上海工程技术大学计算方法课件Ch2-1-Lagrange插值

第二章插值法(InterpolationMethod),已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M）46674195014221634水温（oC）7.044.283.402.542.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温,这就是本章要讨论的“插值问题”,1引言/*Introduction*/,例,当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在区间a,b上一系列节点x0xm处测得函数值y0=f(x0),ym=f(xm)，由此构造一个简单易算的近似函数g(x)f(x)，满足条件g(xj)=f(xj)(j=0,m)(*)这个问题称为“插值问题”,一、插值问题,这里的g(x)称为f(x)的插值函数。,节点x0xm称为插值节点,条件（*)称为插值条件，区间a,b称为插值区间,定义1,f(x),g(x),最常用的插值函数是?,代数多项式,用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值,本章主要讨论的内容,插值函数的类型有很多种,插值问题,插值法,插值函数,一、插值问题解的存在唯一性？二、插值多项式的常用构造方法？三、插值函数的误差如何估计？,代数插值,二、代数插值问题解的存在惟一性,令,只要证明pn(x)的系数a0,a1,an存在唯一即可,给定区间a,b上互异的n+1个点的一组函数值f(xj)，j=0,n,求一个n次多项式pn(x)Pn,使得,为此由插值条件知pn(x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组,而ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是Vandermonde行列式,由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方程组的解a0,a1,an存在且唯一。,为此我们必须从其它途径来求pn(x)：不通过求解方程组而获得插值多项式,通过解上述方程组求得插值多项式pn(x)的方法并不可取.这是因为当n较大时解方程组的计算量较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大（可能是病态方程组）,当阶数n越高时，病态越重,基本思想：在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数0(x),1(x),3（x),使,不同的基函数的选取导致不同的插值方法,Lagrange插值,Newton插值,三、插值多项式的构造方法,n=1,可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。,2Lagrange插值,求n次多项式使得,已知x0,x1;y0,y1，求,一、构造基函数,与节点有关，而与f无关,这里每个lj(x)都是n次多项式，且容易验证lj(x)满足,j=0,1,，n,插值基函数图形,n=1,n=2,对任意的Ln(x)Pn，都有Ln(x)=c0l0(x)+c1l1(x)+cnln(x)其中c0,c1,cn为组合系数,可以证明函数组l0(x)，l1(x)，,ln(x)在插值区间a,b上线性无关，所以这n+1个函数可作为Pn的一组基函数，称为Lagrange插值基函数,由Lagrange插值基函数满足，方程组变成,因此得到插值多项式Ln(x)=f(x0)l0(x)+f(x1)l1(x)+f(xn)ln(x),记为Ln(x)f(xj)lj(x),称Ln(x)为n次Lagrange插值多项式,二、插值余项/*Remainder*/,定理1,由于Rn(xi)0，i=0,1,，n,任意固定xxi(i=0,n),考察,(t)有n+2个不同的根x0xnx,证明,已知,分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50，并估计误差。,n=1,分别利用x0,x1以及x1,x2计算,利用,例1,解,sin50=0.7660444,利用x0,x1作为插值节点的实际误差0.01001,利用,计算得：sin500.76008,利用x1,x2作为插值节点的实际误差0.00596,n=2,sin50=0.7660444,2次插值的实际误差0.00061,特殊地:有,关于Langrange插值的几点说明,即,3逐次线性插值,用拉格朗日插值多项式Ln(x)计算函数近似值，如精度不满足要求需增加插值节点时，原来算出的数据均不能利用，必须重新计算。为克服这缺点，通常可用逐次线性插值方法求得高次插值。,对已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。,取sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487，用线性插值计算：,其截断误差为：,例2,解,取sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274,用线性插值计算：,其截断误差为：,取sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274,用抛物线插值计算：,其截断误差为：,=0.330374,埃特金（Aitken）逐次线性插值方法,是三节点抛物线插值计算的，它也可由和按类似线性插值的方法计算，即,一般情况，两个k次插值多项式可通过线性插值得到(k+1)次插值多项式,是关于节点x0,x1,xk的插值多项式,首先:为k+1次插值多项式。,其次：对i=0,1,k1，有,当x=xk时，有,当x=xl时，有,公式也可改为,列维