人教版初中数学课标修订教材总体介绍

积极体现课标理念彰显教科书育人价值人教版初中数学教材认识与实践,新中国教育出版事业从这里开始,万新才人民教育出版社特聘讲师团成员,背景,新世纪我国基础教育课程改革借鉴、改革、创新、实践、调整如何形成“继承创新发展”的良性循环？“立德树人”是教育的根本任务育人目标是教育的核心目标数学教育育人目标的核心是学生的数学素养的提升。,义务教育数学课程标准（2011年版）在基本理念、课程设计思路、课程目标、内容标准、实施建议等方面都有变化四基基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验四能发现和提出问题的能力分析和解决问题的能力,从“双基”到“四基”：“双基”传统是我国数学教育的优势，应在课改中予以保持并赋予新意，而“基本思想”“基本活动经验”是数学素养的重要标志。可以把“四基”看作学生获得良好数学教育的集中体现。发现和提出问题的能力：将“解决问题”改为“问题解决”，是为了更加重视学生问题意识的培养，以及解决问题综合能力的培养。发现问题、提出问题的能力是学生数学问题意识的具体体现，是培养创新意识所需要的。,认真研读、深刻理解新课标的精神实质，积极体现其基本理念，从结构体系构建、学习素材选取、学习方法引导、探究过程设计、数学活动组织等方面彰显数学教科书的育人价值，是我们编写人教版义务教育教科书数学（七九年级）（以下简称修订版教科书）时考虑的主要问题。,人教版课标教材特点回顾教材修订的实际做法对教学的一些建议,报告提纲,一、人教版课标教材特点回顾,1.突出背景，强调本质，注重应用，使学生感到数学是自然的，水到渠成的，使教材具有“亲和力”,2.改进教材呈现方式，以恰时恰点的问题引导数学活动，体现学习方式的转变,3.强调基础性，坚持“四基”不动摇，为学生终身发展打好数学基础,4.重视数学思想方法，立足学生发展，提高教科书的“思想性”,5.加强不同领域内容之间的联系，突出教科书的联系性,6.体现数学的科学价值和文化内涵，反映数学在其它科学和文化进步中的作用,7.积极探索数学课程与信息技术的整合，适当体现信息技术的应用,8.体现层次性和选择性，将配套教材作为教材建设的有机组成部分,现代性-更新知识载体，渗透现代数学思想方法，引入信息技术实践性-联系社会实际，贴近生活实际探究性-创造条件，为学生提供自主活动、自主探索的机会，获取知识技能发展性-面向全体学生，满足不同学生发展需要趣味性-文字通俗，形式活泼，图文并茂，趣味直观,总之,课标教材特点,二、教材修订的实际做法,审查委员对教材的评价,送审的义务教育数学教科书，经审查认为符合教育部颁布的全日制义务教育数学课程标准（2011年版）的基本理念和总体要求。主要特色是：1.注重知识结构的合理性和科学性，在科学安排各章顺序（纵向联系）的同时，加强各章的横向联系，组成四大知识板块（“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”）的有机整体；2.数学概念和基本理论的表述比较准确，内容素材的选择比较贴近学生的生活实际，关注学生的认知规律，设计了丰富多样的关于综合与实践板块的栏目，努力做到激发学生兴趣，提高学生的数学素养；3.习题作了多层次安排，精心设计各章总结材料，利于教学,1.调整结构、增减内容，构建符合数学逻辑和学生心理的教科书体系合理的结构体系是教科书育人的载体，通过教科书的体系结构，学生可以看到数学世界是如何构成的，浩如烟海的数学知识是如何被选择和组织起来的。因此，教科书的体系结构构建，体现了教科书的育人价值。从各领域内容的前后顺序、内容之间的协调与配合，数学内容与相关学科内容的配合，学生的认知特点等角度，调整了不合理的内容顺序，构建更加符合数学逻辑和学生心理的教科书体系，以利于学生理解数学知识，形成数学能力。,一次函数后移，使学生学习函数的难点移后。二次函数提前，加强与一元二次方程的联系。反比例函数移后，便于学生理解涉及的一些物理等相关知识。一次二次负一次,二次根式提前，便于解决勾股定理中根式化简等问题。分式提前，体现与整式的联系，便于加强学生的运算能力。式的内容相对靠前。,全套教材编排顺序,除按照课程标准2011年版的内容标准增减内容外，降低难度、减轻负担也是本次修订考虑的一个重要方面，这也是教科书编写的“心理性”原则的体现。教科书采取了删除某些次要或繁琐的内容（如删去有理数中的“净胜球”问题）、将必学内容改为选学内容（如将“镶嵌”改为选学内容）、调整内容顺序（如将平移中的“造桥选址问题”后移到“最短路径问题”的课题学习中）、改变处理方式（如“有理数乘法法则”的处理）等措施，降低教科书的难度，突出学生学习的重点内容。,在教科书修订过程中，我们特别注意继承人民教育出版社半个多世纪编写教科书的宝贵经验，发扬教科书注重知识体系的合理性、强调数学基础的落实、注意数学的逻辑性要求等优良传统，同时充分重视初中学生的认知特点，对于核心的数学概念和重要的数学思想方法循序渐进地安排。在为学生铺设了合理、有效的认知台阶的同时，也为教师提供了明确的、指导性的教学设计思路。,例推理与证明的安排直观与推理的结合使推理成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，逐步养成严谨的思维习惯。推理论证不仅是证明或推翻猜想，也是发现新结论的重要手段。循序渐进“说点儿理”“说理”“简单推理”“符号表示推理”适时安排，起点早一以贯之,七上“几何图形初步”说点儿理七下“相交线与平行线”说理简单推理用符号表示推理八上“三角形”要求学生证明“全等三角形”“轴对称”八下“勾股定理”“平行四边形”九上“旋转”“圆”九下“相似”,一以贯之,循序渐进,处理好推理与证明的关键章节在“相交线与平行线”中，结合实例从“说理”到“简单推理”，并正式出现“证明”（让学生看到完整的证明，不要求学生完整证明，要求学生会填空完成一些关键步骤和填理由），注意循序渐进，推理的步骤控制好长度,正式出现“证明”之前，循序渐进给出严格的推理的符号语言在图5.1-2中，1与2互补，3也与2互补，由“同角的补角相等”，可以得出1=3同理，2=4这样，我们得到：对顶角相等上面推出“对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面的形式：因为1与2互补，3与2互补（邻补角的定义），所以1=3（同角的补角相等）,全等三角形中注意体现研究几何问题的思路（性质与判定，实验操作、猜想结论、证明结论）平行四边形中达到高峰,2.加强学习方法的引导，使学生逐步领悟数学研究的“基本套路”，加深对数学核心内容的理解在教科书编写过程中，我们特别注意挖掘数学核心知识蕴含的思维教育价值，加强学习方法的引导，以问题引导学习，使学生经历数学概念的概括过程、数学原理的抽象过程，从中体会数学的研究方法，领悟数学研究的“基本套路”。这有利于学生形成对数学的有一定深度的整体认识，从而体现数学教学的育人价值。,代数的核心运算和运算律解决问题的过程中，则要用代数工具去表示现实事物中的量（式），反映其中的关系（方程、函数）和变化过程（函数），将实际问题“代数化”后再加以解决。,对于“数与代数”的内容，从数的扩充、式的扩展、方程的丰富、到变量与函数的引入，教科书构建了一个从简单到复杂、从具体到抽象、从常量到变量的不断归纳提升的过程，体现了研究代数的基本方法归纳法。在内容展开过程中，充分注意“有理数”的基础地位和作用，在相关章节（有理数、实数、整式加减、整式乘除、分式、二次根式）的编写中，加强思想方法的引导，重视“数式通性”，将式的相关内容与数的概念、运算法则和运算律的类比。同时在小结中，阐述“从数到式”的研究内容和方法。,数式通性整式,对于“图形与几何”的内容，教科书则力求体现研究几何问题的基本思路、内容和一般方法。主要研究图形的性质和判定什么是性质组成要素（边、角）之间的关系（位置关系和数量关系）什么是判定组成要素需要具备的条件一般到特殊性质和判定的互逆关系,例如，对于平行四边形，教科书采用从一般到特殊的研究思路，即从平行四边形的边、角的特殊性，得到特殊的平行四边形矩形、菱形、正方形。从它们的组成要素（边、角、对角线）之间的位置和数量关系出发，研究它们的性质；从判定和性质的互逆关系，研究它们的判定方法等，教科书不仅在正文中呈现这样的过程，让学生参与到研究过程之中，而且在引言和小结中对这种研究方法给予引导和归纳总结，让学生体会其中的数学思想。,“平行四边形”的小结,统计是建立在数据的基础上的，本质上是对数据进行推断，统计的核心就是数据分析，而不是单纯的数字计算或绘图。教科书在呈现“统计与概率”的内容时，特别注意体现“通过统计数据探究规律”的归纳思想。注意结合解决具体实际问题的典型案例展开相关内容，并在每一章都安排实践性较强的“课题学习”，让学生在收集数据、整理数据、描述数据、分析数据的过程中体会数据中蕴含的信息，学会根据问题的背景选择合适的方法，通过数据分析体验数据的随机性。从而发展学生的数据分析观念，感受统计思想，逐步建立用数据说话的习惯。,3反映背景、重视过程、加强应用，使学生获得数学的基本思想使学生获得数学的基本思想是数学课程的重要目标，也是提升学生数学素养的重要标志。数学思想是数学学科发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓。概念和原理的引入强调它的现实背景或数学理论发展的背景，让学生感到知识的发展是自然而水到渠成的；以问题引导学习，使学生经历数学概念的概括过程、数学原理的抽象过程，从中体会数学的研究方法；通过解决具有真实背景的问题，让学生感受数学与生活及其他学科的联系，体现数学的模型思想，发展学生的应用意识。,例整式的加减的处理1用字母表示数，列式表示数量关系，以列式问题为素材引出有关概念：2结合列式问题中的化简，引出同类项的概念，类比数的运算律引出合并同类项的法则，通过合并同类项进行式子化简.3结合列式问题中的化简，引出去括号的问题，类比数的运算律得到去括号的法则；通过去括号，进行式子化简.4归纳出整式加减法的运算法则.,一元一次方程的处理,4发挥章引言的“先行组织者”和章小结的“概括提升”作用，体现知识的整体性引言是全章起始的序曲，是全章内容的引导性材料。好的引言，对于激发学习兴趣、加强基本思想教学、培养发现和提出问题的能力等都有重要作用。为更好地发挥章引言的作用，修订版教科书着重从本章内容的引入、本章内容的概述、本章方法的引导等角度组织相关内容。在具体处理中，不追求“实际问题数学问题”的单一模式，而是结合具体内容以自然的方式引入。,平行四边形章引言,小结是对全章内容的梳理，是对本章内容所反映的主要思想方法归纳概括。修订版教科书的章小结除保留了实验版教科书中的“本章知识结构图”和“回顾与思考”的问题之外，又新加了“概述”内容，对本章的核心知识内容及其中包含的数学思想方法等作了言简意赅的归纳概括，帮助学生对所学内容进行“去粗取精，由厚到薄”的提炼，使其对这章内容的认识有新的提升。,例：“整式的乘法与因式分解”小结本章我们类比数的乘法学习了整式的乘法整式的乘法主要包括幂的运算性质、单项式的乘法、多项式的乘法等利用除法是乘法的逆运算，学习了简单的整式除法并学习了因式分解这种与整式的乘法相反方向的变形它们都是进一步学习的重要基础由于整式中的字母表示数，因此数的运算律和运算性质在整式的运算中仍然成立在整式的乘法中，多项式的乘法要利用分配律转化为单项式的乘法，而单项式的乘法又要利用交换律和结合律转化为幂的运算因此，幂的运算是基础，单项式的乘法是关键整式的除法也与此类似,因式分解是与整式的乘法方向相反的变形整式的乘法是把几个整式相乘，得到一个新的整式；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘知道了这种关系，不仅有助于理解因式分解的意义，而且也可以把整式乘法的过程反过来，得到分解因式的方法某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成乘法公式的形式，利用它们可以简化运算把乘法公式等号两边交换位置，就得到了分解因式的相应公式,5加强探究、重视“综合与实践”，积累数学活动经验、培养创新意识修订版教科书非常重视学生创新意识的培养，在内容的呈现上努力体现数学思维规律，倡导探究式学习，给学生一条观察事物（情景）、发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的线索。教科书从知识内容的发展脉络、核心概念、思想方法、学习过程等方面考虑，在一些关节点上设置“思考”“探究”“归纳”等栏目，使他们通过观察、实验、比较、归纳、猜想、推理、反思等理性思维活动，促使学生领悟数学的本质，提高数学思维能力，积累数学活动经验，培养创新意识。,例：三角形全等条件的研究思路,教科书编写时，我们还注意了探究的层次性，使操作性活动、思考性活动顺次安排，并注意根据学生年级的提高、知识储备的增加、学习经验的丰富，不断加强“探究”的理性思维成分，提高探究的层次。低年级的探究侧重在通过观察、实验发现结论上；高年级的探究则侧重在利用已有的数学概念、结论探究一些解决问题的策略上。,“平行四边形的判定”的处理思考通过前面的学习，我们知道，平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分。反过来，对边相等、对角相等、对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？也就是说，平行四边形性质定理的逆命题成立吗？可以证明，逆命题成立，这样我们得到平行四边形的判定定理：下面我们以对角线互相平分为例来进行证明。平行四边形的判定定理与平行四边形的性质定理互为逆定理，也就是说，当条件与结论互换以后，所得命题仍然成立。思考我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形。如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时四边形是平行四边形呢？,原来的做法讨论性质时，k0和k0的情况同时出现。现在的做法为层次清楚，按照k0和k0“分类”讨论性质，突出与一次函数性质研究方法的类比。k0时：描点画图观察图象归纳性质（增减性）回到解析式解释。k0时：学生自己探究。不讨论对称等几何性质。,还注意呈现合理的探究过程例：反比例函数性质的讨论,“综合与实践”是培养创新意识的重要载体，教科书以“课题学习”和“数学活动”的形式安排这部分内容。本次修订，我们重新检查了实验版教科书中原有的“课题学习”和“数学活动”，考察这些内容“是否有活动性、综合性、探究性？”“与哪些数学知识的联系最密切？”“是否便于实施？”“有无更好的数学活动内容和方式？”等问题，对原有内容作了适当的增删替换，希望它们切实发挥帮助学生积累基本数学活动经验的作用，给学生自己发现和提出问题、独立思考、归纳猜想等提供更大的空间。,最短路径问题,修订版教科书还更换或删除了一些数学活动，更加注重让学生参与活动的全过程，在过程中动手、动口、动脑，以积累数学活动经验。在教师教学用书中，还对教学中如何开展数学活动提出明确具体的要求。,一般地，“数学活动”的教学要安排如下几个环节：（1）活动内容的选择；（2）活动的展开过程（要注意学生参与方式的设计，多使用动手实践、自主探究、合作交流等方式）；（3）活动过程和结果的展示与评价。,明确问题，设计账本,明确“活动1”中的关键词，如“收”“支”“总收入”“总支出”“总节余”“每日平均支出”“当月”等；明确完成这个活动要用的数学知识，主要是“有理数及其运算”。讨论制作账本的方法，如用表格记录的话，表格中应当包含哪些项目。,实施方案，记录数据在这个阶段，学生要按照前面设计的方案，将收支数据详实地记录到账本中。展示交流，总结评价这一环节可以有多种组织方式。安排这个环节的目的是给学生一个表达、展示、交流的机会，分享活动成果和收获的同时，教师可以了解学生在活动中数学应用能力的发展状况，也可以看出学生的数学学习态度。在展示交流中，要注意引导学生对数学活动过程进行全面反思。,6努力构建较为完善的训练系统例题定位典型性、示范性习题的定位为教科书构建训练系统练习、习题就是给人做的内容，练习、习题、复习题构成了教科书的训练系统。要经过循序渐进的训练，使学生达到对内容理解的逐步深入，双基的落实，能力的提高。正文、习题是一个整体，习题是正文的自然延续，是通过训练帮助学生理解正文内容的。例习题整体考虑，加强基础题，注意题量、梯度。教科书的习题与中考题的定位不同，但教科书的习题可以兼顾中考（越往后可以兼顾的内容越多），但绝不等同于中考题，注意了对中考题进行加工和改造，以训练本节（章）的核心知识。,三、对教学的一些建议,把整个学段看作一个整体理解数学是教好数学的前提提高教材研究的水平重视概念教学加强研究方法的引导，提高课堂教学的思想性提好的问题，设计自然的教学过程,教材的编写者为了照顾到全国不同地区学生的水平，把数学课本中知识的难度台阶设置的很小，便于学生循序渐进的学习教师如果按照课本的顺序讲，学生学起来可能比较容易，但用的时间多，教学效率低，不利于培养学生的探究精神和创新能力如果把一章的内容整合起来，引导学生寻找内在的规律，就可以大大提高课堂教学的效率，节省教学的时间,1.把整个学段看作一个整体,2.“理解数学”是教好数学的前提理解数学就是要了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，把握概念的多元联系表示，挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观资源。理解教学内容，弄清“是什么”；理解教学内容之间的联系，在概念体系中认识核心概念；理解教学内容所反映的思想方法。,例直觉的误导,有一张8cm8cm的正方形的纸片，面积是64cm2。把这张纸片按图24-1所示剪开，把剪出的4个小块按图24-2所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，面积是65cm2。这是可能的吗？图24-1图24-2说明这是一个直觉与逻辑不符的例子，希望学生通过学习体会到：对于数学的结论，完全凭借直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。,一般来说，学生应当是不会相信图25-2中纸片的面积是65cm2，但又无法说明为什么观察的结果是错误的。进一步引导学生思考，如果观察是错误的，那么错误可能出在哪里呢？学生通过逻辑思考，可以推断只有一个可能：图25-2中纸片所示图形不是长方形，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积。然后，可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角，发现确实不像是直角。可以告诉学生，这个想法是正确的，但最好能够给出证明，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。在实际教学中可以引导学生先看图、再让学生分组将图剪开，动手操作发现矛盾（64=65？）。然后，尝试找出理由并尝试证明，最后表达收获。,74,75,设计的数学活动，综合与实践；积累思考的活动经验传授数学推理的思想,例：概率教学中的一些错误理解必然事件与概率为1等价，不可能事件与概率为0等价，随机事件的概率大于0而小于1。频率的稳定值就是概率的估计值。随着试验次数的增加，频率就越来越接近于概率。用频率估计概率，一定要大量重复试验。例：0.9991？,例：总体与个体的定义学校要了解七年级学生的身高情况，进行抽样调查，总体是（）。(A)全校学生(B)全校学生的身高(C)七年级所有学生(D)七年级所有学生的身高,中国大百科全书数学“总体又称母体，是一个统计问题所研究的对象的全体，总体中的每一个单元成员称为个体。例如，研究工厂生产的某种产品质量时，该工厂的全体这种产品是总体，每件这种产品是个体；为治理某一江水的污染问题，以500毫升水为单位进行各种化验，这条江的江水是总体，每500毫升的水是个体。”“为了进行统计推断，需要对总体给出数学描述，一般的统计问题中只涉及个体的一个或几个数量指标，因此数学上常把个体的数量指标X（一维的或多维的）取值的全体作为总体，指标值x为个体。”每一种说法中，总体与个体是按照同一解释界定的。虽然两种说法不尽相同，但是前者所说的总体、个体与后者所说的总体、个体之间存在一一对应关系，这就是说两者所反映的总体和个体的从属关系是完全一致的。两者仅有说法上的差别，而本质相同，它们并不矛盾。,机会的数学陈希孺部分推断整体的特点，在抽样调查中看得很清楚。一个群体（人群或任何同类对象，如工厂、学校等由个体组成的集体），在统计学上称为总体（母体）。我们所要了解的，是该群体作为一个整体的某项指标或性质。典型的例子是上一节所讲的一省农民的平均收入，这个“平均收入”是一个整体性质，用统计学的语言说，是一个总体指标。我们抽取该省一部分农民在统计学上称为样本或子样，所抽出的农民人数称为样本量做调查而有关总体指标（即全省农民平均收入）的结论，即依这一部分的情况做出。,把所有研究对象作为总体，每一研究对象作为个体，能简明地反映调查范围及总体与个体的从属关系。在调查多种数量指标的问题中，用全体研究对象作为总体，每一研究对象作为个体，对应于不同个体取多维数量指标值，表达更方便、简明和清晰。直接把所有研究对象的数量指标取值作为总体，可以强调调查目的，而且对导出总体的分布的表述也比较自然。在总体和个体的概念上，重点是它们之间的从属关系，而不在于不影响这种关系的的定义方式上。很多概念不必过度挖掘，只要学生明白其基本意义就可以，过分强调非本质的表述，可能导致重点的偏离。,教材的呈现,例：“数轴”的内容解析数轴是初中数学的核心概念，它是数形结合思想的产物，是把数和形统一起来的第一次尝试数轴建立了直线上的点与实数的对应，是一维的坐标系数轴使数的概念和运算可以与位置、方向、距离等统一起来，使数有了直观意义这不仅有助于对数的概念的理解，而且还可以从中得到启发而提出新的问题（例如，相反数、绝对值、大小比较等）用数轴上的点表示实数，就是要使任意一个实数能用唯一确定的点表示，同时，任意一个点只能表示一个实数（这样要求的意义需要学生逐渐体会）在这样的要求下，明确规定原点、方向和单位长度“三要素”是必须而且自然的这时，我们有原点0（原点是区分方向的“基准”，0是区分正负的基准）单位长度1（单位长度是度量线段长度的单位，1是实数单位，“单位”实际上给出了一个统一的标准）方向符号（A，B两点“位置差别”的定量化必须且只需“方向”和“长度”数轴上，方向只有“左”“右”两种，可以理解为“相反方向”负数在数轴上与正数具有“相反方向”，其实际意义就是描述现实中的“相反意义的量”确定一个实数，需要“符号”和“绝对值”两个要素，它们正好对应了定量化定义A，B两点“位置差别”的“方向”和“长度”）,3.提高研究教材的水平,仔细分析教材编写意图：教材中的每一句话都是经过仔细推敲的，教材中的例题是经过反复打磨的，习题是经过精挑细选的。内容顺序不应随意调整；例子不是不可以换，但换的时候要想清楚理由。,例：负数的引入,例：等腰三角形在轴对称之后研究,例：“数轴”中的三个图三次抽象的过程,4.重视概念教学,概念教学的核心概括（同类事物的共同本质特征）概括是形成和掌握概念的前提；迁移的实质就是概括；概括是一切思维品质的基础；概括能力是思维能力的基础。“举三反一”与“举一反三”举三反一分化用典型、丰富的具体事例，分析、综合、比较而概括出共同本质属性；举一反三类化把共同本质属性推广到同类事物中。,概念教学的基本环节,概念的引入从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；概念的形成提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；概念的明确与表示下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；概念的辨析以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；概念的巩固应用用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；概念的“精致”纳入概念系统，建立与相关概念的联系。,例：反比例函数概念的教学,匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；让学生概括共同本质特征（函数关系，反比例关系）；下定义给出反比例函数的文字和符号描述；辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用，如让学生思考函数y=1/x2是不是反比例函数；例题用概念作判断的“操作步骤”，强调“自变量x与相应的函数值y是否成反比例关系”，可以用反例让学生分析，使学生进一步明确“求反比例函数”的含义；通过与一般函数概念、正比例函数概念等比较，进一步明确反比例函数反映了“一类事物”的变化规律，使学生逐步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。,关于概念教学的一些要求,（1）采取“归纳式”进行概念教学，让学生经历概念的概括过程；（2）正确、充分地提供概念的变式；（3）适当应用反例；（4）在概念的系统中学习概念，建立概念的“多元联系表示”；（5）精心设计练习，巩固应用概念。,加强数学教学的思想性，是体现数学的育人价值的需要，也是教改对教学的整体要求，同时有利于学生形成对数学的整体性认识。不要把数学教学蜕化为“解题教学”。提高思想性的做法加强“先行组织者”的使用,加强研究方法的指导。加强过程性。教学内容的呈现要体现数学思维规律，引导学生积极探索，通过“观察、实验、比较、归纳、猜想、推理、反思”等理性思维活动，展示数学概念、结论的形成过程，促使学生领悟数学的本质，提高学生的数学思维能力。,5.加强研究方法的引导，提高课堂教学的思想性,例：如何研究平行四边形,研究的问题一般四边形：组成元素、度量（内角和等问题）；特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；边的特殊平行四边形：性质和判定；“性质”研究的是在“平行四边形”的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；“判定”研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；角的特殊矩形，边的特殊菱形，边角都特殊正方形，都要研究性质和判定。研究的方法化归为三角形、平行线等已有知识。特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形直角三角形；菱形等腰三角形。,例：类比的研究问题函数的研究正比例函数一次函数二次函数反比例函数概念体现概念教学的一般过程研究内容：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性研究方法：画函数图象，观察归纳，数形结合等。相关的问题：图象与坐标轴的交点、何时函数值大于零或小于零等。函数性质的讨论三步曲观察图象，描述变化规律（上升、下降）结合图、表，用自然语言描述变化规律（y随x的增大而增大或减小）用数学符号语言描述变化规律,反比例函数的图象与性质先行组织者的应用通常的做法：回顾正比例函数的图象和性质，并列出表格，列出解析式、形状、位置、图象趋势、增减性等，接下来类比这些内容研究反比例函数的图象和性质。先行组织者策略：要研究反比例函数的图象与性质，首先思考我们研究过哪些函数的图象和性质？是怎么研究的？要研究那些问题？研究的方法是什么？,例：平方差公式公式教学的一般过程一般到特殊的思想方法探究计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）；（2）；（3）上面的几个运算都是形如（ab）的多项式与形如（ab）的多项式相乘，由于因此，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差这个公式叫做（乘法的）平方差公式,平方差公式是多项式乘法（ab）（mn）中ma，nb的特殊情形,学会从“数”与“形”两个角度认识数学数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。,“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图象、曲线等,数缺形时少直觉，形缺数时难入微,数形结合思想：,例如，若每两人握一次手，则3个人共握几次手，4个人共握几次手，n个人共握几次手？用归纳的方法探索规律，如下表:,人数握手次数规律211331+2461+2+3n1+2+3+(n-1),A1,A2,A3,AN,对于七、八年级的学生来说，要发现“1+2+3+(n-1)”这个规律并不容易，计算1+2+3+(n-1)得到1/2n（n-1）也有困难。但是，如果把“人”抽象成“点”，“两人握1次手”抽象成“两点之间连接一条线段”，那么借助图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于n点中的任何一个点，它与其它的（n-1）个点共可连接（n-1）条线段，因而n个点共可连接n（n-1）条线段。因为两点之间有且只有一条线段（线段AB与线段BA是同一条线段），所以共可连接1/2n（n-1）条线段。,6、提好的问题，设计自然的教学过程,问题引导学习提好的问题，有意义、适度、恰时恰点设计自然的过程体现数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数学知识的认识过程。核心是引导学生自己概括出数学的本质，使学生在数学学习过程中保持高水平的数学思维活动。,案例勾股定理,师：请同学们自己动手画两个直角三角形，它们的两条直角边分别是3cm、4cm；5cm、12cm。再量一下它们的斜边各是多少？此时，学生议论纷纷，各报出自己量得的答案：5cm、13.1cm、4.9cm、12.9cm师：不对！量出不是5cm和13cm的同学再画一画，仔细量一量。（直到每一个学生都承认5cm和13cm为止，教师硬是将自己的结果强加给学生）。,师：从这两个直角三角形三边的具体数据中，你能发现它们之间有什么关系吗？生：此时，教室一片沉静，学生不知从何想起，（勾股定理是这么容易被发现的吗？）教师陷入尴尬地步。忽然，有一个学生举手要求发言，这位教师眼睛一亮，赶忙叫他。师：你发现了什么？生：老师，我发现5+4=32，12+13=52，我的结论是：在直角三角形中，较长的直角边与斜边的和等于较短的直角边的平方。（多好的发现！）,如何当好设计者、组织者、引导者与合作者。以上面案例“勾股定理”为例：,人类总想弄清楚其他星球上是否存在“人”类，并试图与他们取得联系，由于文字和语言都不通，怎样进行第一次接触呢？数学家曾建议用“勾股定理”的图形作为与外星人交流的试探符号。可见勾股定理的重要性与通俗性。勾股定理是我国劳动人民最早（公元前100多年）发现的，在周髀算经中记载的有“勾三股四弦五”一说。勾股定理反映的是直角三角形的三边之间的关系，三边之间存在什么关系呢？我们一起来探讨：,（1）（特殊化）将四个等腰（长为1）直角三角板，拼成正方形，其面积为2。（设斜边x,x=1+1）（2）在方格纸上作两直角边为10cm、15cm的Rt，量斜边长（18+cm）（325=10+15，18=324）（3）联系勾三股四弦五,猜想a+b=c。（4）证明：（辅助线的引导，证明略）我认为这种方式既体现了新课标的理念：情境、探究、体验、过程），实质上是在教师“控”“引”下的“半开放”的探究。,课堂如战场，也是瞬息即变的，常常会发生许多你意想不到，始料未及的事件。这时，教师的临堂发挥及时应变的能力很重要。如前面案例所说明勾股定理的探究时，学生得出3=4+5，5=12+13；7=24+25。老师不能“慌堂”，更不能否定学生的结论。这一是扼杀了学生的思维的积极性，甚至学习数学的热情；二是暴露了教师的功底和应变能力。,这时老师应该说，“很不错，你发现了小数的平方等于两个大数之和，能进一步观察两个大数之间的关系吗？它们的差为多少？这样必然不难得到：设三角形的三边之长分别为a,b,c,且abc,c-b=1。a=(b+c)1=(b+c)(c-b)=c-b，这不就是我们所需要的结果吗！这就是“引导者”与“合作者”的作用，既鼓励了学生，又成功地挽救“课堂”，一举多得。这当然需要教师在教学上的聪明才智和平常的丰厚的积淀。,好的问题的关键是要引导学生独立思考,思维需要合适的问题情境；让学生完成关键的概括活动；要面向全体学生；要暴露学生的思维过程。独立思考需要安静的环境和充分的时间。,例如：平面直角坐标系一节时，在课上有意识地提出了三个问题：（1）如果向东走3米记作3，则向东走5米记作（2）如果向东走3米接着左转向北走2米如何标记终点与起点的关系？（3）谁能找出更多的只用数轴不能表示出位置关系的生活问题？学生通过观察思考，会提出大理属于自己的问题不但有课本举例中的温度变化和找座位的问题，想确定教室内电扇、电灯、窗格、地板砖位置，课本中某个字的位置，生活小区中两楼之间的位置等等由此可知，只要给学生提供机会，学生定会发散思维，参照大量的问题，提出自己的观点，还你一个惊喜,例：不等式的性质的引入不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发。（先行组织者）你能回忆一下等式的基本性质吗？等式的基本性质的实质是什么？（“运算中的不变性”）类似的，不等式有哪些基本性质呢？尝试、验证、归纳。,例：相似三角形判定,例“数轴”的教学过程设计,1问题情境下的三次概括问题1在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东3和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境师生活动：学生小组讨论解决问题的方法，学生代表画图演示学生画图后提问：（1）马路可以用什么几何图形代