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函数的奇偶性,y=x2,-x,x,当x1=1,x2=-1时，f(-1)=f(1),当x1=2,x2=-2时，f(-2)=f(2),对任意x，f(-x)=f(x),当x1=1,x2=-1时，f(-1)=-f(1),对任意x，f(-x)=-f(x),-x,x,偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。,奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x）=-f(x)。那么f(x)就叫奇函数。,例1、判断下列函数的奇偶性,（2）,解：(1)因为f(-x)=2x=-f(x),所以f(x)是奇函数。(2)因为f(x)的定义域为，,是偶函数。,(1),（4）,（3）,故f(2)不存在，所以就谈不上与f(-2)相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。,解：（3）,（4）,故函数没有奇偶性。,首要条件：,定义域是否关于原点对称,思考：,在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数，有的是偶函数不是奇函数，也有既不是奇函数也不是偶函数的。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？,f(x)=0,是不是具备这样性质的函数解析式只能写成这样呢？,例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数。求证：f(x)=0,证明：因为f(x)既是奇函数又是偶函数所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x)所以f(x)=-f(x)所以2f(x)=0即f(x)=0.,这样的函数有有多少个呢？,函数按是否有奇偶性可分为四类：,(1)奇函数;(2)偶函数;(3)既是奇函数又是偶函数;(4)既不是奇函数又不是偶函数.,例3、判断下列函数的奇偶性,（1）解：当b=0时，f(x)为奇函数，当b0时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。,2、解：当a=0时，f(x)既是奇函数又是偶函数，当a0时，f(x)是偶函数。,例4、已知函数f(x)为奇函数，定义域为R,且X0时，f(x)=求函数f(x)的解析式。,小结：,奇偶性的概念判断奇偶性时要注意的问题,作业：,判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=3x(3)f(x)=6x2(4)f(x)=6x3-1(5)f(x)=2x+2a(6)f(x)=0(-2x2),3.具有奇偶性的函数图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称,1.定义式:,2.等价形式:,判断方法:,4.性质法:偶与偶的和差积商仍为偶;奇与奇的和差为奇,积商为偶;奇与偶的积商为奇.,1.非零常数函数,为偶函数;,为既奇又偶函数(唯
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