3.1.1变化率问题

第3章导数及应用3.1.1变化率问题,变化率问题,内容：函数平均变化率的概念,求函数平均变化率的一般步骤.,应用,求函数在某区间上的平均变化率,求函数在某点附近的平均变化率,本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学生,学生通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平均变化率概念的了解.然后在探究的基础上,组织学生研讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补充、研讨,使学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化率的重要性。在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。,早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果微积分的产生。,背景介绍,微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。,研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度,导数研究的问题,变化率问题,气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?,思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是,如果将半径r表示为体积V的函数,那么,我们来分析一下:,当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小。,思考?,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?,高台跳水,请计算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.,计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：,虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止,平均变化率定义:,若设x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1)则平均变化率为,这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同样y=f(x2)-f(x1),上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,1.x是一个整体符号，而不是与x相乘；式子中x、y的值可正、可负，但x值不能为0，y的值可以为0;因此，平均变化率可正，可负，也可为零；,2.若函数f(x)为常函数时，y=0,3.变式,观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,直线AB的斜率,5,4.1,【例3】某市2004年4月20日最高气温为33.4，而此前的两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4和18.6，短短两天时间，气温“陡增”14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5与4月18日最高气温18.6进行比较，我们发现两者温差为15.1，甚至超过了14.8而人们却不会发出上述感叹这是什么原因呢？原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”,问题：当自变量表示由3月18日开始计算的天数，表示气温，记函数表示温度随