2019年中考数学真题分类汇编第一期专题28解直角三角形试题含解析.doc

教学资料范本2019年中考数学真题分类汇编第一期专题28解直角三角形试题含解析编 辑：_时 间：_解直角三角形一、选择题1 （2018山东淄博4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米在用科学计算器求坡角的度数时，具体按键顺序是（）AB CD【考点】T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题；T6：计算器三角函数【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角【解答】解：sinA=0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A【点评】本题考查了计算器三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键2 （2018年湖北省市3分）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，PCA=35，则小河宽PA等于（）A100sin35米B100sin55米C100tan35米D100tan55米【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度【解答】解：PAPB，PC=100米，PCA=35，小河宽PA=PCtanPCA=100tan35米故选：C【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案3. (20xx四川省绵阳市)一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据： ）（ ） A.4.64海里 B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里【答案】B 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作BDAC，取BE=CE，AC=30，CAB=30ACB=15，ABC=135，又BE=CE，ACB=EBC=15，ABE=120，又CAB=30BA=BE，AD=DE，设BD=x，在RtABD中，AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，x= = 5.49，故答案为：B.【分析】根据题意画出图如图所示：作BDAC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，RtABD中，根据勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.二.填空题1. （20xx重庆(A)4分）如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，得到，若厘米，则的边的长为厘米。【考点】解直角三角形、勾股定理【解析】 过作于。由翻折得【点评】 本题考查了解直角三角形中的翻折问题，其中包括勾股定理的应用，难度中等2. （2018湖北黄石3分）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60、45，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是100（1+）米（结果保留根号）【分析】如图，利用平行线的性质得A=60，B=45，在RtACD中利用正切定义可计算出AD=100，在RtBCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD即可【解答】解：如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60、45，A=60，B=45，在RtACD中，tanA=，AD=100，在RtBCD中，BD=CD=100，AB=AD+BD=100+100=100（1+）答：A、B两点间的距离为100（1+）米故答案为100（1+）【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形3. （20xx山东泰安3分）如图，在ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DEBC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为S=x2【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出BED的面积即可解决问题【解答】解：（1）在RtCDE中，tanC=，CD=xDE=x，CE=x，BE=10x，SBED=（10x）x=x2+3xDF=BF，S=SBED=x2，故答案为S=x2【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型4（20xx山东潍坊3分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60方向为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达（结果保留根号）【分析】如图，过点P作PQAB交AB延长线于点Q，过点M作MNAB交AB延长线于点N，通过解直角AQP、直角BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角BMN求得BM的长度，则易得所需时间【解答】解：如图，过点P作PQAB交AB延长线于点Q，过点M作MNAB交AB延长线于点N，在直角AQP中，PAQ=45，则AQ=PQ=601.5+BQ=90+BQ（海里），所以 BQ=PQ90在直角BPQ中，BPQ=30，则BQ=PQtan30=PQ（海里），所以 PQ90=PQ，所以 PQ=45（3+）（海里）所以 MN=PQ=45（3+）（海里）在直角BMN中，MBN=30，所以 BM=2MN=90（3+）（海里）所以 =（小时）故答案是：【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想5（2018年江苏省泰州市3分）如图，ABC中，ACB=90，sinA=，AC=12，将ABC绕点C顺时针旋转90得到ABC，P为线段AB上的动点，以点P为圆心，PA长为半径作P，当P与ABC的边相切时，P的半径为或【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当P与AB相切于点T时，【解答】解：如图1中，当P与直线AC相切于点Q时，连接PQ设PQ=PA=r，PQCA，=，=，r=如图2中，当P与AB相切于点T时，易证A、B、T共线，ABTABC，=，=，AT=，r=AT=综上所述，P的半径为或【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题6（20xx湖北省武汉 3分）如图在ABC中，ACB=60，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点若DE平分ABC的周长，则DE的长是【分析】延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CNAM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可【解答】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CNAM于N，DE平分ABC的周长，ME=EB，又AD=DB，DE=AM，DEAM，ACB=60，ACM=120，CM=CA，ACN=60，AN=MN，AN=ACsinACN=，AM=，DE=，故答案为：【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键题号依次顺延三.解答题 1. （2018四川凉州8分）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60方向上（1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：1.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？【分析】（1）要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离要构造直角三角形，再解直角三角形；（2）根据题意列方程求解【解答】解：（1）理由如下：如图，过C作CHAB于H设CH=x，由已知有EAC=45，FBC=60，则CAH=45，CBA=30在RtACH中，AH=CH=x，在RtHBC中，tanHBC=，AH+HB=AB，x+x=600，解得x=220（米）200（米）MN不会穿过森林保护区（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y5）天根据题意得：=（1+25%）解得：y=25经检验知：y=25是原方程的根答：原计划完成这项工程需要25天【点评】考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应用2. （2018山西8分）祥 云 桥 位 于 省 城 太 原 南 部 ， 该 桥 塔 主 体 由 三 根 曲 线 塔 柱组合而成，全桥共设 13 对直线型斜拉索，造 型新颖，是“三晋 大 地” 的 一 种 象征 .某 数 学 “ 综 合 与 实 践 ” 小 组 的 同 学 把 “ 测 量 斜 拉 索 顶 端 到 桥 面 的 距 离 ”作 为 一 项 课 题 活 动 ，他 们 制 订 了 测 量 方 案 ，并 利 用 课 余 时 间借助该桥斜拉索 完 成了实地测量 .测量结果如下表 .项目 内容 课题 测 量 斜 拉 索 顶 端 到 桥 面 的 距 离测 量 示 意 图说 明 ： 两 侧 最 长 斜 拉 索 AC， BC 相 交 于 点 C， 分 别 与 桥 面 交 于 A， B 两 点 ， 且 点 A， B， C 在 同 一 竖 直 平 面 内 .测量数据 A 的 度 数 B 的 度 数AB 的长度 3828234 米.(1) 请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离（参考数据sin 38 0.6 ，cos 38 0.8 ，tan 38 0.8 ， sin 28 0.5 ， cos 28 0.9 ， tan 28 0.5 ）；(2) 该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）.【考点】 三 角 函 数 的 应 用【解析】 （ 1） 解： 过点 C 作 CD AB 于点 D.设 CD= x 米，在 Rt D ADC 中， ADC=90， A=38.Q AD + BD = AB = 234 . x + 2x = 234.解得 x = 72 .答：斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离为 72 米 .（ 2） 解 ： 答 案 不 唯 一 ， 还 需 要 补 充 的 项 目 可 为 ： 测 量 工 具 ， 计 算 过 程 ， 人 员 分 工 ， 指 导 教 师，活动感受等 .3. （2018山东枣庄4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为6.18米（2018山东枣庄结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31=0.515，cos31=0.857，tan31=0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题【解答】解：在RtABC中，ACB=90，BC=ABsinBAC=120.515=6.18（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.18米故答案为：6.18【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答4（2018四川成都8分）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于20xx年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的北偏东 方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛 位于它的北偏东 方向.如果航母继续航行至小岛 的正南方向的 处，求还需航行的距离 的长.（参考数据： ， ， ， ， ， ）【答案】解：由题知： ， ， .在 中， ， ， （海里）.在 中， ， ， （海里）.答：还需要航行的距离 的长为20.4海里. 【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【分析】根据题意可得出 ， ， ，再利用解直角三角形在RtACD和RtBCD中，先求出CD的长，再求出BD的长，即可解答。5 （2018山东菏泽6分）2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30，B处的俯角为45，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求差即可【解答】解：ECAD，A=30，CBD=45，CD=200，CDAB于点D在RtACD中，CDA=90，tanA=，AD=，在RtBCD中，CDB=90，CBD=45DB=CD=200，AB=ADDB=200200，答：A、B两点间的距离为200200米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解分别在两三角形中求出AD与BD的长6 （2018江西8分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框 上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点固定，当点在上左右运动时，与的长度不变(所有结果保留小数点后一位). (1)若,求的长； (2)当点从点向右运动60时，求点在此过程中运动的路径长. 参考数据：sin500.77, cos500.64, tan501.19, 取3.14 图1 图2【解析】 （1）如图，作OHAB于H OC=OB=60 CH=BH 在RtOBH中 cosOBC= BH= OBcos50600.64=38.4 AC=AB2BH120238.4=43.2 AC的长约为43.2cm. （2）AC=60 BC=60 OC=OB=60 OC=OB=BC=60 OBC是等边三角形 OC弧长= =62.8 点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm. 7（20xx湖南省常德7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）（参考数据：sin370.6，cos370.8，1.4）【分析】作BEAD于点E，作CFAD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在RtABE、RtCDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在RtMEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解【解答】解：作BEAD于点E，作CFAD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示AB=CD，AB+CD=AD=2，AB=CD=1在RtABE中，AB=1，A=37，BE=ABsinA0.6，AE=ABcosA0.8在RtCDF中，CD=1，D=45，CF=CDsinD0.7，DF=CDcosD0.7BEAD，CFAD，BECM，又BE=CM，四边形BEMC为平行四边形，BC=EM，CM=BE在RtMEF中，EF=ADAEDF=0.5，FM=CF+CM=1.3，EM=1.4，B与C之间的距离约为1.4米【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键8（20xx湖南省衡阳8分）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45方向的雁峰公园B处，如图所示（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？【解答】解：（1）作CPAB于P，由题意可得出：A=30，AP=2000米，则CP=AC=1000米；（2）在RtPBC中，PC=1000，PBC=BPC=45，BC=PC=1000米这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，他到达宾馆需要的时间为=1015，他在15分钟内能到达宾馆9.（20xx山东临沂7分）如图，有一个三角形的钢架ABC，A=30，C=45，AC=2（+1）m请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？【分析】过B作BDAC于D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可【解答】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，理由是：过B作BDAC于D，ABBD，BCBD，ACAB，求出DB长和2.1m比较即可，设BD=xm，A=30，C=45，DC=BD=xm，AD=BD=xm，AC=2（+1）m，x+x=2（+1），x=2，即BD=2m2.1m，工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门【点评】本题考查了解直角三角形，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键10（20xx山东青岛6分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7，测得AC=840m，BC=500m请求出点O到BC的距离参考数据：sin73.7，cos73.7，tan73.7【分析】作OMBC于M，ONAC于N，设OM=x，根据矩形的性质用x表示出OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可【解答】解：作OMBC于M，ONAC于N，则四边形ONCM为矩形，ON=MC，OM=NC，设OM=x，则NC=x，AN=840x，在RtANO中，OAN=45，ON=AN=840x，则MC=ON=840x，在RtBOM中，BM=x，由题意得，840x+x=500，解得，x=480，答：点O到BC的距离为480m【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键11. （2018甘肃白银，定西，武威）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图，两地被大山阻隔，由地到地需要绕行地，若打通穿山隧道，建成，两地的直达高铁，可以缩短从地到地的路程.已知：，公里，求隧道打通后与打通前相比，从地到地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：，）【答案】隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里 【解析】【分析】过点C作CDAB, 垂足为D, 在RtADC和RtBCD中，分别解直角三角形即可.【解答】如图，过点C作CDAB, 垂足为D,在RtADC和RtBCD中， CAB=30，CBA=45，AC=640 CD=320，AD=， BD=CD=320，BC=, AC+BC=， AB=AD+BD=， 1088-864=224（公里）答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里 【点评】考查解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.12（2018安徽4分） 为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3，平面镜E的俯角为45，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据：tan39.30.82，tan84.310.02)【答案】旗杆AB高约18米.【解析】【分析】如图先证明FDEABE，从而得，在RtFEA中，由tanAFE=，通过运算求得AB的值即可.【详解】如图，FM/BD，FED=MFE=45，DEF=BEA，AEB=45，FEA=90，FDE=ABE=90，FDEABE，在RtFEA中，AFE=MFE+MFA=45+39.3=84.3，tan84.3=，AB=1.810.0218，答：旗杆AB高约18米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，得到是解题的关键.13.（2018株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线与直线都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），上的点M位于点A的北偏东30方向上，且BM千米，上的点N位于点M的北偏东方向上，且，MN=千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点.（1）求之间的距离（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）【答案】（1）2；（2）小时. 【解析】分析：（1）直接利用锐角三角函数关系得出DM的长即可得出答案；（2）利用tan30=，得出AB的长，进而利用勾股定理得出DN的长，进而得出AN的长，即可得出答案详解：（1）过点M作MDNC于点D，cos=，MN=2千米，cos=，解得：DM=2（km），答：l2和l3之间的距离为2km；（2）点M位于点A的北偏东30方向上，且BM=千米，tan30=，解得：AB=3（km），可得：AC=3+2=5（km），MN=2km，DM=2km，DN=4（km），则NC=DN+BM=5（km），AN=10（km），城际火车平均时速为150千米/小时，市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要小时点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AN的长是解题关键14（2018株洲市）如图，在RtABM和RtADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN.(1)求证：RtABMRtAND (2)线段MN与线段AD相交于T，若AT=,求的值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）利用HL证明即可；（2）证明DNTAMT，可得，由AT=AD，推出，在RtABM中，tanABM=详解：（1）AD=AB，AM=AN，AMB=AND=90RtABMRtAND（HL）（2）由RtABMRtAND易得：DAN=BAM，DN=BMBAM+DAM=90；DAN+ADN=90DAM=ANDNDAMDNTAMTAT=AD，RtABMtanABM=点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题15 （2018年江苏省市）如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58、45从F测得C、A的仰角分别为22、70求建筑物AB的高度（精确到0.1m）（参考数据：tan220.40，tan581.60，tan702.75）【分析】在CED中，得出DE，在CFD中，得出DF，进而得出EF，列出方程