概率论与数理统计 习题

.,概率论与数理统计典型习题讲解,中国人民大学统计学院李因果liyinguoruc,.,第一章随机事件与概率,.,1.2随机事件的概率,.,.,.,.,1.3古典概型与几何概型,一.古典概型,.,.,1.4条件概率,.,例2一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,设A-从盒中随机取到一只红球.B-从盒中随机取到一只新球.,A,B,.,.,.,.,例3盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,.,例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,B,.,例6商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,由Bayes公式:,.,二.有限个事件的独立性,.,.,.,第二章随机变量的分布与数字特征,2.1随机变量及其分布,一.随机变量的概念,由第一章可知:随机试验具有:(1)结果的不确定性;(2)结果往往表现为数量形式,或可以“数量化”.,.,.,.,.,分布函数的性质,1、单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);2、归一性：对任意实数x，0F(x)1，且,3、右连续性：对任意实数x，,反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。,.,一般地，对离散型随机变量XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为,离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应值的概率;反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型.,.,X,P,四.离散型随机变量的分布函数,.,.,五.连续型随机变量及其概率密度,.,.,.,.,1.均匀分布若Xf(x),则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作XU(a,b),对任意实数c,d(acd0的指数分布。其分布函数为,.,例.电子元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？,解,.,.,2.2随机变量的数字特征一.离散型随机变量的数字特征,.,二.连续型随机变量的数学期望,.,.,.,连续型随机变量函数的密度函数,1、一般方法若Xf(x),-x+,Y=g(X)为随机变量X的函数，则可先求Y的分布函数FY(y)PYyPg(X)y,然后再求Y的密度函数,此法也叫“分布函数法”,.,2、公式法一般地若XfX(x),y=g(x)是单调可导函数，则,注：1只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。2注意定义域的选择,其中h(y)为yg(x)的反函数.,.,例设XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a0),解:Y=ax+b关于x严单,反函数为,故,而,故,.,设随机变量X服从0，2均匀分布，求Y=sin(X)的概率密度。,注3若XfX(x)，y=g(x)关于X分段严格单调，且在第i个单调区间上，反函数为hi(y),则Y=g(X）的概率密度为,EX,.,四.数学期望的性质,.,.,方差与标准差的定义,方差的算术平方根称为标准差,方差的计算式:D(X)=E(X2)-E(X)2,.,.,.,.,说明:,1.切贝谢夫不等式成立的条件是:,存在.,2.切贝谢夫不等式给出了随机变量的离差的绝对值与其方差DX的关系.,方差DX越小,随机变量X与其期望EX的,离差也越小.,EX的代表性强.,.,2.3常用的离散型分布,四.二项分布,.,对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.,当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p达到最大值；,(x表示不超过x的最大整数),二项分布,请看演示,.,.,.,2.4常见的连续型分布,一.均匀分布,二.指数分布,.,指数分布常用于描述各种“寿命”.,.,.,三.正态分布,.,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布的图形特点,.,.,.,.,2.5随机变量的函数的分布,例如:已知离散型随机变量X的概率分布为:,X,P,0.10.30.40.2,Y=2X+3,-5-3-11,P,0.10.30.40.2,014,P0.30.50.2,.,例1,.,例1,.,例1,.,例1,.,例1,.,例2,.,例2,.,例2,.,例2,.,例3,.,例3,.,例3,.,例4,.,例5（2010数学一、三）,.,例6（2010数学一、三）,.,例7（2010数学一、三）,.,例8（2010数学一、三）,.,例8（2010数学一、三）,.,例8（2010数学一、三）,.,例9（2009数学一、三）,.,例10（2009数学一、三）,.,例11（2009数学一、三）,.,例11（2009数学一、三）,.,例12（2009数学一、三）,.,例12（2009数学一、三）,.,例13（2009数学一、三）,.,例13（2009数学一、三）,.,.,例14（2008数