高中数学资料

谈解法与想法08浙江高考数学试题的启示,丁沛华08.10.17,杭州绿城育华学校,听得懂，做不来学生对数学课的普遍反映。不少中等以上的学生也如此。,问题在哪里？应该怎么办？,我认为对一部分成绩中等或中等以上的同学，应该指导他们把解法上升为想法，学会用想法去激活他们已经在大脑中储存的解法。,概念与原理,解题方法,想法,教师传授,学生练习,经验,关于想法,刘爱伦教授主编,上海教育出版社出版的思维心理学中也用到了这个词.书中关于信息加工方法的三个基本假设:,第一,思维可描述为一系列认识状态或想法状态,通过加工活动可对这些状态作出区别,一种加工活动决定了一种状态转换成下一种状态.,第二,每一种状态都可以用数量有限的工作记忆结构的激活来描述,代表最初输入到加工活动中的想法,就产生下一个状态.,第三,除了在很少条件下例外,一般地说,通过基本的加工操作,可将一种认识状态转换成另一种认识状态,.,按照这些假设,可以把思维过程想象为从一个状态到另一个状态的转换,是在潜在的认识状态构成的“问题空间”中搜索出一条独特的途径的过程.,思维,想法,状态变化,激活内存,搜索合适的途径,描述为,知识技能方法等,决定加工过程,产生,对照目标,概念与原理,解题方法,想法,教师传授,学生练习,经验,技能,教师引导,学生感悟,术,理论,能力,道,关于道道是中国传统文化中的一个非常重要的概念.春秋时期的思想家,道家的创始人老子,在道德经(即老子)的开篇第一句话就说:“道可道也,非恒道也”.这里的第一个“道”是名词,指的是宇宙的本原和实质,引申为原理,原则,真理,规律等.第二个“道”是动词,指解说,表述的意思,相当于“说得出”.整句的意思为:“可以用言语表述的道,它就不是永恒的道.”,因此,借用“道”的思想,我所指的想法,可以表述为:思维,设想,理解,归纳,感悟等的总和.,想法既具有普适性,更具有强烈的个体性.有些是可以言传的,有些是需要意会的.,想法的普适性说明是可以教的;想法的个体性说明难以完全用语言传授,需要教师引导学生产生个性化的感悟.,1.解法扎根于概念与原理;,2.解法应上升为想法;,3.由想法产生解法.,根据上述的思考,得出的结论是:,怎么想比怎么做更重要。,例1浙江08高考第14题,则球O的体积等_.,如图,已知球O,球面上四点,例2四棱锥,是正方形,侧棱,且,求,与面PBC所成的角的大小.,粗浅的理解,繁复的过程,深刻的理解,简洁的过程,例3四面体中两组对棱的长分别为5，4，则第三组对棱长的取值范围为_。（下图中AB=CD=5,AC=BD=4,AD=BC=x),下面再以数列和不等式为例作一点说明,例4证明不等式：,想法一：是相等的把和求出再证不等式呢？还是放缩后求和再证？而即使放缩后，也要使求和能够成功。,那么相等的求和有哪些呢？这作为基础必须要解决的：等差求和、等比求和、错位相减、裂项求和、倒序求和等。,补例设,试比较M,N的大小。,注意：想法把原本储存在大脑中的基础知识激活，思考那种可以相等的求和。,实际哪一种都不行。只能转而求其次不等放缩后求和并证不等式。,想法二：怎么放缩？而且放缩后要可以求和。,回到题目中观察,利用,不等式为：,想法三：思路正确，结果是放得过大了。什么原因？,实际上原来的分母,被缩小成,想法四：能不能放大、裂项的要求不变，而不放大得太多？,分母缩小太多：,有了！,于是,这样分母只缩小1。,第（1）题（解略），得到,于是，只要证明,如果,那么，裂项成功，但不能相消。,因为裂出来是：,此时分母间隔1，不行；如果间隔2，可以相消。再来：,此时，左边为：,放过头了。,有没有调整的办法？有！,放大的过程往后移一点。越是前面的项，放大时增大得越多。,知道这个道理，我们调整的办法可以从第二项开始放。得到：,启示：从方法上来说，放缩过头的调整可以：一是使分母不要放得太过；二是放的过程适当后移。想法就产生了过头是可以调整的。,第（1）（2）小题略。但结论注意：数列是单调递增的。第（3）小题又是数列和不等式。,想法“是等的求和还是不等的求和”？,可以得出应该不等的求和。怎么放？朝等差、等比、裂项、错位、倒序等哪个方向求和？,注意到分母的次数一点点高起来，且每一个括号一点点大起来。可以朝等比数列放：,解析几何中的例子,第（1）题很简单，显然是以P为焦点，已知直线为准线的抛物线。,第（2）题中，M在未知的定直线上动时，,怎么用？,我的想法是：线段长度的比，既可以用几何思路，也可能是代数思路。几何的想法是能不能把它转化为其他线段的比，使问题简便；代数的想法是能否变成坐标式？甚至是两者兼而有之。,类似的应该上升为想法的情况非常多。,如：绝对值、参数、小区间的问题。比较典型的是07浙江文科第22题,又如，在学了三角函数中的诱导公式后，是否有意识的引导学生产生这样的想法：要改变三角函数的名、角或符号，只要用诱导公式。,再比如，函数的定义域是否仅仅停留在给出解析式时的求定义域？,到了08浙江数学绝对值、参数、小区间的问题又来了。这几乎是必然了。,结论：只有方法，只能对号入座。对得上号的，会做；对不上号的不会做。于是很多情况下就成为“听得懂，做不来”。同样，如果只有想法，没有扎实的基础，也得不到正确的结果。只有把基