成人高考数学专升本

专升本,2015年成考数学复习,成考数学的所有知识点在辅导书中的内容提要部分.对知识点有三个层次的不同要求，三个层次由低到高顺序排列，且高一级层次要求包含低一级要求。三个层次分别为：,知识点及要求,了解：要求考生对所列知识的含义有初步的认识，识记有关内容，并能进行直接运用。理解、会：要求考生对所列知识的含义有较深的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能运用知识解决有关问题。掌握：要求考生对所列知识能够综合运用，并能解决较为复杂的数学问题。,试卷题型分析：,一、选择题（10小题每题4分总共40分）,二、填空题（10小题每题4分总共40分）,三、解答题（8小题，前5题每题8分后3题每题10分，总共70分）,合理安排时间，先易后难，先将会做的做好，不会做的暂时放下。“有所为有所不为”.即有所侧重,对于各个板块的知识,侧重于自己熟悉的,对于自己没学过的,或要花相当大的力气才能搞懂的,要学会放弃.找往年的题目来做一下,多做几套模拟题,找到考试的感觉.同时,也可检验自己擅长于哪一部分内容的题.,考试经验:,第一分部初等函数,一、基本初等函数最常用，最常见的5种基本初等函数：常数函数：y=c(c为常数)、幂函数：y=x(为实数)、指数函数：y=ax(a0，a1，a为常数)、对数函数：y=logax(a0，a1，a为常数)、三角函数：正弦函数y=sinx,和余弦函数y=cosx.要求大家要牢牢记住上述函数，所有知识基本上是围绕基本初等函数展开的。,二、初等函数定义2基本初等函数(常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、)经过有限次的加、减、乘、除(分母不为零)的四则运算，以及有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，叫做初等函数.如果一个函数必须用几个式子表示，那么它就不是初等函数，例如分段函数：f(x)=就不是初等函数，我们将这样的函数，叫做非初等函数.,三、复合函数定义1若函数y=f(u),u=g(x),且u=g(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定义域中,则变量y通过变量u与变量x建立了对应关系,这个对应关系称为y是x的复合函数,u是中间变量,x是自变量,通常将y=f(u),u=g(x)合并写成y=fg(x)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;复合函数也可以由两个以上的函数经过复合构成.,【例1】指出下列函数的复合过程:,【解】(1)y=cos2x是由y=u2,u=cosx复合而成的.(2)及u=x2+2x复合而成的.,第二部分极限与连续,本章内容在考试中约占15%，22分左右。重点：1.求极限，2.函数在一点处连续的判定,极限的运算法则,例：,例：,(1),两个重要极限,【例】求下列极限：,第二个重要极限,其本质为：,例：,1.,型未定式.,定理1如果函数f(x)和g(x)满足,(1)当xa时，f(x)0，g(x)0，,(2)在点a的去心邻域内可导，即f(x)，g(x)存在，且g(x)0,(3)极限,存在，,则,洛必达法则,如果xa时，,仍是“”型不定式，并且f(x),g(x)像f(x)，g(x)一样满足定理的条件,则仍可继续使用洛必达法则，即,型未定式,如果f(x)，g(x)满足,(1)当xa时，f(x)，g(x),(2)在点a的去心邻域内可导，即f(x)，g(x)存在，且g(x)0，,(3)极限存在(或为无穷大)，则,求极限,型的极限满足若干条件后有,1、洛必达法则,例3求,解：,例1、,(1)求,解,原式,注意:不是,未定式不能继续用洛必达法则!,解：,例求,解:原式是“”不定式且满足洛必达法则条件，故,例求,解:原式是“”型不定式，满足定理条件，,故,函数的连续性,初等函数的连续性,注意：,1.初等函数仅在其定义域区间上连续,在其定义域内不一定连续.,2.由于初等函数在其定义域（或定义域区间）上具有连续性，函数的连续性的考试内容主要是针对分段函数的连续性。,解：,例：,例：函数,第三部分导数与微分,这部分在微积分中占有极重要的位置，在考试中约占30%，45分左右。主要内容：基本初等函数的导数，微分公式，四则运算求导，复合函数求导，利用导数研究函数的性质等。,一、导数的几何意义,例,解,根据导数的几何意义知,所求切线的斜率为,所求切线方程为,基本求导法则与导数公式,一、函数和、差、积、商的求导法则,定理,函数的求导法则,和差积商的求导法则；,(uv)=uv;,(uv)=uv+uv;,例1,解,例2,解,例3,解,复合函数的求导法则,定理,即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导。,例,解,例,三、隐函数求导,定义,隐函数求导法：,两边求导,即可求得隐函数的导数.,应用复合函数求导法把方程,F(x,y)=0,三、隐函数求导,定义,隐函数求导法：将方程F(x,y)=0的两端对x求导，在求导过程中将y看成x的函数，y的函数看成是x的复合函数，求导后，解出y即可求得隐函数的导数。注意：式子中允许有y出现。,例,解,解得,函数的微分,求函数的微分，关键是求出函数的导数。,例3设y=,求dy.,解,例4设y=(2x+1)5+sinx2,求dy.,解,单调性、极值,定理设函数f(x)在闭区间a,b上连续，,在开区间(a,b)内可导，则：,1、函数的单调性,(1)若在(a,b)内,(2)若在(a,b)内,则f(x)在区间（a,b）上单调增加.,则f(x)在区间（a,b）上单调减少.,例2,解,单调区间为,求函数极值的步骤：,(1)确定函数的定义域；,(2)求导，令导数等于0，解方程，求出驻点；,(3)列表（根据分界点把定义域分成相应的区间；判断可疑点是否为极值点）,(4)下结论。,例确定函数,的单调区间,解:,令,得,该函数的定义域是R,和极值.,极大值2,极小值1,故,的单调增加区间为,单调减少区间为,极大值是,极小值是,例,解,列表讨论,极大值,极小值,函数的最值,求函数最值的方法:,(1)求f(x)在(a,b)内的驻点,(2)求这些点对应的函数值,（3）比较大小，得函数在a,b上的最值.简言之，求出极值及端点处的值，其中最大的即是最大值，最小者就是最小值。,以及端点的函数值：,例确定函数,在0,3上,解:,令,得,的最值.,因为,所以函数在0,3上最大值是6，最小值是-3.,本部分是微积分的核心内容之一，在考试中约占47%，70分左右。主要内容如下：1.原函数和不定积分的概念；定积分的概念与性质。2.第一换元积分法，分部积分法计算不定积分与定积分。,第四部分不定积分与定积分,不定积分的基本公式由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本求导公式反推，可得基本积分公式,基本积分公式,不定积分的基本公式由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本求导公式反推，可得基本积分公式：,不定积分的运算性质,（1）,(k为不等于零的常数),例求下列不定积分x5dxsinxdx,解：是x5的一个原函数cosx是sinx的一个原函数,例求积分,解,3、第一换元积分法（重点）,定理一(第一换元积分法),设u=j(x)，,则,则,这种先凑微分再作变量代换的方法，称为第一换元积分法（也称凑微分法）,第一换元积分法在运用的时候需要注意两点：,（1）凑du其实是积分过程；,积分过程,（2）欲看成整体,务必先凑出d;,例求,解：令，则,例2求2sin2xdx解：设u2x，则du2dx2sin2xdxsin2x2dxsinuducosuCcos2xC注意：最后结果中不能有u，一定要还原成x。解：设ux21，则du2xdx,解：设ux2，则du2xdx设ucosx，则du-sinxdx,例5,例4,考察函数乘积的求导法则：u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)两边积分得u(x)v(x)u(x)v(x)dxu(x)v(x)dx于是有u(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx或表示成u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)这一公式称为分部积分公式。,分部积分法,分部积分法,设函数u=u(x)，v=v(x)可导，则,例1求xexdx解:令u(x)x，v(x)ex原式为u(x)v(x)dx的形式(ex)exv(x)ex，由分部积分公式有xexdxxexexdxxexexC例2求xcos2xdx解：令u(x)x，v(x)cos2x，则v(x)sin2x于是xcos2xdxxsin2xsin2xdxxsin2xcos2xC,有时，用分部积分法求不定积分需要连续使用几次分部积分公式才可以求出结果。例3求x2e-2xdx解：令u(x)x2，v(x)e-2x，则v(x)于是,例求xlnxdx,解,例求,有些单独一个函数的不定积分也要用分部积分法解。例7求lnxdx,六、定积分,定理七如果函数f(x)在区间a,b上连续，要算定积分，先计算不定积分,那么,且,牛顿-莱布尼茨公式,解,例12求,例2计算.,解.,原式.,解法2.,解,例5计算.,3、定积分的应用（重点）,由曲线及直线x=a,x=b,(ab)所围图形的面积是,平面图形的面积,解,1,-1,1,例求由,所围成图形的面积,偏导数,1、,对x求偏导时只要把y暂时看作常数对x求导数；,对y求偏导时只要把x暂时看作常数对y求导数；,【例1】,2、二阶偏导数,例14,求,解