1第一章 概率论基础知识-5

周圣武,数理统计,中国矿业大学理学院,1.5随机变量的数字特征,数学期望方差协方差及相关系数矩、协方差矩阵,引例1某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的次品数X是一个随机变量.如何确定小张每天生产的次品数的平均值呢？,我们先观察小张100天的生产情况,（假定小张每天至多出现三件次品）,（1）离散型随机变量的数学期望,1.数学期望,可以得到这100天中每天的平均次品数为,这个数能否作为X的平均值吗？,若统计100天,32天没有出次品;30天每天出一件次品;17天每天出两件次品;21天每天出三件次品;,可以想象，若另外统计100天，车工小张不出次品，出一件、二件、三件次品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均次品数也不一定是1.27.,n0天没有出次品;n1天每天出一件次品;n2天每天出两件才品;n3天每天出三件次品.,可以得到n天中每天的平均次品数为,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说,若统计n天,以频率为权的加权平均,当n很大时，频率接近于概率，所以我们在求次品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为,以概率为权的加权平均,这是一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X的平均值.,注：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的,若级数,绝对收敛。,设离散型随机变量X的分布律为,简称期望或均值，记为E(X).,则称此级数的和为X的数学期望。,即,级数的和.,数学期望是随机变量的平均值，,与X的取,值xk的顺序无关（唯一性），所以要求级数绝对收敛。,定义1,定理：绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和,解设试开次数为X,于是,例2,甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出,试问哪个人的射击水平较高？,解甲乙的平均环数可求得：,因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好。,X：甲击中的环数,Y：乙击中的环数,练习题1.设Xb(n,p)，求E(X)。,2.设X()，求E(X)。,3.设有3只球，4只盒子，盒子的编号为1、2、3、4，将球逐个随机地投入4只盒子中去，记X为其中至少有一只球的盒子的最小号码，求E(X)。,100/64,（2）连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0x10。以该股票为标的资产，执行价格为K的欧式看涨期权在当前时刻t的价值为,求Ct。,定义设二维随机变量,即,若,存在，则称它为X与Y的协方差，记为Cov(X,Y),（1）协方差和相关系数的定义,3.协方差和相关系数,（2）协方差的性质,Pf:,（协方差的计算公式）,Pf:,Pf:,若X,Y相互独立，则,为常数,Pf:,定义称,为X与Y的相关系数.,（3）相关系数,（4）相关系数的性质,说明,，X与Y的线性关系越显著；,，X与Y的线性关系越不显著；,四个等价命题：,2）,3）,4）,1）相关系数,不相关：X与Y之间没有线性关系，并不表示它们之,间没有任何关系。,所以，当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.,故,请看下面的例子,独立：X与Y之间没有任何函数关系。,对应的(X,Y).,相关系数的直观演示,解先求关于X和Y的边缘概率密度,因为,所以X和Y不相互独立。,求X和Y的相关系数,所以,故X和Y不相关。,独立,不相关,特例,若(X,Y)服从二维正态分布。是Y与X的相关系数。以下画出取几个不同值时(X,Y)的密度函数图。,例2,解,故与的协方差为,又,从而得,解,解1),2),例5,4.矩和协方差矩阵,X的k阶原点矩，简称k阶矩,X的k阶中心矩,X和Y的k+l阶混合矩,X和Y的k+l阶混合中心矩,协方差矩阵,将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式:,称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.,类似定义n维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵.,为(X1,X2,Xn)的协方差矩阵,为(X1,X2,Xn)的相关矩阵,记ij为Xi与Xj的相关