2014-2018年五年真题分类第十章圆锥曲线与方程

第十章 圆锥曲线考点1 椭圆1（2018全国，12）已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则C的离心率为()A23 B12 C13 D141.D 因为PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，所以PF2=F1F2=2c,由AP斜率为36得，tanPAF2=36,sinPAF2=113，cosPAF2=1213，由正弦定理得PF2AF2=sinPAF2sinAPF2,所以2ca+c=113sin(3PAF2)=11332121312113=25a=4c,e=14，选D.2.（2017新课标,10）已知椭圆C： =1（ab0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ） A. B. C. D.2. A 以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切， 原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2 椭圆C的离心率e= = = 故选A3.（2017浙江,）椭圆 + =1的离心率是（ ） A. B. C. D.3. B 椭圆 + =1，可得a=3，b=2，则c= = ，所以椭圆的离心率为： = 故选B4.(2016浙江，7)已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A.mn且e1e21 B.mn且e1e21 C.mn且e1e21 D.mn且e1e214. A 由题意可得：m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.5.(2016全国，11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.5.A 设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，a3c，e.6.(2014大纲全国，6)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21 C.1 D.16.A由椭圆的性质知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，AF1B的周长|AF1|AF2|BF1|BF2|4，a.又e，c1.b2a2c22，椭圆的方程为1，故选A.7（2018浙江，17）已知点P(0，1)，椭圆x24+y2=m(m1)上两点A，B满足AP=2PB，则当m=_时，点B横坐标的绝对值最大7.5 设A(x1,y1),B(x2,y2)，由AP=2PB得x1=2x2,1y1=2(y21),y1=2y23,因为A,B在椭圆上,所以x124+y12=m,x224+y22=m, 4x224+(2y23)2=m,x224+(y232)2=m4，与x224+y22=m对应相减得y2=3+m4,x22=14(m210m+9)4，当且仅当m=5时取最大值.8.(2016江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_.8. 联立方程组解得B、C两点坐标为B,C,又F(c,0),则，又由BFC90，可得0，代入坐标可得：c2a20，又因为b2a2c2.代入式可化简为，则椭圆离心率为e.9.(2014辽宁，15)已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.9.12设MN交椭圆于点P，连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|BN|2|F1P|2|F2P|22a4a12.10.(2014安徽，14)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_.11.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得0，根据题意有x1x2212，y1y2212，且，所以0，得a22b2，所以a22(a2c2)，整理得a22c2得，所以e.12（2018全国，20）已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24+y23=1交于A，B两点，线段AB的中点为M1，mm0（1）证明：k12；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FP+FA+FB=0证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差12.（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x124+y123=1,x224+y223=1.两式相减，并由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23k=0.由题设知x1+x22=1,y1+y22=m，于是k=-34m.由题设得0m32，故k-12.（2）由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由（1）及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2mb0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 (O为原点) ，求k的值.13.（）设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b由已知可得， ， ，由，可得ab=6，从而a=3，b=2所以，椭圆的方程为（）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）由已知有y1y20，故又因为，而OAB=，故由，可得5y1=9y2由方程组消去x，可得易知直线AB的方程为x+y2=0，由方程组消去x，可得由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或所以，k的值为或14.（2017江苏,17）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（ab0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，两准线之间的距离为8点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ， 过点F2作直线PF2的垂线l2 （）求椭圆E的标准方程；（）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标 14. （1）设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以， ， 解得，于是， 因此椭圆E的标准方程是.（2）由（1）知， ， .设，因为点为第一象限的点，故.当时， 与相交于，与题设不符.当时，直线的斜率为，直线的斜率为.因为， ，所以直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程： ， 直线的方程： . 由，解得，所以.因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.又在椭圆E上，故.由，解得； ，无解.因此点P的坐标为15.(2016全国，20)已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围.15.解(1)设M(x1，y1)，则由题意知y10.当t4时，E的方程为1,A(-2,0).由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意t3，k0，A(，0)，将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.由题设，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)，当k时上式不成立，因此t.t3等价于0，即0.由此得或解得kb0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值.16.(1)解由已知，ab，则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23)，由0，得b23，此时方程的解为x2，所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为(2，1).(2)证明由已知可设直线l的方程为yxm(m0)，由方程组可得所以P点坐标为.|PT|2m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程组可得3x24mx(4m212)0.方程的判别式为16(92m2)，由0，解得m0,b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()Ay=2x By=3x Cy=22x Dy=32x3.A e=ca=3,b2a2=c2a2a2=e21=31=2,ba=2,因为渐近线方程为y=bax，所以渐近线方程为y=2x，选A.4（2018全国，11）设F1,F2是双曲线C:x2a2y2b2=1（）的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P若PF1=6OP，则C的离心率为()A5 B3 C2 D24.B 由题可知PF2=b,OF2=c,PO=a,在RtPOF2中，cosPF2O=PF2OF2=bc,在PF1F2中,cosPF2O=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|F1F2|=bc,b2+4c2-(6a)22b2c=bcc2=3a2,e=3.故选C.5（2018天津，7）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为()A B C D5.C 设双曲线的右焦点坐标为（c0），则，由可得： ，不妨设： ，双曲线的一条渐近线方程为： ，据此可得： ， ，则，则，双曲线的离心率： ，据此可得： ，则双曲线的方程为.本题选择C选项.6.（2017新课标,9）若双曲线C： =1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ） A.2 B. C. D.6. A 双曲线C： =1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C： =1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为： = ，解得： ，可得e2=4，即e=2故选A7.（2017新课标,5）已知双曲线C： =1 （a0，b0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（ ） A. =1 B. =1C. =1 D. =17. B 椭圆 + =1的焦点坐标（3，0），则双曲线的焦点坐标为（3，0），可得c=3，双曲线C： =1 （a0，b0）的一条渐近线方程为y= x，可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ，所求的双曲线方程为： =1故选B8.（2017天津,5）已知双曲线 =1（a0，b0）的左焦点为F，离心率为 若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（） A.=1 B.=1 C.=1 D.=18. B 设双曲线的左焦点F（c，0），离心率e= = ，c= a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y= x=x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= = ，则 =1，c=4，则a=b=2 ，双曲线的标准方程： ；故选B9.(2016全国，5)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(1，3) B.(1，) C.(0，3) D.(0，)9.A 方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n3，故选A.10.(2016全国，11)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B. C. D.210.A 离心率e，由正弦定理得e.故选A. 11.(2015福建，3)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A.11 B.9 C.5 D.311.B由双曲线定义|PF2|PF1|2a,|PF1|3,P在左支上,a3,|PF2|PF1|6，|PF2|9，故选B.12.(2015安徽，4)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()A.x21 B.y21 C.x21 D.y2112.C 由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为yx，只有C符合，故选C.13.(2015广东，7)已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1 C.1 D.113.B 因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求双曲线方程为1，故选B.14.(2015四川，5)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A. B.2 C.6 D.414.D 焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入渐近线方程得y212，y2，|AB|2(2)4.选D.15.(2015新课标全国，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B.2 C. D.15.D如图，设双曲线E的方程为1(a0，b0),则|AB|2a,由双曲线的对称性,可设点M(x1，y1)在第一象限内,过M作MNx轴于点N(x1，0)，ABM为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2b2，e ，选D.16.(2015新课标全国，5)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B. C. D.16.A由题意知M在双曲线C：y21上，又在x2y23内部，由得y，所以y00，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.1 D.117.A由题意可知，双曲线的其中一条渐近线yx与直线y2x10平行，所以2且左焦点为(-5,0),所以a2b2c225,解得a25,b220,故双曲线方程为1.选A.18.(2014广东，4)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A.离心率相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.焦距相等18.D由0k0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B.3 C.m D.3m19.A双曲线的方程为1，焦点F到一条渐近线的距离为.20.(2014重庆，8)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.320.B由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|2a,又|PF1|PF2|3b,所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|-|PF2|)29b2-4a2,即4|PF1|PF2|9b24a2，又4|PF1|PF2|9ab，因此9b24a29ab，即9-40,则0，解得，则双曲线的离心率e.21.(2014山东，10)已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A.xy0 B.xy0 C.x2y0 D.2xy021.A椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为，所以，所以a4b4a4，即a44b4，所以ab，所以双曲线C2的渐近线方程是yx，即xy0.22.(2014大纲全国，9)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上.若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()A. B. C. D.22.A由双曲线的定义知|AF1|AF2|2a，又|AF1|2|AF2|，|AF1|4a，|AF2|2a.e2，c2a，|F1F2|4a.cosAF2F1，故选A.23（2018江苏，8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是_23.2 因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线y=bax,即bxay=0的距离为|bc0|a2+b2=bcc=b,所以b=32c，因此a2=c2b2=c234c2=14c2, a=12c,e=2.24.（2017山东,14）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a0，b0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_24. y= x 把x2=2py（p0）代入双曲线 =1（a0，b0），可得：a2y22pb2y+a2b2=0，yA+yB= ，|AF|+|BF|=4|OF|，yA+yB+2 =4 ， =p， = 该双曲线的渐近线方程为：y= x故答案为：y= x 25.（2017北京,9）若双曲线x2 =1的离心率为 ，则实数m=_ 25.2 双曲线x2 =1（m0）的离心率为 ，可得： ，解得m=2故答案为：226.（2017江苏,8）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1 ， F2 ， 则四边形F1PF2Q的面积是_ 26.2 双曲线 y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y= x，所以P（ ， ），Q（ ， ），F1（2，0）F2（2，0）则四边形F1PF2Q的面积是： =2 故答案为：2 27.(2016山东，13)已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_.27.2 由已知得|AB|,|BC|2c,232c,又b2c2-a2,整理得：2c2-3ac-2a2=0，两边同除以a2得2320，即2e23e20，解得e2或e1(舍去).28.(2015浙江，9)双曲线y21的焦距是_，渐近线方程是_.28.2yx由双曲线方程得a22，b21，c23，焦距为2，渐近线方程为yx.29.(2015北京，10)已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_.29.双曲线渐近线方程为yx，又b1，a.30.(2015湖南，13)设F是双曲线C：1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_.30.不妨设F(c，0)，则由条件知P(c，2b)，代入1得5，e.31.(2015江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点.若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_.31.双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.32.(2014浙江，16)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_.32.联立直线方程与双曲线渐近线方程yx可解得交点为，而kAB，由|PA|PB|，可得AB的中点与点P连线的斜率为3，即3，化简得4b2a2，所以e.33.(2014江西，20)如图，已知双曲线C：y21(a0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.33.(1)解设F(c，0)，因为b1，所以c，直线OB的方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，解得B.又直线OA的方程为yx，则A，kAB.又因为ABOB，所以1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.(2)证明由(1)知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y.因为直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点为M；直线l与直线x的交点为N.则，因为P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，所求定值为.考点3 抛物线1（2018全国，8）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FMFN=()A5 B6 C7 D81.D 根据题意，过点（2，0）且斜率为23的直线方程为y=23(x+2)，与抛物线方程联立y=23(x+2)y2=4x，消元整理得：y26y+8=0，解得M(1,2),N(4,4)，又F(1,0)，所以FM=(0,2),FN=(3,4)，从而可以求得FMFN=03+24=8，故选D.2.(2016全国，10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.82.B 不妨设抛物线C：y22px(p0)，则圆的方程可设为x2y2r2(r0),如图，又可设A(x0，2)，D，点A(x0，2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0，2)在圆x2y2r2上，x8r2，点D在圆x2y2r2上，5r2，联立，解得p4，即C的焦点到准线的距离为p4，故选B.3.(2015天津，6)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.1 D.13.D双曲线1的渐近线方程为yx，又渐近线过点(2，)，所以，即2ba，抛物线y24x的准线方程为x，由已知，得，即a2b27，联立解得a24，b23，所求双曲线的方程为1，选D.4.(2015浙江，5)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A.B. C.D.4.A由图象知，由抛物线的性质知|BF|xB1，|AF|xA1，xB|BF|-1，xA|AF|1，.故选A.5（2018全国，16）已知点M-1，1和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB=90，则k=_5.2 设Ax1,y1,B(x2,y2),则y12=4x1y22=4x2,所以y12-y22=4x1-4x2,所以k=y1-y2x1-x2=4y1+y2.取AB中点M(x0，y0),分别过点A,B作准线x=-1的垂线，垂足分别为A,B,因为AMB=90,MM=12AB=12AF+BF=12(AA+|BB|),因为M为AB中点，所以MM平行于x轴,因为M(-1,1),所以y0=1，则y1+y2=2即k=2.6.（2017新课标,16）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点，则|FN|=_ 6. 6 抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为： ，|FN|=2|FM|=2 =6故答案为：67.(2016浙江，9)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_.7.9 抛物线y24x的焦点F(1,0).准线为x-1,由M到焦点的距离为10,可知M到准线x-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM110,解得xM9,所以点M到y轴的距离为9.8.(2015陕西，14)若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.8.2由于双曲线x2y21的焦点为(，0)，故应有，p2.9.(2014湖南，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a， b(a0)经过C，F两点，则_.9.1由正方形的定义可知BCCD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|pa，D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b22pa22ab，变形得10，解得1或1(舍去)，所以1.10.(2014上海，3)若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_.10.x-2c29-54,c2.椭圆1的右焦点为(2，0),2,即p4.抛物线的准线方程为x-2.11.（2017北京,18）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点 (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点 11.（1）解：（1）y2=2px过点P（1，1），1=2p，解得p= ，y2=x，焦点坐标为（ ，0），准线为x= ，（2）（2）证明：设过点（0， ）的直线方程为y=kx+ ，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），直线OP为y=x，直线ON为：y= x，由题意知A（x1 ， x1），B（x1 ， ），由 ，可得k2x2+（k1）x+ =0，x1+x2= ，x1x2= y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ = A为线段BM的中点12.(2015新课标全国，20)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点，(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.12.解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).又y,故y在x2处的导数值为,C在点(2，a)处的切线方程为y-a(x-2)，即x-y-a0.y在x-2处的导数值为-,C在点(-2，a)处的切线方程为y-a-(x2),即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点p(0，a)符合题意.13.(2014大纲全国，21)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.13.解(1)设Q(x0，4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0).代入y24x得y24my40.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(