广东省2014年中考数学试卷(含解析)

- 1 - 2014 年广东省中考数学试卷 一、选择题（本大题10 小题，每小题3 分，共30 分） 1 （ 3 分） （2014?广东）在1，0，2， 3 这四个数中，最大的数是（） A 1B 0C2D3 考点 ： 有理数大小比较 分析：根据正数大于0，0 大于负数，可得答案 解答：解： 3 012， 故选： C 点评：本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0 大于负数是解题关键 2（3 分） （2014? 广东） 在下列交通标志中，既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是（） ABCD 考点 ： 中心对称图形；轴对称图形 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解答：解： A、不是轴对称图形，不是中心对称图形故此选项错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形故此选项错误 故选 C 点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合 3 （ 3 分） （2014?广东）计算3a2a 的结果正确的是（） - 2 - A 1B aCa D5a 考点 ： 合并同类项 分析：根据合并同类项的法则，可得答案 解答：解：原式 =（32）a=a， 故选： B 点评：本题考查了合并同类项，系数相加字母部分不变是解题关键 4 （ 3 分） （2014?广东）把x 3 9x 分解因式，结果正确的是（） Ax（x 29） Bx（x3） 2 C x（ x+3） 2 Dx（x+3） （x3） 考点 ： 提公因式法与公式法的综合运用 分析：先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 解答：解： x 39x， =x（x 29） ， =x（x+3） （x3） 故选 D 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因 式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 5 （ 3 分） （2014?广东）一个多边形的内角和是900 ，这个多边形的边数是（） A 4B 5C6D7 考点 ： 多边形内角与外角 分析：根据多边形的外角和公式（n2）?180 ，列式求解即可 解答：解：设这个多边形是n 边形，根据题意得， （n2）?180=900， 解得 n=7 故选 D - 3 - 点评：本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键 6 （ 3 分） （2014?广东）一个不透明的布袋里装有7 个只有颜色不同的球，其中3 个红球， 4 个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（） ABCD 考点 ： 概率公式 分析：直接根据概率公式求解即可 解答：解：装有7 个只有颜色不同的球，其中3 个红球， 从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率= 故选 B 点评：本题考查的是概率公式，熟知随机事件A 的概率 P （A）=事件 A 可能出现的结果数与 所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键 7 （ 3 分） （2014?广东）如图，?ABCD 中，下列说法一定正确的是（） AAC=BDBACBDC AB=CDDAB=BC 考点 ： 平行四边形的性质 分析：根据平行四边形的性质分别判断各选项即可 解答：解： A、AC BD，故此选项错误； B、AC 不垂直 BD，故此选项错误； C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故此选项正确； D、AB BC，故此选项错误； 故选： C 点评：此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键 - 4 - 8 （ 3 分） （2014?广东）关于x 的一元二次方程x 23x+m=0 有两个不相等的实数根，则实 数 m 的取值范围为（） ABCD 考点 ：根的判别式 专题 ：计算题 分析：先根据判别式的意义得到=（ 3） 24m0，然后解不等式即可 解答：解：根据题意得=（ 3） 24m0， 解得 m 故选 B 点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a0 ）的根的判别式 =b 24ac：当 0，方 程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有 实数根 9 （ 3 分） （2014?广东）一个等腰三角形的两边长分别是3 和 7，则它的周长为（） A 17 B 15 C13 D13 或 17 考点 ： 等腰三角形的性质；三角形三边关系 分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3； （ 2）当等 腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长 解答：解：当等腰三角形的腰为3，底为 7 时， 3+37 不能构成三角形； 当等腰三角形的腰为7，底为 3 时，周长为3+7+7=17 故这个等腰三角形的周长是17 故选 A 点评：本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论 10 （3 分） （2014?广东）二次函数y=ax 2 +bx+c（ a0 ）的大致图象如图，关于该二次函数， 下列说法错误的是（） - 5 - A 函 数有最小值B对称轴是直线 x= C当 x ，y 随 x 的增大而减小D当1x2 时， y0 考点 ：二次函数的性质 分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A； 根据图形直接判断B； 根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C； 根据图象，当1x2 时，抛物线落在x 轴的下方，则y0，从而判断D 解答：解： A、由抛物线的开口向下，可知a0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题 意； B、由图象可知，对称轴为x= ，正确，故本选项不符合题意； C、因为 a0，所以， 当 x时，y 随 x 的增大而减小， 正确， 故本选项不符合题意； D、由图象可知，当1x2 时， y0，错误，故本选项符合题意 故选 D 点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题 二、填空题（本大题6 小题，每小题4 分，共24分） 11 （4 分） （2014?广东）计算2x 3 x= 2x 2 考点 ： 整式的除法 分析：直接利用整式的除法运算法则求出即可 解答：解： 2x 3 x=2x2 - 6 - 故答案为： 2x 2 点评：此题主要考查了整式的除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键 12 （4 分） （2014? 广东） 据报道， 截止 2013 年 12 月我国网民规模达618 000 000 人将 618 000 000 用科学记数法表示为6.18 10 8 考点 ： 科学记数法 表示较大的数 分析：科学记数法的表示形式为a 10 n 的形式，其中1|a|10，n 为整数确定n 的值时， 要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当 原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数 解答：解：将 618 000 000 用科学记数法表示为：6.18 10 8 故答案为： 6.18 10 8 点评：此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a 10 n 的形式， 其中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值 13 （4 分） （2014?广东）如图，在ABC 中， D， E 分别是边 AB，AC 的中点，若BC=6， 则 DE=3 考点 ： 三角形中位线定理 分析：由 D、E 分别是 AB、AC 的中点可知，DE 是 ABC 的中位线，利用三角形中位线定 理可求出DE 解答：解： D、E 是 AB、AC 中点， DE 为 ABC 的中位线， ED=BC=3 故答案为3 - 7 - 点评：本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半 14 （4 分） （2014?广东）如图，在O 中，已知半径为5，弦 AB 的长为 8，那么圆心O 到 AB 的距离为3 考点 ： 垂径定理；勾股定理 分析： 作 OCAB 于 C，连结 OA，根据垂径定理得到AC=BC= AB=3，然后在 RtAOC 中 利用勾股定理计算OC 即可 解答：解：作 OCAB 于 C，连结 OA，如图， OCAB， AC=BC=AB= 8=4， 在 RtAOC 中， OA=5， OC=3， 即圆心 O 到 AB 的距离为3 故答案为： 3 点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查 了勾股定理 15 （4 分） （2014?广东）不等式组的解集是1x4 考点 ： 解一元一次不等式组 - 8 - 专题 ： 计算题 分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可 解答： 解：， 由得： x4；由得： x 1， 则不等式组的解集为1x4 故答案为： 1x4 点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键 16 （4 分） （2014? 广东）如图， ABC 绕点 A 顺时针旋转45 得到 ABC，若 BAC=90 ， AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于1 考点 ：旋转的性质 分析： 根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1， AF=FC=AC=1 ，进而求出阴影部分的面积 解答：解： ABC 绕点 A 顺时针旋转45 得到 A B C ， BAC=90 ，AB=AC=， BC=2， C= B=CAC= C=45， ADBC，BC AB， AD=BC=1，AF=FC=AC=1 ， 图中阴影部分的面积等于：SAFCSDEC= 1 1 （1） 2= 1 故答案为：1 - 9 - 点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC 的长是解题关键 三、解答题（一） （本大题3 小题，每小题6 分，共18分） 17 （6 分） （2014?广东）计算：+|4|+（ 1） 0（ ） 1 考点 ：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3 个考点在计算时，需要针对每个考 点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 解答：解：原式 =3+4+12 =6 点评：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题 目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算 18 （6 分） （2014?广东）先化简，再求值：（+） ? （ x 21） ，其中 x= 考点 ： 分式的化简求值 分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可 解答： 解：原式 =? （x 21） =2x+2+x 1 =3x+1， 当 x=时，原式 = 点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 - 10 - 19 （6 分） （2014?广东）如图，点D 在 ABC 的 AB 边上，且 ACD=A （1）作 BDC 的平分线DE， 交 BC 于点 E （用尺规作图法， 保留作图痕迹， 不要求写作法） ； （2）在（ 1）的条件下，判断直线DE 与直线 AC 的位置关系（不要求证明） 考点 ： 作图 基本作图；平行线的判定 分析：（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可； （2）根据角平分线的性质可得BDE=BDC，根据三角形内角与外角的性质可得 A=BDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论 解答：解： （1）如图所示： （2）DE AC DE 平分 BDC， BDE = BDC， ACD=A， ACD+A=BDC， A=BDC， A=BDE ， DEAC 点评：此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相 等两直线平行 - 11 - 四、解答题（二） （本大题3 小题，每小题7 分，共21分） 20 （7 分） （2014?广东）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30 ，然后沿 AD 方向前行10m，到达 B 点，在 B 处测得树顶C 的仰 角高度为60 （A、B、D 三点在同一直线上） 请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高 度（结果精确到0.1m） （参考数据：1.414 ，1.732 ） 考点 ：解直角三角形的应用仰角俯角问题 分析：首先利用三角形的外角的性质求得ABC 的度数，得到 BC 的长度，然后在直角 BDC 中，利用三角函数即可求解 解答：解： CBD= A+ACB， ACB=CBD A=60 30 =30 ， A=ACB， BC=AB=10（米） 在直角 BCD 中， CD=BC? sinCBD=10=551.732=8.7 （米） 答：这棵树CD 的高度为8.7 米 点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形 21 （7 分） （2014?广东）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635 元，在一次促销活动 中，按标价的八折销售，仍可盈利9% （1）求这款空调每台的进价（利润率=） （2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100 台，问盈利多少元？ - 12 - 考点 ： 分式方程的应用 分析： （1）利用利润率 =这一隐藏的等量关系列出方程即可； （2）用销售量乘以每台的销售利润即可 解答：解： （1）设这款空调每台的进价为x 元，根据题意得： =9% ， 解得： x=1200， 经检验： x=1200 是原方程的解 答：这款空调每台的进价为1200 元； （2）商场销售这款空调机100 台的盈利为：100 1200 9%=10800 元 点评：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法 22 （7 分） （2014?广东）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是 准备在校内倡导“ 光盘行动 ” ，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校 学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了 如图所示的不完整的统计图 （1）这次被调查的同学共有1000名； （2）把条形统计图补充完整； （3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200 人用 一餐据此估算，该校18 000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ 考点 ：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 - 13 - 分析：（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可； （2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可； （3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200 人用一餐，再根据全校 的总人数是18000 人，列式计算即可 解答：解： （1）这次被调查的同学共有400 40%=1000（名） ； 故答案为： 1000； （2）剩少量的人数是；1000400250150=200， 补图如下； （3）18000=3600（人） 答：该校18000 名学生一餐浪费的食物可供3600 人食用一餐 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 五、解答题（三） （本大题3 小题，每小题9 分，共27分） 23 （9 分） （2014?广东）如图，已知A（ 4，） ，B（ 1，2）是一次函数y=kx+b 与反比 例函数 y=（m0 ，m0）图象的两个交点，ACx 轴于 C，BD y 轴于 D （1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值？ （2）求一次函数解析式及m 的值； （3）P 是线段 AB 上的一点，连接PC， PD，若 PCA 和 PDB 面积相等，求点P 坐标 - 14 - 考点 ： 反比例函数与一次函数的交点问题 分析：（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案； （2）根据待定系数法，可得函数解析式； （3）根据三角形面积相等，可得答案 解答：解： （1）由图象得一次函数图象在上的部分，4x 1， 当 4x 1 时，一次函数大于反比例函数的值； （2）设一次函数的解析式为y=kx+b， y=kx+b 的图象过点（4，） ， （ 1，2） ，则 ， 解得 一次函数的解析式为y=x+， 反比例函数y=图象过点（1，2） ， m=1 2=2； （3）连接 PC、PD ，如图， 设 P（x，x+） 由 PCA 和 PDB 面积相等得 - 15 - （x+4）=|1| （2x） ， x=，y=x+=， P 点坐标是（，） 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系 数法求解析式 24 （9 分） （2014?广东）如图，O 是 ABC 的外接圆， AC 是直径，过点O 作 ODAB 于点 D，延长 DO 交 O 于点 P，过点 P 作 PEAC 于点 E，作射线DE 交 BC 的延长线于 F 点，连接PF （1）若 POC=60 ，AC=12，求劣弧 PC 的长； （结果保留 ） （2）求证： OD=OE； （3）求证： PF 是 O 的切线 考点 ： 切线的判定；弧长的计算 分析： （1）根据弧长计算公式l=进行计算即可； （2）证明 POE ADO 可得 DO=EO； （3）连接 AP，PC，证出 PC 为 EF 的中垂线，再利用CEP CAP 找出角的关系 求解 - 16 - 解答：（1）解： AC=12， CO=6， =2 ； （2）证明： PEAC，ODAB， PEA=90 ， ADO =90 在 ADO 和 PEO 中， ， POE AOD（AAS） ， OD=EO； （3）证明：如图，连接AP，PC， OA=OP， OAP=OPA， 由（ 1）得 OD=EO， ODE=OED， 又 AOP=EOD， OPA=ODE， APDF ， AC 是直径， APC=90 ， PQE=90 PCEF， 又 DPBF， - 17 - ODE=EFC， OED=CEF， CEF =EFC， CE=CF， PC 为 EF 的中垂线， EPQ=QPF， CEP CAP EPQ=EAP， QPF =EAP， QPF =OPA， OPA+OPC=90 ， QPF +OPC=90 ， OPPF， PF 是 O 的切线 点评：本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系 25 （9 分） （2014?广东）如图，在 ABC 中，AB=AC， ADAB 于点 D， BC=10cm， AD=8cm 点 P 从点 B 出发， 在线段 BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动， 与此同时， 垂直于 AD 的 直线 m 从底边 BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB、AC、 AD 于 E、F、H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（ t0） （1）当 t=2 时，连接 DE、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形； （2）在整个运动过程中，所形成的PEF 的面积存在最大值，当PEF 的面积最大时，求 线段 BP 的长； - 18 - （3）是否存在某一时刻t，使 PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存 在，请说明理由 考点 ： 相似形综合题 分析：（1）如答图1 所示，利用菱形的定义证明； （2）如答图2 所示，首先求出PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求 解； （3）如答图3 所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解 解答：（1）证明：当t=2 时， DH =AH=2，则 H 为 AD 的中点，如答