，那么 | d（ A， B） 其中真命题的是 _（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16已知数列 前 n 项和 足 =2Sn+ ， 等差数列 （ ）求数列 通项公式 （ ）证明 + + + 对任意正整 n 成立 17 40 名高三学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： （ ）求频率分布直方图中 x 的值； 第 3 页（共 17 页） （ ）分别求出成绩落在从成绩落在已知函数 f（ x） =2 x） +2a 的最大值为 3 （ ）求 f（ x）的对称轴方程和 a 的值； （ ）试讨论函数 f（ x）在区间 ， 上的单调性 19如图，在四棱锥 P ，底面 直角梯形， 棱 底面 B=， （ ）试作出平面 平面 交线 需要说明画法和理由）； （ ）求证：直线 平面 （ ）求二面角 C D 的余弦值 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）过点（ 0， 1），且离心率 e= （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知直线 l 与椭圆 C 交于 A（ B（ 点，且 面积为 S，其中 O 为坐标原点，当 S 取得最大值时，求 y +y 的值 21设函数 f（ x） =b+中 a， b 为实数， e= （ ）当 b=0 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线方程； （ ）求函数 f（ x）在区间 0， 1上的最大值； （ ）若函数 g（ x） =f（ x） + b a） x b+1， g（ 1） =0，且 g（ x）在（ 0， 1）内有零点，求 a 的取值范围 第 4 页（共 17 页） 2016 年四川省南充市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1设全集 U=x|1 x 4，集合 A=x|0 1，则 ） A x|1 x 2 B x|2 x 3 C x|2 x 4 D x|2 x 4 【考点】 补集及其运算 【分析】 求出集合 A， 从而求出 A 的补集即可 【解答】 解： U=x|1 x 4， 集合 A=x|0 1=x|1 x 2， 则 x|2 x 4， 故选： D 2 （ ） A B C D 【考点】 二倍角的正弦 【分析】 利用诱导公式，二倍角的 正弦函数公式化简，根据特殊角的三角函数值即可计算得解 【解答】 解： = 故选： A 3二项式（ 1 x） 6 的展开式中 系数是（ ） A 20 B 15 C 15 D 20 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求 得 r 的值，即可求得展开式中 系数 【解答】 解：二项式（ 1 x） 6 的展开式的通项公式为 = （ x） r， 令 r=2，可得展开式中 系数是 =15， 故选： C 4设 a， b R，且 b 1 是 “a+b 2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 b 1，取 b=a=0，无 法推出 a+b 2，反之也不成立，例如取 a=3， b=0即可判断出结论 【解答】 解： b 1，取 b=a=0，无法推出 a+b 2，反之也不成立，例如取 a=3， b=0 第 5 页（共 17 页） 因此 b 1 是 “a+b 2”的既不充分也不必要条件 故选： D 5执行下面的程序框图，若输入 x=5， y=4，则输出的有序数对为（ ） A（ 8， 9） B（ 9， 10） C（ 10， 11） D（ 11， 12） 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是 利用循环结构计算并输出有序数对（ x，y）的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 n=1 时，满足进行循环的条件， x=5， y=6， n=2； 当 n=2 时，满足进行循环的条件， x=7， y=8， n=3； 当 n=3 时，满足进行循环的条件， x=9， y=10， n=4； 当 n=4 时，不满足进行循环的条件， 故输出的有序数对为（ 9， 10）， 故选： B 6已知 P 是 一点， + +4 = ，现将一粒黄豆撒在 ，则黄豆落在 的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则，结合共线 向量充要条件，得点 P 是 O 的三等分点再根据几何概型公式，将 面积与 面积相除可得本题的答案 【解答】 解：以 邻边作平行四边形 ， + +4 = ， + = 4 ，得 = 4 =2 = 4 ，即 = 2 ， 由此可得， P 是 的中线 一个三等分点， 点 P 到 距离等于 A 到 距离的 S S 第 6 页（共 17 页） 将一粒黄豆随机撒在 ，黄豆落在 的概率为 P= = ， 故选： C 7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 180 B 360 C 144+72 D 108 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为 6 的直角三角形，高为 6，四棱锥的底面是一个以 6 为边长的正方形，高为 6，分别求出棱柱和棱锥的体积 ，进而可得答案 【解答】 解：由已知中的该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体， 故选 A 8双曲线 C： 的左右顶点分别为 P 在双曲线 C 上，且直线 斜率的取值范围为 1， 2，那么直线 斜率的取值范围是（ ） A ， B（ ， ） C ， D（ ， ） 【考点】 双曲线的简单性质 第 7 页（共 17 页） 【分析】 求得双曲线的顶点，设 P（ m， n），代入双曲线的方程 ，求得 k k = = = ，由已知斜率，即可得到所求的斜率 【解答】 解：双曲线 C 的左右顶点分别为 ， 0）， ， 0）， 设 P（ m， n），则 ， 即有 ， 可得 k k = = = ， 由 k 1， 2， 即有直线 斜率的取值范围为 ， 故选： A 9下列四个图象中，有一个是函数 f（ x） = x3+ 9） x+1（ a R， a 0）的导函数 y=f（ x）的图象，则 f（ 1） =（ ） A B C D 1 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 先求出 f（ x） =（ x+a） 2 9，根据开口方向，对称轴，判断哪一个图象是导函数y=f（ x）的图象，再根据图象求出 a 的值，最后求出 f（ 1） 【解答】 解： f（ x） = x3+ 9） x+1， f（ x） = 9） =（ x+a） 2 9， 开口向上，对称轴 x= a， a R， a 0 只有第三个图是导函数 y=f（ x）的图象， 9=0， x= a 0， a= 3， f（ x） = 3， f（ 1） = ， 第 8 页（共 17 页） 故选： C 10设抛物线 p 0），点 M 在抛物线 ，且 |10，若以线段 直径的圆 点 A（ 0， 3），则圆心 抛物线的准线的距离为（ ） A 6 B 6 或 14 C 14 D 2 或 18 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得 |10，求得 由直角三角形的性质：斜边的中线为斜边的一半，以及中点坐标公式可得圆圆心为（ 5， 3），求得 M（ 10 ， 6），代入抛物线的方程，解得 p 的值，即可得到所求距离 【解答】 解：抛物线 p 0）的焦点为（ ， 0）， 准线为 l： x= ， 由 |10，由抛物线的定义可得 |10， 即有 =10，即 0 ， 以线段 直径的圆 点 A（ 0， 3）， 连接 得 | |5， 可得圆 圆心为（ 5， 3）， 由中点坐标公式可得 M（ 10 ， 6）， 代入抛物线的方程可得 36=2p（ 10 ）， 解得 p=2 或 18 则圆心 抛物线的准线的距离为 5+ =5+1=6 或 5+9=14 故选： B 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 .、共 16 分 . 第 9 页（共 17 页） 11设 i 是虚数单位，复数 z 满足（ z i）（ 1+i） 2=2i，则 z= 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的运算法则的计算即可 【解答】 解：（ z i）（ 1+i） 2=2i， （ z i） 2i=2i， z=1+i， 故答案为： 1+i 12用数字 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的奇数共有 120 个（用数字作答） 【考点】 计数原理的应用 【分析】 根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是 4、 5 其中 1 个，末位数字为 1、 3、5 中其中 1 个；进而对首位数字 分 2 种情况讨论， 首位数字为 5 时， 首位数字为 4 时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案 【解答】 解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是 4、 5 其中 1 个，末位数字为 1、3、 5 中其中 1 个； 分两种情况讨论： 首位数字为 5 时，末位数字有 2 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位置上，有 4 种情况，此时有 2 24=48 个， 首位数字为 4 时，末位数字有 3 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位置 上，有 4 种情况，此时有 3 24=72 个， 共有 72+48=120 个 故答案： 120 13在 ，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c 已知 2a b= c，则 【考点】 余弦定理 【分析】 由已知及正弦定理可得 a= ，结合 a b= c，解得 c=2b，利用余弦定理即可计算求得 值 【解答】 解： 在 ， 2 由正弦定理可得： 2a=3b，即 a= ， a b= b= = c，解得： c=2b， = = 故答案为： 第 10 页（共 17 页） 14定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） = ，则 f=f（ x 1） f（ x 2）推导可得 f（ x） = f（ x 3） =f（ x 6），从而解得 【解答】 解： f（ x） =f（ x 1） f（ x 2） =f（ x 2） f（ x 3） f（ x 2） = f（ x 3）， f（ x） = f（ x 3） =f（ x 6）， 故 f=f（ 0） =2 0） = 故答案为： 15在直角坐标系中，定义两点 A（ B（ 间的 “直角距离 ”为 d（ A， B）=| 现有以下命题： 若 A， B 是 x 轴上两点，则 d（ A， B） =| 已知点 A（ 1， 2），点 B 在线段 x+y=1（ x 0， 1）上，则 d（ A， B）为定值； 已知点 A（ 2， 1），点 B 在椭圆 + 上，则 d（ A， B）的取值范围是 （ 1， 5）； 若 |示 A， B 两点间的距离，那么 | d（ A， B） 其中真命题的是 （写出所有真命题的序号） 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据题意，可得 y1=，根据定义直接判断； 利用定义可得出 d（ A， B） =|1 x|+|1+x|，利用 x 的范围去绝对值可得结论； 利用换元法得出则 d（ A， B） =3 2+ ），进而求出 d 的范围； 根据均值定理公 式 ，结合定义和距离的内在关系得出结论 【解答】 解： 若 A， B 是 x 轴上两点， y1=，则 d（ A， B） =|故正确； 已知点 A（ 1， 2），点 B 在线段 x+y=1（ x 0， 1）上，则 d（ A， B） =|1 x|+|1+x|=2，故正确； 已知点 A（ 2， 1），点 B 在椭圆 + 上， 设 x= y= 则 d（ A， B） =3 2+ ），故 d 的取值范围是（ 1， 5），故正确； 若 |示 A， B 两点间的距离， 设 a=| b=| ， d2=a2+ ， 第 11 页（共 17 页） | d（ A， B），故正确 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16已知数列 前 n 项和 足 =2Sn+ ， 等差数列 （ ）求数列 通项公式 （ ）证明 + + + 对任意正整 n 成立 【考点】 数列递推式；数列与不等式的综合 【分析】 （ ）首先讨论，从而可得数列 足 =3结合 ， 等差数列求得 ，从而写出通项公式； （ ）由等比数列前 n 项和公式求和，从而证明 【解答】 解：（ ）当 n=1 时， 当 n 2 时， =2Sn+1+ 两式作差可得， =3 故数列 足 =3 又 ， 等差数列， （ 3）， 解 得， ， 故数列 以 1 为首项， 3 为公比的等比数列， 故通项公式 n 1 （ ）证明：由（ ）知， = ， 故 + + + = = （ 1 ） 对任意正整 n 成立 17 40 名高三学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： （ ）求频率分布直方图中 x 的值； （ ）分别求出成绩落在从成绩落在由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1，能求出 x （ ）先求出成绩落在成绩落在由频率分布直方图，得： （ 2+2x+ 10=1， 解得 x= （ ）成绩落在成绩落在 = = ， P（ X=1） = = ， 第 12 页（共 17 页） P（ X=2） = = ， X 的分布列为： X 0 1 2 P = 18已知函数 f（ x） =2 x） +2a 的最大值为 3 （ ）求 f（ x）的对称 轴方程和 a 的值； （ ）试讨论函数 f（ x）在区间 ， 上的单调性 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ ）由三角函数公式化简可得 f（ x） =22x+ ） +a+1，由已知最值可得 a=0，解 2x+ =可得对称轴方程； （ ）解 2 2x+ 2可得单调递增区间，和已知区间取交集可得单调递增区间，同时可得单调递减区间 【解答】 解：（ ）由三角函数公式化简可得 f（ x） =2 x） +2a =2 a= a+1=22x+ ） +a+1， 函数的最大值为 3， 2+a+1=3，解得 a=0，故 f（ x） =22x+ ） +1， 令 2x+ =可得 x= ，故 f（ x）的对称轴方程为 x= ， k Z； （ ）令 2 2x+ 2可 得 x ， k Z， 当 k=0 时，可得函数的一个单调递增区间为 ， ， 函数 f（ x）在区间 ， 上的单调递减 19如图，在四棱锥 P ，底面 直角梯形， 棱 底面 B=， （ ）试作出平面 平面 交线 需要说明画法和理由）； （ ）求证：直线 平面 （ ）求二面角 C D 的余弦值 第 13 页（共 17 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）延长 于点 E，由此作出平面 平面 交线 （ ）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标 系，利用向量法能证明直线 平面 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出二面角 C 【解答】 解：（ ）延长 于点 E，连结 由此作出平面 平面 交线 证明：（ ） 在四棱锥 P ，底面 直角梯形， 棱 底面 B=， ， 以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， E（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）， B（ 0， 2， 0）， C（ 2， 2， 0）， =（ 0， 2， 2）， =（ 0， 2， 2）， =（ 2， 2， 2）， =0+4 4=0， =0+4 4=0， 又 B=P， 直线 平面 解：（ ）设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 y=1，得 =（ 0， 1， 1）， 设平面 法向量 =（ a， b， c）， D（ 1， 0， 0）， =（ 1， 0， 2）， ，取 b=1，得 =（ 2， 1， 1）， 设二面角 C D 的平面角为 ， 则 = 二面角 C D 的余弦值为 第 14 页（共 17 页） 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）过点（ 0， 1），且离心率 e= （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知直线 l 与椭圆 C 交于 A（ B（ 点，且 面积为 S，其中 O 为坐标原点，当 S 取得最大值时，求 y +y 的值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）运用离心率公式，结合 a， b， c 的关系，解方程可得 a，进而得到椭圆方程； （ ）设直线 l 的方程为 x=my+t，代入椭圆方程可得（ 4+4=0，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到最大值，计算化简即可得到所求值为 1 【解答】 解：（ ）由题意可得 b=1，且 e= = ， b2= 解得 a=2， c= ， 即有椭圆的方程为 +； （ ）设直线 l 的方程为 x=my+t， 代入椭圆方程可得（ 4+4=0， 判别式为 44（ 4+ 4） 0， 即为 4+ y1+ ， ， 则 S= d| = |t| = = ， 第 15 页（共 17 页） 当且仅当 + 4+S 取得最大值 即有 y +y =（ y1+2 2 ） 2 2 = = = =1 21设函数 f（ x） =b+中 a， b 为实数， e= （ ）当 b=0 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线方程； （ ）求函数 f（ x）在区间 0， 1上的最大值； （ ）若函数 g（ x） =f（ x） + b a） x b+1， g（ 1） =0，且 g（ x）在（ 0， 1）内有零点，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【 分析】 （ ）求出函数的导数，计算， f（ 0）， f（ 0），求出切线方程即可； （ ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调性，从而求出函数的最大值即可； （ ）求出导数， g（ 1） =0，可得 b=e a 1，得到 g（ x） = e a 1） x ，结合（ ）运用函数零点存在定理，结合函数的单调性，即可得到所求范围 【解答】 解： （ ） b=0 时， f（ x） =f（ x） =a f（ 0） = 1， f（ 0） =a 1， 故切线方程是： y+1=（ a 1） x， 即 y=（ a 1） x 1； （ ） f（ x） =a a 0 时， f（ x） 0， f（ x）在 0， 1递减， f（ x） f（ 0） =b 1； a 0 时，令 f（ x） =0，解得： x= 令 f（ x） 0，解得： x f（ x） 0，解