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.,二项式定理的性质,复习回顾:,二项式定理及展开式:,.,(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6,=,=,=,=,=,=,a+b,a3+3a2b+3ab2+b3,a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5,a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6,a2+2ab+b2,.,(a+b)1=1a+1b(a+b)2=1a2+2ab+1b2(a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3(a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5(a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6(a+b)7=?(a+b)8=?(a+b)n=?,.,(a+b)1_(a+b)2_(a+b)3_(a+b)4_(a+b)5_(a+b)6_(a+b)n_(a+b)n+1_,11121133114641151010511615201561,1CCCC1,1CCC1,杨辉三角,.,(a+b)1_(a+b)2_(a+b)3_(a+b)4_(a+b)5_(a+b)6_(a+b)n_(a+b)n+1_,11121133114641151010511615201561,1CCCC1,1CCC1,.,杨辉三角,详解九章算法中记载的表,这样的二项式系数表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了,在这本书里,记载着类似左面的表:,.,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,性质1:对称性,二项式系数的性质,.,由于:,所以相对于的增减情况由决定,性质2:增减性与最大值,由:,可知,当时,,二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。,.,例1:求(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项,解:已知二项式幂指数是偶数,展开式共项,依二项式系数性质中间一项的二项式系数最大,则:T5=C84(2x)4=7016x4=1120 x4,.,解:依题意,n为偶数,且,例2已知展开式中只有第10项系数最大,求第五项。,.,当n=6时,其图象是7个孤立点,.,20,10,30,35,O,n,f(r),n为奇数,n为偶数,.,在二项式定理中,令,则:,这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于:,同时由于,上式还可以写成:,这是组合总数公式,性质3:各二项式系数的和,.,性质4:,在(ab)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,.,.,.,.,例6、若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,求a0a2a4的值为,.,例7、已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,则(1)a1+a2+a3+a7=_(2)a1+a3+a5+a7=_,.,2、在(ab)10展开式中,二项式系数最大的项是(),1、在(ab)20展开式中,与第五项二项式系数相同的项是().,A,A.第6项B.第7项C.第6项和第7项D.第5项和第7项,C,A.第15项B.第16项C.第17项D.第18项,此种类型的题目应该先找准r的值,然后再确定第几项。,注:,练习,.,3.(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等,则n为A.8B.9C.10D.114.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是()A.第2n+1项B.第2n+2项C.第2n项D第2n+1项或2n+2项5.若(a+b)n的展开式中,各项的二项式系数和为8192,则n的值为()A16B.15C.14D.13,A,A,D,.,.,.,(3)数学方法:赋值法、递推法,(1)二项式系数的三个性质,小结,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好,同时要注意“系数
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