系统的状态变量分析

系统的状态变量分析,补充：11.6信号流图,系统的框图,三种基本单元的方框图及运算功能,信号流图,（1）信号流图的获得,系统的信号流图，就是用一些点和线段来表示系统。,由两个及两个以上的箭头指向的节点可兼做加法器。,（2）信号流图的性质,1.信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与支路增益的乘积。,2.当节点有几个输入时，节点将所有输入支路的信号相加，并将其和传送给与该节点相连的输出节点。,3.具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输增益的支路，可以将它变成输出节点。,4.给定系统，信号流图并不惟一。,5.流图转置以后，其转移函数保持不变。,（3）信号流图的梅森公式,梅森公式：,-信号流图的特征行列式,-所有不同环路的增益之和；,-所有两两互不接触环路的增益乘积之和；,-所有三个都互不接触环路的增益乘积之和；,-由源点到阱点之间的第K条前向通路的标号；,-由源点到阱点之间的第K条前向通路的增益；,-第K条前向通路特征行列式的余因子，表示除去与第K条前向通路接触的环路外余下的特征行列式。,求,只有一对两两互不接触的环路：与,即,没有三个及三个以上都不接触的环路，所以，,再求其它参数。,第一条前向通路：,第二条前向通路：,由于各环路都与该前向通路都接触，所以,由于环路与该前向通路不接触，所以,第12章系统的状态变量分析,12.2连续时间系统状态方程的建立,12.1引言,12.4离散时间系统状态方程的建立,12.3连续时间系统状态方程的求解,12.5离散时间系统状态方程的求解,12.6由状态方程判断系统的稳定性,12.1引言,不关心系统内部变量的变化情况，只对输出变量y(t)感兴趣，这种方法称为端口方法或输入输出分析法。,用状态变量法分析系统的优点：1）便于研究系统内部物理量的变化2）适合于多输入多输出系统3）也适用于非线性系统或时变系统4）便于分析系统的稳定性5）便于采用数值解法，为计算机分析系统提供了有效途径,这是以iL(t)、vC(t)作为变量的一阶联立微分方程组，这种描述系统的方法称为系统的状态变量或状态空间分析法。其中iL(t)、vC(t)称为状态变量。n阶系统有n个状态变量，状态方程是n个一阶微分方程组。,（1）连续系统状态方程和输出方程的一般形式,上述状态方程和输出方程可以写成矩阵形式：,状态方程：,输出方程：,其中：,（2）离散系统状态方程和输出方程的一般形式,则状态方程和输出方程分别为：,上述状态方程和输出方程可以写成矩阵形式：,状态方程：,输出方程：,其中：,12.2连续系统状态方程的建立,一、由电路图直接建立状态方程,对于给定电路，通常选电容两端电压和流经电感的电流作为状态变量。,独立的,解：选电感中电流和电容两端电压作为状态变量,列写回路方程和节点方程,回路1：,回路2：,节点1：,整理得：,表示成矩阵形式为：,二、间接法建立系统状态方程,系统状态方程间接编写的一般步骤：,（1)根据给定系统的表示方式（微分方程、冲激响应、系统函数），模拟出系统的信号流图（直接型、级联型、并联型）；,（2)确定状态变量的个数，它等于系统的阶数；,（3)依据系统的信号流图，选择积分器的输出作为状态变量；,（4)根据信号流图的运算规则，列写状态方程和输出方程，并写成矩阵形式；,解：(1)直接型,写成矩阵形式：,根据上述系统函数可以画出如下流图：,例12-3、4：分别给出用直接型、级联型和并联型结构实现下式所示系统的状态方程和输出方程。,(2)级联型,根据上式可以画出如下流图：,写成矩阵形式：,(3)并联型,根据上式可以画出如下流图：,例12-5：用并联结构形式列写下列系统的状态方程和输出方程。,解：,根据上式可以画出如下流图：,写成矩阵形式：,约当阵,12.4离散系统状态方程的建立,一、根据给定系统的差分方程建立状态方程,根据上式可画出直接型信号流图。,选择每个延时器的输出作为状态变量。,写成矩阵形式：,二、根据给定系统的框图或信号流图建立状态方程,写成矩阵形式：,两边取拉氏变换,整理得,12.3连续系统状态方程的求解,这样，就可以通过求逆变换，得到时域表示式。,其中：,矩阵的逆,设,存在的条件是：1）A是方阵；2）（非奇异、满秩）,性质：,其中，是元素的代数余因子（代数余子式）,例：已知求,其中：,所以,对于二阶矩阵,例：已知求,解：,例12-6：已知系统的状态方程和输出方程为,起始状态矩阵为：,求系统函数矩阵和响应y(t)。,解：,零状态响应：,零输入响应：,全响应：,12.5离散系统状态方程的求解,两边取单边z变换,整理得,这样，就可以通过求逆变换，得到时域表示式。,其中：,例12-16：已知某离散系统状态方程的系数矩阵为,（1）画出系统的信号流图；（2）求系统函数矩阵H(z);（3）若求yn。,解：根据A、B、C、D矩阵可列出状态方程和输出方程,(1)根据上述状态方程和输出方程可画出系统的信号流图,(2),(3),12.6由状态方程判断系统的稳定性,一、连续时间系统的稳定性判别,将式（2）代入式（1）得：,H(s)的极点就是的根，对于因果系统H(s)的所有极点位于左半s平面，则系统稳定（对于高阶系统，可以利用劳斯准则来判断）。,（p351）,解：系统的特征多项式为,要使系统稳定必须满足：,二、离散时间系统的稳定性判据,H(z)的极点就是的根，对于因果系统H(z)的所有极点位于单位圆内，则系统稳定。,解：系统的特征多项式为,系统的两极点分别为0和，均在单位圆内，所以该系统稳定。,连续系统,离散系统,系统的描述,输入输出描述法：,N阶微分方程,系统响应求解,状态空间描述：,N个一阶微分方程组,时域：,频域：,复频域：,系统的描述,输入输出描述法：,N阶差分方程,系统响应求解,状态空间描述：,N个一阶差分方程组,时域：,频域：,Z域：,y(t)=x(t)*h(t),连续信号,离散信号,抽样,时域：信号表达为冲激信号的线性组合,频域：信号表达为正弦信号的线性组合（CFS，CTFT）,复频域：信号表达为复指数的线性组合（单边、双边）,时域：信号表达为脉冲序列的线性组合,频域：信号表达为正弦序列的线性组合（DFS，DTFT）,Z域：信号表达为复指数的线性组合（单边、双边）,信号与系统,Y(jw)=X(jw)H(jw),Y(s)=X(s)H(s),yk=xk*hk,Y(ejw)=X(ejw)H(ejw),Y(z)=X(z)H(z),系统分析,信号分析,信号与系统课程体系,信号分析,连续信号,离散信号,抽样,时域：信号分解为冲激信号的线性组合,频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合,复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合,时域：信号分解为单位脉冲序列的线性组合,频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合,复频域：信