数学建模之自动化车床车刀更换问题

自动化车床刀具更换问题摘要在工业生产中，自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工，而在自动化车床生产过程中，最容易磨损的就是刀具，所以刀具的检查与替换显得尤为重要。本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。为此，我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准，建立随机优化模型，利用MATLAB软件求解，当单个零件的期望损失费最小时，所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。针对问题一此问题属于优化问题中的数理统计问题。对所给数据进行处理，在MATLAB中绘制出图形，经检验，发现刀具的寿命符合正态分布。因此我们建立了连续性随机模型，通过MATLAB编程求解出最终的结果为针对问题二这个问题与问题一所建立的模型相同，也是随机优化模型。但与问题一不同的是在工序正常时，会产生不合格产品，工序不正常时会产生合格产品。因此工序正常时增加了因误检停机的费用，工序故障时增加了因误检而产生的次品损失费用。通过MATLAB编程求解出最终的结果为工序检查间隔为换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元/个）2963370593针对问题三该问题是在问题二的模型基础上将检查方式近一步优化。我们在问题三中运用了组合检查法，每次连续检查两个产品，这样就会降低误判的概率，其他的条件不变，最终建立了以单个零件期望损失费为目标函数的随机优化模型。利用MATLAB编程求解出最后的结果为关键词数理统计正态分布随机优化模型换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元/个）2982363616换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元/个）27831699321问题重述11问题背景随着社会的日新月异，国内机床企业大力实施技术创新，在产品结构调整上取得了较大进展。为适应市场需求变化，许多机床企业压缩了低档、普通产品生产，加快经济型数控机床升级换代步伐，着力发展中高档数控机床及生产线等。在工业生产中，自动化车床刀具的磨损是比较常见的问题，在刀具磨损之后，刀具的检查和更换显得尤为重要，刀具检查和更换周期的优劣将直接影响生产成本。12已知条件一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占90，非刀具故障仅占10。工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现非刀具故障的概率均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有150次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。已知生产工序的费用参数如下故障时产生的零件损失费（元/件）进行检查的费用（元/次）发现故障进行调节使恢复正常的平均费用（元/次）未发现故障时更换一把新刀具的费用（元/次）3002030001200附150次刀具故障记录（完成的零件数）311460975463708666398771532474538740651458407420467207457337759488509486539218715509647565314613530578599319574647730481597589628132316601484440372477497591243587172668865362678382389673749836468384548643563526749487417649570214527308553743747619656525372607620726379605280586763851653492528607590590779576651249560723927449644325619734320599754433521971175582549549375802256557529678567656627502708531503452677524539212309573673398408592447463415594213所求问题（1）假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。（2）如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有1为不合格品；而工序故障时产出的零件有25为合格品，75为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。（3）在（2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。2模型假设与符号说明21模型假设1假设生产每个零件时工序出现故障是完全随机的，且故障完全随机。2假设生产每个零件时刀具故障仅与刀具寿命有关。3假设仅能通过检测零件来判断是否出现故障，即故障必须在检查点才能被发现，且无法单纯从一次检验判断该故障是刀具损坏故障还是其他故障。（4）假设所有的故障检查都需要更换刀具。22符号说明A检查间隔Y定期换刀间隔X换刀之前生产的零件数M故障发生前的检查次数M未发生故障定期换刀前的最大检查次数1W换刀前发生故障情况下的损失费用2W定期换刀前未发生故障情况下的损失费用WE一个周期内总的期望损失费LE一个周期内合格的期望零件数3F每件不合格零件的损失费用T每次检查的费用D发现故障进行调节一次使恢复正常使用的费用K未发现故障更换一把新刀具的费用PE一个周期内单个零件的期望损失费H工序正常而误认有故障停机产生的损失费用1P换刀前刀具未发生故障的概率2P换刀前刀具发生故障的概率3P换刀前发生故障的概率4P换刀前未发生故障的概率3问题分析通过题目中的信息，可以看出用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，故障的出现完全是随机的，一旦出现故障就有可能生产出不合格的零件，造成损失。通过定期对刀具的检查和更换，可以减少不合格产品的产生，从而减少生产中的损失，但是如果对刀具的检查过度频繁，就会增加检查费用，为此，需制定一种比较合理的检查和更换刀具计划，使生产单个合格零件的损失费用最低。对于问题一题目中已经做出了工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品的假设，这将大大的减少问题的难度，我们只需要考虑两种情况1换刀前发生故障（2）换刀前未发生故障。求出两种情况中总期望损失费用和总期望合格零件数，再求出单个零件期望损失费用，用MATLAB软件求出结果。对于问题二工序正常时产出的零件有1为不合格品而工序故障时产出的零件有25为合格品,其余为不合格品工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次为此,此问的效益函数必须考虑到两种误判,一是工序正常时检查到不合格品误判停机,使检查的费用增加二是工序故障时检查到合格品继续生产直到下一次检查,使不合格品的数量增加将这两种误判对相应检查费用和故障造成的不合格品损失和修复费用的影响考虑后,得到问题二的优化模型利用MATLAB软件求解。对于问题三问题三是在问题二的基础上将检查方法进一步优化，为此，设计出组合检查法，减小在检查过程中误检，组合检查法的具体操作步骤如下首先在固定检查时间时连续检查两个，如果两个零件都合格，则认为工序正常；如果两个零件都不合格，则认为工序出现故障，如果一个零件合格，一个零件不合4格，则再检查一个，如果第三个零件正常，则认为工序正常，否则工序故障。将误检考虑后，得到问题三的优化模型，利用MATLAB软件求解。4数据处理41做频率分布直方图题目中给出150次刀具发生故障的记录，用MATLAB对所给的数据进行处理（源程序见附录一），将其作成频率分布直方图如图1图1频率分布直方图从图1可以推测,该刀具寿命可能服从正态分布下面我们对刀具寿命的正态进行检验42分布的正态性检验由上面的频率分布直方图我们得出该刀具的寿命近似的服从正态分布,下面我们运用MATLAB程序源程序见附录一进行分布的正态检验,绘制如下的正态分概率图如图25图2正态概率图从图2可以看出,数据基本分布在一条直线上,故可以初步确定刀具故障概率为正态分布43参数估计在基本确定所给数据X的分布后,就可以估计该数据的参数计算结果MUHATSIGMAHATMUCISIGMACI539926716398145134698,56638361472887,1849750由表中数据估计出该刀具的均值为540,标准差为164,均值的095置信区间为5134698,5663836,标准差的095置信区间为1472887,184975044假设检验已知刀具的寿命服从正态分布,现在方差未知的情况下,检验其均值是否等于540由MATLAB程序参见附录一可以计算得H0,SIG09956,CI5134698,5663836检验结果1布尔变量H0,表示不拒绝零假设说明提出的假设寿命均值540是合理的295的置信区间为5134698,5663836,它完全包括540,且精度很高3SIG的值为09956,远超过05,不能拒绝零假设所以,可以认为刀具的平均寿命U540即刀具的寿命服从540U,16398，所以刀具寿命的概率密度函数为222_21UXEXF（其中540U,16398）5问题一模型的建立与求解651模型一的建立1在换刀前出现故障假定故障前生产的X个零件都合格，在第M次检查出故障，故障费用分为3个部分（1）检查费用MT（2）零件损失费XMAF（3）故障解决费D换刀前发生故障的损失费DXMAFMTW12换刀前未出现故障假定换刀前未出现故障的最大检查次数为M，则故障费用分为2个部分（1）检查费用TM（2）换刀费用K换刀前未出现故障的损失费KTMW23概率的计算换刀前刀具未发生故障，说明刀具的寿命比换刀周期长，由于刀具的故障服从正态分布，所以（1）换刀前刀具未发生故障的概率为DXXFPY1（2）换刀前刀具发生故障的概率为121PP又因为刀具发生故障的概率占总故障概率的90，所以（3）换刀前发生故障的概率9023PP（4）换刀前未发生故障的概率341PP4期望的计算一个换刀周期内的期望损失费4231PWPWEW一个周期内的期望零件数43YPMAPEL一个周期内单个零件的损失费5综上所述，所确立的模型一为LWPEEEMINLWPEEE7434231YPMAPEPWPWETSLW当PE达到最小值时，此时求出的A和Y为最佳检查周期和最佳换刀周期52模型一的求解问题一模型流程如下图所示问题一的流程图利用MATLAB（源程序见附录二）对上述模型进行求解，可得到换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元/个）29823636168即每生产23个零件检查一次，生产298个零件后进行定期换刀，每个零件的期望损失费用为63616元。53模型一的结果分析此模型采用了等间隔检查的方式，简化了模型，其中对损失费用分两种情况讨论，简单明了，易于理解。将求解最佳检查间隔和换刀间隔转化求解最小期望损失费用，使模型的目标性更强。6问题二模型的建立与求解61模型二的建立1如果在换刀之前已经发生故障，假设第M1次检查出故障，则此时已经生产的零件个数为AM1，前M次检查都是正常工作的，未发生故障时生产的零件个数为X，发生故障后生产的零件个数为XAM1，根据题中信息，我们可知，正常工作时次品率为1，发生故障时次品率为75，则损失费用包括五部分（1）检查费用TM1；（2）误检停机费用1HM；（3）正常工作时的次品损失费用1FX；（4）发现故障进行调节使恢复正常的费用D；（5）发生故障后次品的损失费用7540110FAXMAMMII则此种情况下总的损失费用为75401111101FAXMADFXHMTMWMMII2如果在换刀之前未发生故障，则在换刀时刻已经生产的零件个数为Y，根据题目的信息，这些零件中的废品率为1，则损失费用包括四部（1）检查费用TM；（2）误检停机费用1HM；9（3）正常工作时的次品损失费用1FY；（4）更换刀具费用K；则此种情况下总的损失费用为KFYHMTMW1123概率的计算换刀前刀具未发生故障，说明刀具的寿命比换刀周期长，由于刀具的寿命服从正太分布，所以（1）换刀前刀具未发生故障的概率为DXXFPY1（2）换刀前刀具发生故障的概率为121PP又因为刀具发生故障的概率占总故障概率的90，所以（3）换刀前发生故障的概率9023PP（4）换刀前未发生故障的概率341PP4期望的计算一个换刀周期内的期望损失费4231PWPWEW一个周期内的期望零件数431YPAPMEL一个周期内单个零件的损失费5综上所述，所确立的模型二为LWPEEEMIN4342311YPAPMEPWPWETSLW当PE达到最小值时，此时求出的A和Y为最佳检查周期和最佳换刀周期62模型二的求解利用MATLAB（源程序见附录三）对上述模型进行求解得即每生产33个零件检查一次，生产296个零件后进行定期换刀，每个零件的期换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元/个）2963370593LWPEEE10望损失费用为7059363模型二的结果分析此模型考虑了工序正常工作和工序出现故障时产生的次品率，利用概率的相关知识，对模型简化，最后将求解最佳检查间隔和换刀间隔转化求解最小期望损失费用，使模型的目标性更强。与模型一相比，检查间隔变大是因为，工序正常时产品中存在不合格品，工序有故障时存在合格品，会产生误判，检查间隔越大检查次数越小，会减少误判，但模型考虑的是等间隔检查，当发现次品时就停机检查，误检停机费用会增加，发现正品时就继续生产，次品损失费会增加。7问题三模型的建立与求解71模型三的建立根据题目的要求，问题三是在问题二的基础上改进检查方法使获得更高的效益，由此采用组合检查的方法来降低误检的概率。组合检查法如下连续检查两个零件，如果这两个零件是合格的，则认为没有故障；如果这两个是不合格的，则认为有故障；如果一个是合格一个不合格，则再检查第三个零件，如果第三个零件是合格的，就认为工序没有故障，如果第三个不合格，就认为有故障。根据上面的检查法，可以得出1在工序正常时，发生误检1连续检查两个零件都不合格的概率1X1000012一个合格一个不合格，第三个不合格的概率1X99X1X20000198所以工序正常发生误检的概率为00001000019800002982在工序发生故障，发生误检1连续检查两个零件都合格的概率25X25006252一个合格一个不合格，第三个合格的概率25X75X25X2009375所以工序故障时发生误检的概率006250093750156253）如果在换刀之前已经发生故障，假设第M1次检查出故障，则此时已经生产的零件个数为1MA，前M次检查都是正常工作的，未发生故障时生产的零件个数为X，发生故障后生产的零件个数为XMA1，根据题中信息，我们可知，正常工作时次品率为1，发生故障时次品率为75，则损失费用包括五部分（1）检查费用TM1；（6）误检停机费用156250HM；（7）正常工作时的次品损失费用1FX；11（8）发现故障进行调节使恢复正常的费用D；（9）发生故障后次品的损失费用7540110FAXMAMMII则此种情况下总的损失费用为754011156250110FAXMADFXHMTMWMMIIM4）如果在换刀之前未发生故障，则在换刀时刻已经生产的零件个数为X，根据题目的信息，这些零件中的废品率为1，则损失费用包括四部（1）检查费用TM；（2）误检停机费用0002980HM；（3）正常工作时的次品损失费用1FX；（4）更换刀具费用K；则此种情况下总的损失费用为KFXHMTMW1000298015概率的计算换刀前刀具未发生故障，说明刀具的寿命比换刀周期长，由于刀具的寿命服从正太分布，所以（1）换刀前刀具未发生故障的概率为DXXFPY1（2）换刀前刀具发生故障的概率为121PP又因为刀具发生故障的概率占总故障概率的90，所以（3）换刀前发生故障的概率9023PP（4）换刀前未发生故障的概率341PP6期望的计算一个换刀周期内的期望损失费4231PWPWEW一个周期内的期望零件数431YPAPMEL一个周期内单个零件的损失费7综上所述，所确立的模型三为LWPEEEMIN4342311YPAPMEPWPWETSLWLWPEEE12当PE达到最小值时，此时求出的A和Y为最佳检查周期和最佳换刀周期72模型三的求解利用MATLAB（源程序见附录四）对上述模型进行求解得即每生产31个零件检查一次，生产278个零件后进行定期换刀，每个零件的期望损失费为69932元73模型三的结果分析按照以上最优解，每生产31个零件检查一次工序是否正常，每生产278个零件更换一次刀具，这样每个合格产品的平均费用是69932元。根据150次刀具故障记录可知，刀具出故障时生产产品的平均数是540个，考虑到工序出现故障时进行调节使其恢复正常的平均费用比较高，因此刀具更换间隔只有小于540个才是合理的，从这一点来看，我们的刀具更换策略是合理的。另外，考虑到第二问中误检的概率比较大，所以采用连续检查法，降低误检率，进而减小期望损失,按此方案进行自动化生产，可以获得较好效益。8模型的改进、评价及推广81模型的改进本文所建模型均是考虑检查间隔和刀具更换间隔为固定值的情况下得到的结果,这样有失合理性因为刀具在使用过程中，在前期出现故障的可能性较小，而经过长时间的使用后出现故障的可能性就会增加，因此可以把刀具的检查分为两个阶段稳定阶段和不稳定阶段。在稳定阶段，检查刀具的时间间隔应长一些，以减少检查费用，在不稳定阶段，检查刀具的时间间隔应短一些，以减少因刀具损坏出现不合格产品的件数。换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元/个）27831699321382模型的评价模型的优点1在建模准备阶段，我们从图形和分布拟合检验两方面对刀具故障数据进行处理，数据分析具有较强的说服力2建模方法简单，易于理解，建模思路清晰，易于被借鉴。3将单个零件的期望损失费用作为评价标准，既易于评价所建立模型的好坏，又比较符合实际中企业的取舍方案的标准。4文中对部分数据做了近似化处理，既简化了计算，又使所建立的模型简单。模型的缺点1）此模型只考虑了刀具做定期的更换和检查，并未考虑不定期的情况。2）并未对模型进行模拟仿真83模型的推广推广一本文模型仅仅适合单道工序加工单一零件的情况,但对扩展到多道工序和多种零件的复杂车床管理系统具有指导意义推广二在机械零件实际加工生产中,具有比较重要的实际指导作用,可以运用于多个行业领域,例如各种机械零件的制造等9参考文献1宋来忠,王志明,数学建模与实验,北京科学出版社,20052运筹学教材编写组编,运筹学3版,北京清华大学出版社,200563张志涌,杨祖缨,MATLAB教程R2011A,北京航空航天大学出版社,201174魏宗舒等,概率论与数理统计教程,高等教育出版社,200845现代质量管理统计方法编写组编,现代质量管理统计方法,学术期刊出版社,1988附录一CLEARALLCLCX1311,460,975,463,708,666,398,771,532,474X2538740651458407420467207457337X375948850948653921871550964756514X4314613530578599319574647730481X5597589628132316601484440372477X6497591243587172668865362678382X7389673749836468384548643563526X8749487417649570214527308553743X9747619656525372607620726379605X10280586763851653492528607590590X11779576651249560723927449644325X12619734320599754433521971175582X13549549375802256557529678567656X14627502708531503452677524539212X15309573673398408592447463415594XX1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13X14X15HISTX,10FIGURE2NORMPLOTXMUHAT,SIGMAHAT,MUCI,SIGMACINORMFITXH,SIG,CITTESTX,5399267执行结果MUHAT5399267SIGMAHAT1639814MUCI51346985663836SIGMACI14728871849750H0SIG1509956CI51346985663836附录二CLC,CLEARMININFF300T20D3000K1200FORY1001000Y是换刀周期FORA10500A是检查周期P20P0P4NORMCDFY,5399267,1639814P4表示刀具发生故障的概率P11P4/09P1表示换刀前不发生故障的概率R1Y1P2SUMFAFLOORR/A1RDTFLOORR/A1NORMPDFR1,5399267,1639814/09P2表示换刀前发生故障的费用期望I1Y1PSUMINORMPDFI,5399267,1639814P表示换刀前发生故障产生合格产品的期望MINPKFLOORY/ATP1P2/YP1P表示平均费用的期望IFMINPMINMINMINPZYBYZYA