2016年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1已知全集 U=y|y=x= 1， 0， 1， 2，集合 A= 1， 1， B=1， 8，则 A（ （ ） A 1， 1 B 1 C 1 D 2函数 的定义域为（ ） A（ ， 1 B 1， 1 C 1， 2） （ 2， +）D 3已知数据 ， 500（单位：公斤），其中 ， 某班50 个学生的体重，设这 50 个学生体重的平均数为 x，中位数为 y，则 ， 00 这 51 个数据的平均数、中位数分别与 x、 y 比较，下列说法正确的是（ ） A平均数增大，中位数一定变大 B平均数增大，中位数可能不变 C平均数可能不变，中位数可能不变 D平均数可能不变，中位数可能变小 4下列函数为偶函数的是（ ） A f（ x） =x B f（ x） = f（ x） = 5已知 a R， “关于 x 的不等式 2ax+a 0 的解集为 R”是 “0 a 1”（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6函数 f（ x） = 的图象与函数 的图象的交点个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7如图，非零向量 = ， = ，且 P 为垂足，若向量 = ，则 的值为（ ） A B C D 8已知 x， y R，且满足 ，则 的最大值为（ ） 第 2 页（共 18 页） A 3 B 2 C 1 D 9如图，四棱锥 P 底面 平行四边形， 三棱锥 N 四棱锥 P 体积比为（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 6 D 1： 8 10如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11 已知 i 是虚数单位， m， n R，且 m+2i=2 的共轭复数为 _ 12已知圆 C 的圆心坐标为（ 3， 2），抛物线 4y 的准线被圆 C 截得的弦长为 2，则圆C 的方程为 _ 13已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）是偶函数，它的部分图象如图所示 M 是函数 f（ x）图象上的点， K， L 是函数 f（ x）的图象与 x 轴的交点，且 f（ x） =_ 第 3 页（共 18 页） 14若 a 0， b 0，则 的最小值是 _ 15已知点 双曲线 的左，右焦点，点 P 在双曲线C 的右支上，且满足 | 20，则双曲线的离心率为 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 16 2016 年 1 月份，某家电公司为了调查用户对该公司售后服 务的满意度，随机调查了 10名使用该公司产品的用户，用户通过 “10 分制 ”对公司售后服务进行评价分数不低于 的用户为满意用户，分数低于 9 分的用户为不满意用户，其它分数的用户为基本满意用户已知这 10 名用户的评分分别为： 10 （ ）从这 10 名用户的不满意用户和基本满意用户中各抽取一人，求这两名用户评分之和大于 18 的概率； （ ）从这 10 名用户的满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，求这两名用户至少有一人为满意用户的概率 17在锐 角 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，向量 ，向量 ，且 （ ）求角 B 的大小； （ ）若 a c 的值 18如图，在四棱锥 P ， 平面 5，D=， E、 F、 H 分别为 中点 （ ）设面 l，求证： l； （ ）求证： 面 19已知等差数列 公差 d=2，其前 n 项和为 列 首项 ，其前 n 项和为足 （ ）求数列 通项公式； （ ）求数列 |14|的前 n 项和 第 4 页（共 18 页） 20已知椭圆 的长轴长为 ，点 A， B， C 在椭圆 E 上，其中点 A 是椭圆 E 的右顶点，直线 原点 O，点 B 在第一象限，且 |2| （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）与 x 轴不垂直的直线 l 与圆 x2+ 相切，且与椭圆 E 交于两个不同的点 M， N，求 面积的取值范围 21已知函数 f（ x） = （ ）对于 x （ 0， 1）， f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ ）当 a=0 时， h（ x） =x（ 1） f（ x），证明 h（ x）存在唯一极值点 第 5 页（共 18 页） 2016 年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1已知全集 U=y|y=x= 1， 0， 1， 2，集合 A= 1， 1， B=1， 8，则 A（ （ ） A 1， 1 B 1 C 1 D 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 化简全集 U，求出 B 在 U 中的补集，再计算 A（ 【解答】 解：全集 U=y|y=x= 1， 0， 1， 2= 1， 0， 1， 8， 集合 A= 1， 1， B=1， 8， x|x Z，且 x 1， x 8， A（ = 1 故选： B 2函数 的定义域为（ ） A（ ， 1 B 1， 1 C 1， 2） （ 2， +）D 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 由函数 列出不等式组 ，求出解集即可 【解答】 解：由函数 ， 得 ， 解得 ， 即 1 x 1 且 x ； 所以函数 y 的定义域为 1， ） （ ， 1 故选： D 第 6 页（共 18 页） 3已知数据 ， 500（单位：公斤），其中 ， 某班50 个学生的体重，设这 50 个学生体重的平均数为 x，中位数为 y，则 ， 00 这 51 个数据的平均数、中位数分别与 x、 y 比较，下列说法正确的是（ ） A平均数增大，中位数一定变大 B平均数增大，中位数可能不变 C平均数可能不变，中位数可能不变 D平均数可能不变，中位数可能变小 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 根据平均数与中位数的定义，分析这组数据，即可得出正确的结论 【解答】 解：根 据题意得，数据 ， 某班 50 个学生的体重，其平均数应在 50 公斤左右，再增加一个数据 500，这 51 个数据的平均数一定增大， 而中位数有可能不变，如：按大小顺序排列后，第 25、 26 个数据相等时，其中位数相等 故选： B 4下列函数为偶函数的是（ ） A f（ x） =x B f（ x） = f（ x） = 【考点】 函数奇偶性的判断 【分析】 根据函数奇偶性的定义进行判断即可 【解答】 解： f（ x） =x 的对称轴是 x= ，为非奇非偶函数， f（ x） = f（ x），则 f（ x） =奇函数， f（ x） = x） =f（ x），则 f（ x） =偶函数， f（ x） +f（ x） = x） +x） =，即 f（ x） = f（ x），函数 f（ x）为奇函数， 故选： C 5已知 a R， “关于 x 的不等式 2ax+a 0 的解集为 R”是 “0 a 1”（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 不等式 2ax+a 0 的解集为 R，则 0，解出即可 【解答】 解：关于 x 的不等式 2ax+a 0 的解集为 R， 0，即 44a 0，解得 0 a 1 实数 a 的取值范围是 0， 1 故 “关于 x 的不等式 2ax+a 0 的解集为 R”是 “0 a 1”的充要条件， 故选： C 6函数 f（ x） = 的图象与函数 的图象的交点个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 第 7 页（共 18 页） 【考点】 对数函数的图象与性质 【分析】 在同一个坐标系内分别画出函数的图象，数形结合求交点个数 【解答】 解：两个函数图象如图： 由图可知两个函数图形交点个数为 1： 故选 A 7如图，非零向量 = ， = ，且 P 为垂足，若向量 = ，则 的值为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意可知，向量 与 的数量积等于 0，把向量 与 都用向量 与 表示，整理后即可得到 的值 【解答】 解：由图可知， ，即 ， 所以 ， 因为 0， 所以 故选 C 第 8 页（共 18 页） 8已知 x， y R，且满足 ，则 的最大值为（ ） A 3 B 2 C 1 D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 t 的几何意义进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图， 的几何意义是区域内的点到点（ 0， 1）的斜率， 由图象知 斜率最大， 由 ，得 ，即 A（ 1， 2）， 则 的最大值为 t= =3， 故选： A 9如图，四棱锥 P 底面 平行四边形， 三棱锥 N 四棱锥 P 体积比为（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 6 D 1： 8 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 【解答】 解：设四棱锥 P 体积为 V， 第 9 页（共 18 页） 四边形 平行四边形， S S V V 三棱锥 N 四棱锥 P 体积比为 1： 6 故选 C 10如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量 s 和循环变量 n，由判断框得知，算法执行的是求 2和， n 从 1 取到 100，利用等比数列求和公式即可计算得解 【解答】 解：通过分析知该算法是求和 223+2100 由于 223+2100 2+22 23+24 +2100= 故选： C 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11已知 i 是虚数单位， m， n R，且 m+2i=2 的共轭复数为 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数相等，求出 m， n 然后求解复数的代数形式 【解答】 解： m， n R，且 m+2i=2 得 m=2， n= 2， 第 10 页（共 18 页） = = = = i 它的共轭复数为 i 故答案为： i 12已知圆 C 的圆心坐标为（ 3， 2），抛物线 4y 的准线被圆 C 截得的弦长为 2，则圆C 的方程为 （ x 3） 2+（ y 2） 2=2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出准线方程，计算圆心到直线的距离，利用垂径定理计算圆的半径，得出圆的方程 【解答】 解：抛物线 4y 的准线方程为： y=1 圆心 C（ 3， 2）到直线 y=1 的距离 d=1 圆的半径 r= = ， 圆的方程为：（ x 3） 2+（ y 2） 2=2 故答案为：（ x 3） 2+（ y 2） 2=2 13已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）是偶函数，它的部分图象如图所示 M 是函数 f（ x）图象上的点， K， L 是函数 f（ x）的图象与 x 轴的交点，且 f（ x） = 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由函数的最值求出 A，由函数的奇偶性求出 的值，由周期求出 ，可得函数的解析式 【解答】 解：由题意可得 A= ， =2， k Z，再结合 0 ，可得 = ， 函数 f（ x） = x+ ） = 再根据 = ，可得 =，函数 f（ x） = 故答案为： 14若 a 0， b 0，则 的最小值是 2 +3 【考点】 基本不等式 【分析】 化简可得 = + +3，从而利用基本不等式求解即可 第 11 页（共 18 页） 【解答】 解： =2+ + +1 = + +3 2 +3， （当且仅当 = ，即 a= b 时，等号成立）； 故答案为： 2 +3 15已知点 双曲线 的左，右焦点，点 P 在双曲线C 的右支上，且满足 | 20，则双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 运用余弦定理可得 |2 c，再由双曲线的定义可得 | |2a，即为2 c 2c=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：由题意可得 |2c， 20， 即有 |=|+| 2|424 ） =12有 |2 c， 由双曲线的定义可得 | |2a，即为 2 c 2c=2a， 即有 c= a，可得 e= = 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 16 2016 年 1 月份，某家电公司为了调查用户对该公司售后 服务的满意度，随机调查了 10名使用该公司产品的用户，用户通过 “10 分制 ”对公司售后服务进行评价分数不低于 的用户为满意用户，分数低于 9 分的用户为不满意用户，其它分数的用户为基本满意用户已知这 10 名用户的评分分别为： 10 （ ）从这 10 名用户的不满意用户和基本满意用户中各抽取一人，求这两名用户评分之和大于 18 的概率； （ ）从这 10 名用户的满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，求这两名用户至少有一人为满意用户的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）从不满意有户和基本满意用户中各抽取一人，利用列举法能求出两名用户评价分之和大于 18 的概率 第 12 页（共 18 页） （ ）从满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，利用列举法能求出这两名用户至少有一人为满意用户的概率 【解答】 解：（ ）从不满意有户和基本满意用户中各抽取一人，包含的所有基本事件为： （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 共 16 种， 设 “两名用户评价分之和大于 18”为事件 M，其包含的基本事件为： （ （ （ （ 共 4 种， 则 P（ M） = = （ ）从满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，包含的所有基本事件为： （ （ （ （ （ 10）， （ （ （ （ 10），（ （ （ 10），（ （ 10），（ 10）， 共 15 种， 设 “两名用户至少一人为满意用户 ”为事件 N，其包含的所有基本事件为： （ （ 10），（ （ 10），（ （ 10），（ （ 10），（ 10），共 9 种， 这两名用户至少有一人为满意用户的概率 p= 17在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，向量 ，向量 ，且 （ ）求角 B 的大小； （ ）若 a c 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ I）由 ，可得 2A+C） ，解得 ，可得 B （ 正弦定理可得： ac=利用余弦定理即可得出 【解答】 解：（ I） ， 2A+C） ， 2 得 ， ， 2B （ 0， ）， ，解得 B= （ 正弦定理可得： ac= 由余弦定理可得： b2=a2+2 ac=a2+2化为（ a c） 2=0，解得 a c=0 第 13 页（共 18 页） 18如图，在四棱锥 P ， 平面 5，D=， E、 F、 H 分别为 中点 （ ）设面 l，求证 ： l； （ ）求证： 面 【考点】 直线与平面垂直的判定；平面的基本性质及推论 【分析】 （ ）由已知可证 得 据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明 l； （ ）连接 接 G，利用 证 平面 而证明 ，通过证明 证得 可证明 平面 【解答】 （本题满分为 12 分） 证 明：（ ）在四边形 ， C=2， 5， 5， 0， 又 2 分 面 4 分 l， 根据线面平行的性质得 l 6 分 （ ）连接 接 G， F 为 中点， C， 平面 面 F=A， 平面 面 8 分 如图，在 ， C=2， ， F 为 中点， ， 平面 面 E 为 中点， ， = ， 第 14 页（共 18 页） E， H 为 中点， ， = ， ， ， ， 11 分 D=F， 平面 12 分 19已知等差数列 公差 d=2，其前 n 项和为 列 首项 ，其前 n 项和为足 （ ）求数列 通项公式； （ ）求数列 |14|的前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ I）由 ，可得 =22，解得 用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式可得 得 2n+1=，利用递推关系可得 （ cn=14=（ 2n 1） 2n 14可得： 12， 2， n 3， 0 n 3，Wn=c1+22 2+3 22+（ 2n 1） 2n 14n+28，令 2+3 22+（ 2n 1） 2n，利用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 第 15 页（共 18 页） 【解答】 解：（ I） ， =2+2=4=22， +1=2，解得 +（ n 1） 2=2n 1 = 2n+1=， 当 n 2 时， 2n+1 2n=（ 1+2） = n，当 n=1 时也成立 n （ cn=14=（ 2n 1） 2n 14 12， 2， n 3， 0 n 3， c2+cn=c1+22 2+3 22+（ 2n 1） 2n 14n+28， 令 2+3 22+（ 2n 1） 2n， 2 22+3 23+（ 2n 3） 2n+（ 2n 1） 2n+1， （ 2+22+2n） 2（ 2n 1） 2n+1=2 2（ 2n 1） 2n+1=（ 32n） 2n+1 6， 2n 3） 2n+1+6 20已知椭圆 的长轴长为 ，点 A， B， C 在椭圆 E 上，其中点 A 是椭圆 E 的右顶点，直线 原点 O，点 B 在第一象限，且 |2| （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）与 x 轴不垂直的直线 l 与圆 x2+ 相切，且与椭圆 E 交于两个不同的点 M， N，求 面积的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）由题意可得 2a=4 ，解得 a由点 A 是椭圆 E 的右顶点，直线 原点 O，点 B 在第一象限，且 |2|可得 | 又 ， |a=2 ，利用余弦定理解得 |可得 B ，代入椭圆方程即可得出 （ M（ N（ 设直线 L 的方程为： y=kx+m与椭圆方程联立化为（ 1+2k2）8=0， 0，化为 8 用根与系数的关系可得则| 由直线 l 与圆 x2+ 相切，可得 =1，第 16 页（共 18 页） 化为 +用 S |通过换元再利用二次函数的单调性即可得出本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力， 属于难题 【解答】 解：（ I） 2a=4 ， a=2 点 A 是椭圆 E 的右顶点，直线 原点 O，点 B 在第一象限，且 |2| | ， |a=2 ， |=|+| 2|AB| 8=2| ，解得 | B ，代入椭圆方程可得： =1=1，解得 椭圆 E 的方程为 =1 （ M（ N（ 设直线 l 的方程为： y=kx+m