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文档简介

.,二分图匹配,.,什么是二分图？,在离散数学中，我们都学过偶图，而偶图就是二分图。二分图：给你一个图，它的顶点可以分为两个集合，集合V1和V2，所有关联边的一个顶点在V1中，另一个顶点则在V2中。,v1,v2,v3,v4,v5,v1,v2,v3,v4,二分图,非二分图,.,什么是二分图匹配？,二分图匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。,v1,v2,v3,v4,v5,v1,v2,v3,v4,v5,匹配1,匹配2,.,二分图的最大匹配,最大匹配：图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。,今天我要讲的是无权二分图的最大匹配问题，采用匈牙利算法。,.,匈牙利算法必备知识：1.盖点：有被M中的边关联到的节点，未盖点则相反。2.增广路径：若二分图中有一条路径p，其起始点和结束点都是未盖点，其间属于M的边和不属于M的边交替出现，则称路径p是一条关于M的增广路径。匈牙利算法：计算二分图最大匹配就是应用增广路径的概念，每次寻找一条关于M的增广路径p，通过M和增广路径进行异或，使得M中的匹配数增加1。以此类推，直至二分图中不存在关于M的增广路径为止。此时得到匹配M就是图G的一个最大匹配。注：M为一个边集，M就是二分图的匹配,.,结合增广路径的定义和下图所示，我们可以理解以下结论：1.增广路径的长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。2.将M和增广路径进行异或操作（去同存异）可以得到一个更大的匹配M。3.M比M的匹配数多1。4.M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。核心：判断当前结点为起点的增广路径是否存在。,.,poj1274,题目大意：有N头奶牛，M个产奶的棚子，每头奶牛都有自己想去产奶的几个棚子，问可以产生的最大匹配数。,数据：SampleInput55NM225第一头：tm2m53234第二头：tm2m3m4215第三头：.3125第四头：.12第五头：.SampleOutput4,.,解题思路：将奶牛看成N集合，棚子看成M集合1,对于N集合中一个未匹配的节点i,寻找它的每条关联边,如果它的边上的另一个节点j还没匹配则表明找到了一个匹配,直接转步骤4;2,假如节点i它边上的另一个节点j已经匹配,那么就转向跟j匹配的节点，也就是它的前驱,假设是prej,然后再对prej重复1,2的步骤,即寻找增广路径.3,假如我们在1,2步过程中找到一条增广路,那么修改各自对应的匹配点,转步骤4,若无增广路,则退出.4,匹配数+1;,.,.,i=1时：Pre2=1;,.,1,2,3,i=2时：Pre5=1;Pre2=2;,.,1,i=3时：Pre1=3;,.,i=4时：Pre3=2;Pre2=1;P
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