电路基础(初稿) 吴大正 第6章

6.1二端口电路的方程和参数6.2二端口电路的等效6.3二端口电路的联接6.4二端口电路的网络函数,第六章二端口电路,返回主目录,第6章二端口电路,一个电路(或电子器件)常有数个(譬如n个)端子与外部电路相连,称其为n端(子)电路,如图6.0-1所示。对任一电路,如果某两个端子(譬如端子k、k与外部电路相连,若在所有的时刻t,流入端子k的电流ik恒等于流出端子k的电流ik,则称这一对端子(k、k)为一个端口。图6.0-2(a)是由二端(子)电路构成的一端口电路,显然有i=i;图6.0-2(b)是由三端(子)电路构成的二端口电路；图(c)是由四端(子)电路构成的二端口电路,显然有i1=i1,i2=i2。,对任一电路,如果某两个端子(譬如端子k、k与外部电路相连,若在所有的时刻t,流入端子k的电流ik恒等于流出端子k的电流ik,则称这一对端子(k、k)为一个端口。图6.0-2(a)是由二端(子)电路构成的一端口电路,显然有i=i;图6.0-2(b)是由三端(子)电路构成的二端口电路；图(c)是由四端(子)电路构成的二端口电路,显然有i1=i1,i2=i2。端口电流的关系ik=ik,t称为端口条件。对于正弦稳态电流,它可写图6.0-3是由四端子电路构成的三端口电路。端子4为公共端,称为有公共端的(或接地的)三端口电路。一般而言,有n个端子的多端电路,可选某端(子)为公共端(参考点),构成有公共端的(n-1)端口电路如图6.0-3所示。,6.1二端口电路的方程和参数,二端口电路也称为二口电路或简称为二端口。为建立正弦稳态时二端口电路变量之间的关系,可以把端口变量用相量表示。图6.1-1是二端口电路的相量模型。通常,二端口电路左边的端口与激励源相接,称为输入端口(或入口);右边的端口与负载相接,称为输出端口(或出口)。入口的电压、电流用、表示;出口的电压、电流用、表示。其参考方向规定如图6.1-1所示。二端口电路的四个端口变量、中,若任选两个作自变量,而另外两个作应变量,则可列写出描述二端口电路端口伏安特性的六组不同的方程。下面分别讨论这六组方程和参数。,一、开路和短路参数如果选端口电流、为自变量,端口电压、为应变量。根据替代定理,端口电流、可用相应的电流源来替代,如图6.1-2(a)所示。按规定的参考方向,根据叠加定理可得,式(6.1-1)称为二端口电路的Z方程,式中z11、z12、z21和z22称为Z参数。其物理含义可作如下解释。当=0(即出口开路),仅由电流源激励时,如图6.1-2(b)所示,由式(6.1-1)有,式中，z11称为出口开路时的输入阻抗(或策动点阻抗)；z21称为出口开路时的正向转移阻抗。类似地,当=0(即入口开路),仅由电流源激励时,如图6.1-2(c)所示,由式(6.1-1)有,式中，z12和z22分别称为入口开路时的反向转移阻抗和输出阻抗(也称为策动点阻抗)。不难看出,Z参数具有阻抗的量纲,由于它们都是端口开路时的阻抗,故这组参数称为开路阻抗参数。它们可以通过计算或测量来确定。如将式(6.1-1)写成矩阵形式为,称为开路阻抗矩阵或Z矩阵。如果二端口电路满足互易定理,则有,即有z12=z21满足式(6.1-5)的二端口电路称为互易电路或可逆电路,否则称为非互易的或不可逆的。对于互易电路,Z参数中只有3个是独立参数。由线性时不变的R、L(M)、C和理想变压器构成的无源二端口电路,都满足互易定理,因而是互易电路。,如果一个二端口电路的Z参数中,除z12=z21外,还有z11=z22,那么,将其输入口与输出口互换位置后,其端口特性将保持不变,因而在与外电路连接后,外电路也保持不变。这样的二端口电路称为电气上对称的电路,简称为对称的二端口电路,即如果二端口电路是对称的,则有z11=z22z12=z21因而,对于对称的二端口电路,其Z参数中只有两个是独立参数。当以端口电压、为自变量,端口电流、为应变量时,可得到方程,式(6.1-7)称为Y方程,其相应的参数称为Y参数。若分别令端口电压或等于零,如图6.1-3所示,则由式(6.1-7)得,出口短路时的输入导纳,出口短路时的转移导纳,入口短路时的反向转移导纳,入口短路时的输出导纳,由式(6.1-8)可知,Y参数具有导纳的量纲,而且是在端口短路的情况下,通过计算或测量得到的,因此称为短路导纳参数。若将式(6.1-7)写成矩阵形式为,称为短路导纳矩阵或Y矩阵。如果Z方程式(6.1-3)中的矩阵Z非奇异,因而其逆矩阵存在。用Z-1左乘式(6.1-3),得将上式与式(6.1-9)相比较可得,(因而也有),亦即,式中z=z11z22-z12z21。对于互易电路,因z12=z21,所以有y12=y21若电路又是对称的,则有y12=y21y11=y22,例6.11求图6.1-4(a)T形电路的Z参数和Y参数。解本例叙述求二端口电路参数的各种方法。1)求Z参数方法：列电路方程。,对于图6.1-4(a)的电路,以、为网孔电流,可列得方程=(Z1+Z2)+Z2=Z2+(Z2+Z3),这正是Z方程,故得T形电路的开路阻抗矩阵,2)求Y参数方法:按式(6.1-8)求Y参数对于图6.1-4(a)的电路,令=0,即出口短路如图(b)所示,其输入导纳,这时,据分流公式(并将上式中=y11代入)得,对于图6.1-4(a)的电路,令=0,即入口短路,如图(c)所示。可以求得,故得T形电路的短路导纳矩阵,例6.1-2图6.1-5是晶体三极管的T形等效电路,求其Z参数。解按图6.1-5的电路,可列得方程于是得图6.1-5电路的开路阻抗矩阵由上式可见,由于电路中含有受控源,z12z21,该电路是非互易电路。,例6.13求图6.1-6(a)形电路的Y参数和Z参数。解1)求Y参数对于图6.1-6(a)的电路,可列得节点方程,由于y12=y21,该电路是互易电路。2)求Z参数对于图6.1-6(a)的电路,令=0,即输出口开路,其输入阻抗z11=,当=0时,流过Z2、Z3的是同一电流,如图(b)所示。应用分流公式有,电压,于是得,z21=,由于图6.1-6(a)的电路是互易的,故Z12=Z21。令=0,不难求得,z22=,即形电路的开路阻抗矩阵,二、传输参数当研究信号传输的各种问题时,以、为自变量,、为应变量较为方便。其方程为,称为传输矩阵或A矩阵,其元素称为传输参数有的书刊用A、B、C、D表示传输参数a11、a12、a21、a22，用T表示传输矩阵A。或简称为A参数。式(6.1-18)称为传输方程或A方程。前面的负号是由于我们规定了的参考方向为流入电路(见图6.1-1),而在用A方程分析信号传输问题时,的参考方向常规定为流出电路。,在式(6.1-18)中,依次令=0或=0,可得,a11=,a21=,a12=,a22=,出口开路时的电压比,出口开路时的转移导纳,出口短路时的转移阻抗,出口短路时的电流比,这里的4个参数都具有转移参数的性质。,对于互易电路,A参数满足a=a11a22-a12a21=1式中a是矩阵A的行列式值。这就是说,对于互易电路,A参数中有3个是独立参数。如果电路是互易的,并且是对称的,则还有a11=a22,若选择、为自变量,而、为应变量,则有方程,称为反向传输矩阵,式(6.1-23)称为反向传输方程或B方程。B参数与A参数的关系已列入表6-1中。需要注意的是,根据A方程式(6.1-18)与B方程式(6.1-23)可知,BA-1,三、混合参数在分析晶体管低频电路时,常以、为自变量,而以、为应变量,其方程称为混合参数方程或H方程,即,称为混合参数矩阵。由式(6.1-25)可得各参数含义为,=H,=,h11=,h21=,h12=,h22=,出口短路时的输入阻抗,出口短路时的电流增益,入口开路时的反向电压增益,入口开路时的输出导纳,式中h11、h22分别具有阻抗、导纳的量纲,而h12、h21为无量纲的量。故H参数又称为混合参数。,对于互易电路,有h12=-h21若电路又是对称的,则还有h=h11h22h12h21=1若以、为自变量,以、为应变量,可以得到另一组混合参数方程,或称G方程,即,也称为混合参数矩阵。由式(6.1-25)和(6.1-28)可知,由于实际中很少应用G方程,这里不再叙述。上面介绍了描述二端电路的6种类型的方程和参数,就是说,同一个二端口电路可以用6种不同的方程和参数来描述。因此,这6种方程和参数之间存在着确定的关系。表6-1列出它们之间的相互关系。当知道了二端口电路的某种参数后,利用表6-1,可求得该电路的其它参数。,例6.14图6.1-7是场效应管低频等效电路,求其传输矩阵A和混合参数矩阵H。解图6.1-7的电路,当=0时,=-gmRd,按式(6.1-20)得,于是得图6.1-7电路的传输矩阵,将式(6.1-32a)代入(6.1-32b)消去,得,式(6.1-32a)和(6.1-32c)正是H方程,故得图6.1-7电路的混合参数矩阵,Rg0gmRg,例6.1-5求图6.1-8所示理想变压器的传输矩阵A并求其H矩阵和H矩阵。解图6.1-8理想变压器的伏安关系为这正是A方程,故得理想变压器的传输矩阵由上式可见,a=1,它是互易电路。,n00,6.2二端口电路的等效,一、二端口电路(含独立源)表示定理设有一含独立源的线性、时不变二端口电路N,如图6.2-1(a)所示。如果选为自变量,为应变量,根据替代定理,可以把、看作是激励源,如图6.2-1(b)所示。这样,作用于电路的激励源有、和电路N内部的独立源。根据电路的线性性质,端口电压和可看作是激励源、和内部独立源分别作用的叠加。,当仅由作用时(=0,电路N内部所有独立源均置零),根据式(6.1-2a)和(6.1-2b)有,当仅由作用时(=0,内部独立源均置零),由式(6.1-2c)和(6.1-2d),有,当仅由电路N内部的独立源作用,而=0(即入口、出口均为开路)时,入口、出口电压分别为,式中和是入口和出口均开路时的入口开路电压和出口开路电压。根据线性性质,入口电压和出口电压可分别写为,或写成矩阵形式为,式(6.2-4)、(6.2-5)是含独立源二端口电路的Z方程。根据式(6.2-4)可画出含独立源的二端口电路的Z参数等效电路，如图6.2-2所示。由图6.2-2可见,对于含有独立源的二端口电路的入口和出口而言,相当于独立源、受控源和阻抗相串联的电路,其中受控源和表征了入口与出口之间的相互影响;电压源和表征了电路N内部独立源的作用。当电路N内不含独立源时,5)就是前面讨论的Z方程。以上结论可称为二端口表示定理TwoPortRepresentationTheorem.,它可看作是戴维南定理在二端口电路中的推广。类似地,如果含有独立源的二端口电路N用Y方程表示,则有,或表示为,=,式中和是当入口和出口均短路(即=0)时,入口和出口的短路电流。按式(6.2-6)可画出其Y参数等效电路，如图6.2-3所示。以上结论称为二端口表示定理,它可看作是诺顿定理在二端口电路中的推广。实际上,利用其它方程也可作出相应的等效电路,这里不多赘述。例6.2-1求图6.2-4(a)所示二端口电路的Z参数等效电路。,由于将它代入上式,得,根据式(6.2-8)可画出其Z参数等效电路,如图6.2-4(b)所示。由式(6.2-8)和图6.2-4(b)可见,当入口和出口均开路(即。此外,由于Z21=0,故出口电压不受入口电流的控制。,二、二端口电路(不含独立源)的等效当二端口电路内部不含独立源时,其Z方程和等效电路可以由含独立源的二端口电路推得。在式(6.2-4)中,令得上式就是我们熟知的不含独立源二端口电路的Z方程。由式(6.2-9)可画出其Z参数等效电路,如图6.2-5(a)所示。,如将式(6.2-9)改写为,如果二端口电路有公共接地点,则由式(6.2-10)可画出其Z参数T形等效电路,如图6.2-5(b)所示。如果二端口没有公共接地点,则可在图(b)中级联一只11的理想变压器。如果二端口电路满足互易条件(z12=z21),则图6.2-5(b)的电路就成为含有三个阻抗元件的T形等效电路。不含独立源的二端口电路的Y方程为,按上式可画出二端口电路的Y参数等效电路,如图6.2-6(a)所示。如将式(6.5-11)改写为,按上式可画出二端口电路的Y参数形等效电路,如图6.2-6(b)所示。如果二端口电路满足互易条件y12=y21,则图6.2-6(b)的电路就成为只含三个阻抗元件的形等效电路。用不同的参数方程可以得到各种等效电路,而且它们之间可以互相转换(可以利用表6-1)。各种等效电路均可用于分析电路的各种问题。具体如何选用，应根据实际情况确定。譬如,晶体管常选用H参数等效电路,而场效应管常选用Y参数等效电路。例6.2-2如图6.2-7(a)是晶体管小信号等效电路,已知rb=970,re=30,rc=20k,=50。求其H参数等效电路及参数。,其Z参数矩阵为将各元件参数代入上式(由于rerc,在z21和z22中将re忽略),得,Z11Z12Z21Z22,rb+rcrcre-rcrb+rc,Z11Z12Z21Z22,30-10-4,由表6-1可查得用Z参数表示的H参数为,h11h12h21h22,250050,6.3二端口电路的联接,二端口电路的联接方式有：级联(也称链联)、串联、并联、串并联、并串联等,如图6.3-1所示。将复合电路看作是由子电路联接组成时,各个子电路必须同时满足端口条件,否则该子电路不能看作是二端口电路。一、级联级联是信号传输系统中最常用的联接方式,如图6.3-1(a)所示。由图可见,级联时,子电路Na的出口直接与子电路Nb的入口相连。因此,若复合电路的入口和出口都满足端口条件,则子电路也一定满足端口条件。,图6.31二端口电路的联接,设子电路Na和Nb的传输矩阵分别为Aa和Ab,则其A方程分别为,由图6.3-1(a),按图示的参考方向,可得,将式(6.3-1)和(6.3-2)代入上式,得,式(6.3-3)是复合电路的传输参数方程,A为其传输矩阵,由式(6.3-3)可得A=AaAb即二端口电路级联时,复合电路的传输矩阵A等于子电路传输矩阵Aa与Ab的乘积。,二、串联和并联如果子电路Aa与Ab的入口相串联,出口也相串联,则称为串联,如图6.3-1(b)所示。当两个子电路相串联时,若子电路Na和Nb都满足端口条件,则有,由图6.3-1(b)可见,这时端口电压间的关系为,=,=,设子电路Na、Nb的开路阻抗矩阵分别为Za、Zb,其Z方程为,将它们代入式(6.3-6),并考虑到式(6.3-5)的关系,得,式(6.3-7)是复合电路的Z方程,Z为其开路阻抗矩阵。由上式,有Z=Za+Zb(6.3-8)即二端口电路串联时,复合电路开路阻抗矩阵Z等于子电路开路阻抗矩阵Za与Zb之和。如果子电路Na与Nb的入口相并联,出口也相并联,则称为并联,如图6.3-1(c)所示。当两个子电路相并联时，子电路与复合电路的各对应端口的电压是同一电压,即有,如果子电路Na、Nb都满足端口条件,则端口电流可写为,将它们代入式(6.3-10),并考虑到式(6.3-9)的关系,得,式(6.3-11)是复合电路的Y方程,Y-为其短路导纳矩阵。由式(6.3-11)有Y=Ya+Yb(6.3-12)即二端口电路并联时,复合电路的短路导纳矩阵Y等于子电路短路导纳矩阵Ya与Yb之和。如两个子电路入口串联,而出口并联,则称为串并联,如图6.3-1(d)所示。用类似方法不难得到,当两个子电路串并联时,复合电路的混合参数矩阵H等于子电路混合参数矩阵Ha与Hb之和,即H=Ha+Hb,如两个子电路入口并联,而出口串联,则称为并串联,如图6.3-1(e)所示。用类似的方法不难得到，当两个子电路并串联时,复合电路的混合参数矩阵G等于子电路混合参数矩阵Ga与Gb之和,即G=Ga+Gb(6.3-14)三、二端口电路联接的相容性Permissibility.为了保证联接后满足端口条件,应该进行相容性(或有效性)检验。图6.3-2是二端口电路串联时相容性检验的原理图,图中S为激励源。对于图(a),子电路Na和Nb的出口开路(这是因为串联时复合电路和子电路都用开路阻抗参数)。,图6.3-3是二端口电路并联时相容性检验的原理图,图中为激励源。对于图(a),子电路Na、Nb的出口短路(这是因为并联时所用的参数为短路导纳参数)。由图(a)可见,这时有。若测量或计算得=0,那么出口并联后各处电流、电压将保持不变,因而仍保持。同样地,对于图(b),若=0,则入口并联后仍保持。经过图(a)和图(b)的检验,若入口、出口均满足端口条件,则两个子电路是并联相容的,应用式(6.3-12)计算复合电路的Y矩阵有效。当二端口电路串并联或并串联时,其相容性检验方法与上法类似。例如串并联的相容性检验如图6.3-4所示。,6.4二端口电路的网络函数,二端口电路的各种参数,表征了二端口电路本身的性质。实际应用中,当入口接有信号源,出口接有负载时,可利用网络函数的概念分析二端口电路响应(输出)与激励(输入)之间的关系。若二端口电路的激励相量为,响应相量为,网络函数的定义为(参看式5.1-2)H(j)=(6.4-1)如果激励和响应在电路的同一端口,称为策动点函数;若激励和响应在不同的端口,就称为转移函数。二端口电路的各种网络函数可用任何一组参数表示。一般而言,各参数是j的函数,因而各种网络函数也是j的函数。为了简明,在以下的讨论中省去j。,当二端口电路的出口接以负载阻抗ZL时,如图6.4-1(a)所示,其入口电压与入口电流之比称为输入阻抗函数(简称输入阻抗),用Zin表示,其倒数称为输入导纳函数(简称输入导纳),用Yin表示，即当二端口电路的入口接以阻抗ZS(它常是电源的内阻抗)时,如图6.4-1(b)所示,其出口电压与出口电流之比称为输出阻抗(函数),用Zout表示,其倒数称为输出导纳(函数),用Yout表示,即,def,def,二端口电路的Z方程为,由图6.4-1(a)可见,当出口接以阻抗ZL时,有,将它代入Z方程的第二式得-ZL=z21+z22,将代入Z方程的第一式,可得输入阻抗输入阻抗Zin的倒数就是输入导纳Yin,输出阻抗Zout的倒数就是输出导纳Yout。类似地,输入阻抗(或导纳)、输出阻抗(或导纳)也可以用其它参数表示,这里不再赘述。用各种参数表示的输入阻抗、输