河北省衡水中学2019届高三下学期大联考卷Ⅱ 文科数学（ PDF版含答案）

姓名 准考证号 绝密启用前 文科数学试题 第1页( 共4页)文科数学试题 第2页( 共4页) 2 0 1 9年全国高三统一联合考试 文科数学 本试卷4页, 2 3小题, 满分1 5 0分。考试时间1 2 0分钟。 注意事项: 1.答题前, 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成, 答在本试题上无效。 3.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案用0. 5mm黑色笔迹 签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题: 本题共1 2小题, 每小题5分, 共6 0分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的. 1.设方程x 2= 2 x 的解集为A, 不等式6-3x0的解集为B, 则AB= A. -2, 2B. -2 C. x|xb0) 的左、 右焦点, 点P在椭圆C上, 且|P F1|= 3 |P F2|, 若线段P F1的中点恰在y轴上, 则椭圆的离心率为 A. 3 3 B. 3 6 C. 2 2 D. 1 2 6.在A B C中, 点O为A B C的重心, 设A B = a,A C = b, 则B O = A. 1 3 a+1 3 bB. -2 3 a+1 3 bC. 1 3 a+2 3 bD. 2 3 a+1 3 b 7.若函数f(x)= x 2+ a(x+1)+1 x 为奇函数, 则曲线y=f( x) 在x=1 2处的切线方程为 A.y=5x+5 B.y=5x C.y=-3x+4 D.y=-3x+1 8.古希腊人早在公元前就知道, 七弦琴发出不同的声音, 是由于弦 长度的不同.数学家傅里叶( 公元1 7 6 8年1 8 3 0年) 关于三角函 数的研究 告 诉 我 们: 人 类 的 声 音, 小 提 琴 的 奏 鸣, 动 物 的 叫 声 都可以归结为一些简单声音的组合, 而简单声音是可以 用三角函数描述的.已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的三角函数图像, 图像的解析式 是f( x)=As i n( x+) (0,00) 上, 证明k1. ( 2) 如图, 封闭曲线M是由抛物线C1与椭圆C2: x 2 4 +y 2 3 =1 围成的, C,D为M上关于x轴对称的不同两点,O为坐标原点, 试求O C D面积的最 大值. 2 1. ( 1 2分) 已知函数f( x)=e x- al nx+e 2. ( 1) 若x=2是f(x) 的极值点, 求a的值, 并求f(x) 的单调区间; ( 2) 证明: 当e 0, 解得x2, 则B=x|x3.8 4 1, 所以有9 5% 以上的把握认为大学生喜欢自主创业与性格外向有关. 故选D. 4.D 【 解析】选项A, 由条件得a或a, 所以错误; 选项B, 由条件得ab或a,b异面, 所以错误; 选项C, 由条件得a,b的位置关系平行、 相交、 异面都有可能, 所 以错误; 选项D, 是线面垂直的性质定理.故选D. 5.C 【 解析】由定义得|P F1|+|P F2|=2a, 又|P F1|= 3 |P F2|, 所以|P F2|=a 2 , |P F1|=3 a 2 .因为线段P F1 的中点在y轴上,O为F1F2的中点, 由三角形中位线平 行于 底 边, 得P F2F1=9 0 , 所 以 a 2 () 2 +(2c) 2 = 3a 2 () 2 , 所以a= 2c, 所以e= 2 2 .故选C. 6.B 【 解析】因 为 点O为AB C的 重 心 , 设 点D为 边AC的 中 点 , 所 以B O =2 3BD =2 3 (AD -AB) = 2 3 1 2b- a ()=- 2 3a+ 1 3b. 故选B. 7.C 【 解析】由函数f(x)=x 2+a( x+1)+1 x 为奇函数, 可得a=0, 所 以f(x)=x 2+1 x =x+ 1 x ,x0, f 1 2 ()= 5 2 , 所以切点坐标为 1 2 , 5 2 (). 由 f ( x)=1- 1 x 2, 得切线的斜率k= f 1 2 ()=-3, 所以所求切线方 程为y- 5 2 =-3x- 1 2 () , 即y=-3x+4.故选C. 8.C 【 解析】由题图知, 函数f(x) 的周期T= 21 1 1 2- 7 1 2 ()= 2 3 , 所以2 =2 3 , = 3 .把 7 1 2, 0 () 代入f(x)=As i n( x+ ) , 得As i n37 1 2+ ()=0, 所以s i n 7 4 + ()=0, 所以 7 4 +=k(kZ).又0n-2.1 2分 1 8. ( 1) 证明: 在直三棱柱A B C - A1B1C1中, 因为A B C为直角, 所以A BB C, 又平面B C C1B1 平面A B C=B C, 所以A B平面B C C1B1.因为B1D 平面B C C1B1, 所以A BB1D. 2分 在矩形B C C1B1中, 因为D为C C1的中点,B C=2, C C1=4, 所以B D2+B1D2=B B21, 所以B1DB D. 又因为A B,B D平面A B D,A BB D=B, 所以B1D平面A B D. 4分 又因为B1D平面A1B1D, 所以平面A1B1D平面A B D. 6分 ( 2) 解: 在直三棱柱A B C - A1B1C1中, 因为A1B1A B, 所以B A C就是异面直线A1B1与A C所成的角或其 补角. 因为A B C为直角,B C=2, 异面直线A1B1与A C所 成的角的正弦值是2 1 3 1 3 , 所以A B=3. 8分 在直三棱柱A B C - A1B1C1中, 点D到 平 面A B B1A1的 距 离 等 于 点C到 平 面 A B B1A1的距离,1 0分 则VB - A 1A D=VD - A B A1= 1 3 1 2 342=4, 所以三棱 锥B - A1AD的体积为4. 1 2分 1 9.解: (1) 样本的频率分布表如下: 视力范围4. 0,4.3) 4.3,4.6) 4.6,4.9) 4. 9,5.2 频数 2378 频率 0.10.1 50.3 50.4 3分 频率分布直方图如图: 6分 ( 2) 这2 0人中正常视力的学生有8人, 设从这8人中随 机抽取2人且都符合视力要求为事件A, 符合视力要 求的4人编号为1,2,3,4, 其他4人为a,b,c,d, 则从 正常视力的学生8人中随机抽取2人的基本事件为 1 2,1 3,1 4,1a,1b,1c,1d,2 3,2 4,2a,2b,2c,2d,3 4,3a, 3b,3c,3d,4a,4b,4c,4d,a b,a c,a d,b c,b d,c d, 共 2 8个, 事件A包含的基本事件的个数为6, 1 0分 根据古典概型得P(A)= 6 2 8= 3 1 4, 2 2 0 1 9年全国高三统一联合考试 文科数学 所以这2人都符合视力要求的概率为 3 1 4. 1 2分 2 0. ( 1) 证明: ( 方法一) 根据线段A B的中点在x= 1(y 0) 上, 可设A(x1, y1) ,B(x2,y2) ,A B的中点坐标为(1,t) (t 0) , 则斜率为k的直线l的方程为y-t=k(x-1) (k0). 与抛物线方程联立, 即 y=k x+t-k, y 2=4 x, 消去x得k 4y 2-y+ t-k=0.2分 因为直线l与抛物线有两个不同交点, 所以=1-4 k 4 ( t-k)=1-k t+k 20, y1+y2= 4 k . 又线段A B的中点为(1, t) , 所以x1+x2=2,y1+y2= 2t.4分 所以2t=4 k , t= 2 k .因为t0, 所以k0. 将t=2 k 代入1-k t+k 20, 得k21, 所以k1. 6分 ( 方法二) 同方法一得t=2 k . 因为线段A B的中点坐标为(1,t) (t0) 在抛物线内, 则0t2, 所以00) 上, 可设中点坐标 为(1, t) (t0) , 点A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 y 2 1=4x1, y 2 2=4x2, -得(y2-y1) (y2+y1)=4(x2-x1) , 则y 2-y1 x2-x1= 4 y2+y1. 由题意, x1x2,y1+y20, 又线段A B的中点为(1,t) , 则x1+x2=2, y1+y2= 2t, 所以k= 2 t , 即t=2 k . 因为线段A B的中点(1,t) (t0) 在抛物线内, 则0 t2, 所以01.6分 ( 2) 解: 联立 y 2=4 x, x 2 4 + y 2 3 =1, 可得抛物线与椭圆在y轴右 侧的交点坐标为( 2 3 , 2 6 3 ) ,( 2 3 ,-2 6 3 ) , 根据图像 可知曲线M关于x轴对称, 设C(x3, y3) ,D(x3,-y3) ( 不妨设y30) , 则O C D的面积S=x3y3. 7分 设O C所在的直线方程为y=k x(k0) , 按点C的位 置分两种情况: 当C(x3,y3) 在抛物线弧y 2=4 x0x 2 3 () 上时, 联立 y=k x(k 6) , y 2=4 x0x 2 3 () , 得C 4 k 2, 4 k () , 故O C D的面积S=x3y3=1 6 k 3( k 6) , 所以0S4 6 9 ; 9分 当C(x3,y3) 在椭圆弧 x 2 4+ y 2 3= 1 2 3 x 2 () 上时, 联 立 y=k x(0k 6) , x 2 4 + y 2 3 =1 2 3 x2 () , 得x3= 2 3 4k 2+3, y3= 2 3k 4k 2+3, 故S=x3y3= 1 2k 4k 2+3= 1 2 4k+ 3 k ( 0k0, 所以函数y= f ( x) 在区间(0,+) 内单调递增. 结合 f ( 2)=0, 得当x(0,2) 时, f ( x) 0 . 故f(x) 的单调递减区间为(0,2) , 单 调递 增区 间 为 (2,+). 4分 ( 2) 证明: f ( x)=e x-a x . 令(x)= e x-a x , 则当e a 0, 3 文科数学 参考答案及解析 即函数y= f ( x) 在区间(0,+) 内单调递增. 因为e a2 e 2, 所以 f ( 1)=e -ae 2-e2=0. 6分 所以m(1,2) , 使得 f (m)=0. 当x(0,m) 时, f ( x)0,f(x) 单调递增. 所以f(x) m i n=f(m)=e m-a l nm+e 2. 由e 0 , 所以函数y=h (m) 在区间(1,2) 内单调递增, h (m)h(2)= e 2-2 e2 l n2+e 2=2 e2( 1- l n2)0. 所以f(x)0. 1 2分 2 2.解: (1) 已知直线l的参数方程为c o s+s i n- 4 = 0, 将c o s=x, s i n=y 代入直线l的参数方程, 得 x+y-4=0, 所以直线l的直角坐标方程为x+y-4=0. 2分 已知曲线C的方程为(x-1) 2+( y-1) 2=1, 将 2=x2+y2, c o s=x,s i n=y代入上式, 得曲线C的极坐标方程为 2- 2 c o s- 2s i n+ 1 = 0 . 5分 ( 2) ( 方法一) 设曲线C上的点P(1+c o s,1+s i n) , 则点P到直线l的距离d=| 1 + c o s + 1 + s i n-4 | 2 = |(s i n+c o s)-2 | 2 = s i n+ 4 ()- 2 . 当s i n+ 4 ()=1时, dm i n= 2-1, 所以曲线C上的点到直线l的距离的最小值为2-1. 1 0分 ( 方法二) 因为曲线C的圆心(1,1) 到直线l:x+y-4= 0的距离d= | 1 + 1 - 4 | 2 = 21=r, 则直线l与曲线C相离, 所以曲线C上的点到直线l 的距离的最小值等于d减去半径长, 即曲线C上的点到直线l