2.2直接证明与间接证明

2.2.1直接法证明（一）：综合法,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.,数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.,复习,例1:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,因为b2+c22bc,a0所以a(b2+c2)2abc.,又因为c2+b22bc,b0所以b(c2+a2)2abc.,因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.,证明:,变式1：,从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法),用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.,则综合法用框图表示为:,特点:“由因导果”,一、直接证明法：综合法,例2、在ABC中，三个内角A,B,C对应的边分别是a,b,c，且A,B,C成等差数列，a,b,c成等比数列。求证：ABC是等边三角形。,【分析】条件是什么？,练习、课本P89：第1题,练习、课本P91：B组第2题,2.2.1直接法证明（二）：分析法,驾驶员之家,例1.求证：.,所以为了证明,只需证,即证,即证,即证,即证,从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。,要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以结论成立,格式,例:证明：,二、直接证明法（二）：分析法,练习1：P89：T2,也可以是经过证明的结论,练习3：P89：T3,2.2.2间接法证明：反证法,复习,1.直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,引例、,求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.,已知:,直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3与l1相交于点P.,求证:,l3与l2相交.,证明:,假设_那么_,因为已知_,这与“_”矛盾.,所以假设不成立、即求证的命题正确,l3与l2不相交.,l3l2,l1l2,相交于点P.,所以,l3l1,假设结论不成立,推出矛盾,假设不成立，原命题成立,证明：假设李子是甜的因为李子长在路边，所以李子早就没了（与李子有很多矛盾）所以李子是苦的,（1）否定结论,（2）推出矛盾,（3）假设不成立（原结论成立）,用反证法证明命题的过程用框图表示为：,条件不变否定结论,导致逻辑矛盾,反设不成立,结论成立,把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明,注：反证法是最常见的间接证法.,一、间接法证明的概念,例1.求证：是无理数.,P91练习1,2,练习、不可能成等差数列,例2.已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。,证：由于a0，因此方程至少有一个根x=b/a，,注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,常用反证法,如果方程不只一个根，不妨设x1,x2（x1x2)是方程的两个根.,例3：已知x0,y0，x+y2，求证：中至少有一个小于2。,分析：所谓至少有一个,就是有1个或多个,要证“至少有一个”成立的反面“所有都”不成立.,注:“至少”、“至多”型命题常用反证法,（1）直接证明有困难,正难则反!,归纳总结：,哪些命题适宜用反证法加以证明？,牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”,（3）唯一性命题,（2）否定性命题,（4）至多，至少型命题,“非”命题对常见的几个正面词语的否定.,练习、,A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则