16年中考数学函数复习专题

2016年中考复习 函数专题第一讲：一次函数与反比例函数1.一次函数与正比例函数的定义：一次函数：一般地，y=kx+b若（其中k,b为常数且k0），那么y是x的一次函数正比例函数：当b=0, k0时，y=kx,此时称y是x的正比例函数2. 一次函数与正比例函数的区别与联系：从解析式看：y=kx+b(k0，b0)是一次函数而y=kx(k0，b0)是正比例函数，显然正比例函数是一次函数的特例，一次函数是正比例函数的推广从图象看：y=kx(k0)是过点（0，0）的一条直线，而y=kx+b(k0)是过点（0，b）且与y=kx平行的一条直线。例1：如图，已知直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A和点B，另一直线y=kx+b(k0)经过点C（1，0），且把AOB分成两部分。OBAC（1）若AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值3、反比例函数的图象y = 是由两支曲线组成的。 (1)当 k0 时，两支曲线分别位于第一、三象限，(2)当 k0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是( ) (A)m3 (C)m-32、 填空题1、点，点是双曲线上的两点，若，则 （填“=”、“”、“”） 2、如果点A、B在一个反比例函数的图像上，点A的坐标为（1，2），点B横坐标为2，那么A、B两点之间的距离为 3、已知反比例函数的图像经过点（m，3）和（-3,2），则m的值为 4、若反比例函数的图象经过点（-2,-1），则这个函数的图象位于第_象限 5、设函数与的图象的交点坐标为（，），则的值为_ _ 6、如果，那么 7、某中学要在校园内划出一块面积是 100m2的矩形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边的长分别为xm和ym，那么y关于x的函数解析式是_ 8、反比例函数 y 的图象与正比例函数y3x的图象交于点P(m，6)，则反比例函数的关系式是 9、如图，已知点A在双曲线上，过点A作ACx轴于点C，OC=，线段OA的垂直平分线交OC于点B，则ABC的周长为 10、若反比例函数y(k1)的图象经过第二、四象限，则k 11、一个函数具有下列性质：1xyS1S2S3P1P2P3O234它的图像经过点（-1，1）；它的图像在二、四象限内； 在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大则这个函数的解析式可以为 12、如图，在反比例函数（）的图象上，有点，,它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积分别为，则的值为 .ABPxyO13、如图，A是反比例函数y=图象上一点，过点A作ABy轴于点B，点P在x轴上，ABP的面积为2，则K的值为_.14、如图，AOB为等边三角形，点B的坐标为（-2,0），过点C（2,0）作直线l交AO于D，交AB于E，点E在某反比例函数图象上，当ADE和DCO的面积相等时，那么该反比例函数解析式为 . 三、解答题1、已知双曲线和直线AB的图象交于点A(-3,4),ACx轴于点C.(1)求双曲线的解析式;(2)当直线AB绕着点A转动时,与x轴的交点为B(a,0),并与双曲线另一支还有一个交点的情形下,求ABC的面积S与a之间的函数关系式.,并指出a的取值范围. 2、已知反比例函数的图像经过第二象限内的点A（1，m），ABx轴于点B，AOB的面积为2若直线 经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n,一2）求直线的解析式；设直线与x轴交于点M，求AM的长 3、如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B（a，b）在第一象限，四边形OABC是矩形，若反比例函数（k0，x0）的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，且BE=CE.（1）求证：BD=AD；（2）若四边形ODBE的面积是9，求k的值.4、如图，将矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点点A在x轴正半轴上点E是边AB上的个动点(不与点A、B重合)，过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F.（1）若OAE、OCF的而积分别为且，求k的值.（2）若OA=2，0C=4，问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大，其最大值为多少? 5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x的图像与反比例函数的图像的一个交点为A（-1，n）.(1) 求反比例函数的解析式；(2) 若P是坐标轴上的一点，且满足PA=0A，直接写出P的坐标.6、如图，一次函数与反比例函数在第一象限的图象交于点，且点的横坐标为1，过点作轴的垂线，为垂足，若，求一次函数和反比例函数的解析式.7、已如图，反比例函数 y 的图象与一次函数ymxb的图象交于两点A（1,3） ,B（n,1） （1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；yxAOB（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；(3) 连接AO、BO，求ABO的面积；8、如图,已知A(4,a) ，B（2 ,4）是一次函数ykxb的图象和反比例函数的图象的交点.(1)求反比例函数的解析式；(2) 求一次函数的解析式。AB(1,n)112nyOx9、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点。(1)利用图中条件求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围10、如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数（）的图象与一次函数的图象的一个交点为 （1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数的图象与y轴交于点B，P为一次函数的图象上一点，若的面积为5，求点P的坐标11、已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y 轴交于点C (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求AOC的面积； (3)求不等式kx+b-0)x=h(h，k)向上y= a ( xh)2+k (a0时，向上移动，当c0时，向右移动，当h0时，向左移动(3)将函数yax2的图象既上下移，又左右移，便可得到函数ya(x-h)+k的图象因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关基础练习：一、选择题1、已知+=y,其中与成反比例,且比例系数为,而与成正比例,且比例系数为,若x=-1时,y=0,则,的关系是( )A. =0 B. =1 C. =0 D. =-12、已知二次函数 ， 为常数，当y达到最小值时，x的值为（ ）（A）（A）; （B）; （C）; （D）3、若二次函数的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0）， 则S=a+b+c的变化范围是 ( )（A）0S1; (C) 1S2; (D)-1S0,0; B.a0, 0; C.a0, 0; D.a0, 250，所以x=60应舍去，所以销售单价应定于80元。18、（重庆市江津区）抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.19、（湖北省荆门市） 一开口向上的抛物线与x轴交于A（，0），B（m2，0）两点，记抛物线顶点为C，且ACBC（1）若m为常数，求抛物线的解析式；（2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由OBACDxy第15题图20.已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x（如图所示）与x的另一交点为A现将它向右平移m（m0）位，所得抛物线与x轴交于C、D点，与原抛物线交于点P（1）求点P的坐标（可用含m式子表示）（2）设PCD的面积为s，求s关于m关系式（3）过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E，交平移后的抛物线于点F请问是否存在m，使以点E、O、A、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）首先将抛物线表示出顶点式的形式，再进行平移，左加右减，即可得出答案；（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，根据当0m2，当m=2，即点P在x轴时，当m2即点P在第四象限时，分别得出即可；（3）根据E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2由轴对称可知PE=PF，表示出E点的坐标，再把点E代入抛物线解析式得出即可解答：解：（1）原抛物线：y=-2x2+4x=-2（x-1）2+2，则平移后的抛物线为：y=-2（x-1-m）2+2，由题得 ，解得 ，点P的坐标为（ ， ）；（2）抛物线：y=-2x2+4x=-2x（x-2）抛物线与x轴的交点为O（0，0）A（2，0），AC=2，C、D两点是抛物线y=-2x2+4x向右平移m（m0）个，单位所得抛物线与x轴的交点CD=OA=2，当0m2，即点P在第一象限时，如图1，作PHx轴于HP的坐标为（ ， ），PH= ，S= CD2（- m2+2）=- m2+2，当m=2，即点P在x轴时，PCD不存在，当m2即点P在第四象限时，如图2，作PHx轴于HP的坐标为（ ， ），PH= ，S= CDHP= 2 = m2-2；（3）如图3若以E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2由轴对称可知PE=PF，PE= ，P（ ， ），点E的坐标为（ ， ），把点E代入抛物线解析式得： ，第三讲：二次函数应用一、动点问题（一）、因动点产生的面积关系QPPAxyBO例1、在平面直角坐标系中，BCD的边长为3cm的等边三角形, 动点P、Q同时从点A、O两点出发，分别沿AO、OB方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s, 当点P到达点O时,P、Q两点停止运动. 设点P的运动时间为t(s), 解答下列问题:(1) 求OA所在直线的解析式;(2) 当t为何值时, POQ是直角三角形;(3) 是否存在某一时刻t，使四边形APQB的面积是AOB面积的三分之二? 若存在, 求出相应的t值; 若不存在，请说明理由解： 根据题意：APt cm，BQt cmABC中，ABBC3cm，B60，BP(3t ) cmPBQ中，BP3t，BQt，若PBQ是直角三角形，则BQP90或BPQ90当BQP90时，BQBP即t(3t )，t1 (秒)当BPQ90时，BPBQ3tt，t2 (秒)答：当t1秒或t2秒时，PBQ是直角三角形 4 过P作PMBC于M RtBPM中，sinB，PMPBsinB(3t )SPBQBQPM t (3t )ySABCSPBQ32 t (3t )y与t的关系式为： y 6假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是ABC面积的，则S四边形APQCSABC 32t 23 t30(3) 24130，方程无解无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是ABC面积的8例2、 如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上动点D在线段BC上移动(不与B，C重合)，连接OD，过点D作DEOD，交边AB于点E，连接OE记CD的长为t(1) 当t时，求直线DE的函数表达式；(2) 如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；解：(1)易知CDOBED，所以，即，得BE=，则点E的坐标为E(1，)(2分)设直线DE的一次函数表达式为y=kx+b，直线经过两点D(，1)和E(1，)，代入y=kx+b得，故所求直线DE的函数表达式为y=(2分)(注：用其它三角形相似的方法求函数表达式，参照上述解法给分) (2) 存在S的最大值1分求最大值：易知CODBDE，所以，即，BE=tt2，1分1(1tt2)1分故当t=时，S有最大值2分（二）因动直线产生的面积关系例3如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，5）和（2，4） （1）求这条抛物线的解析式 （2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于x轴的直线x=m（0m+1）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示） （3）在条件（2）的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由y=xNPx = mMAxyBO 解：（1）由题意得 解得 此抛物线解析式为y=x22x4 （2）由题意得： 解得 点B的坐标为（4，4） 将x=m代入y=x得y=m，点N的坐标为（m，m） 同理，点M的坐标为（m，m22m4），点P的坐标为（m，0） PN=m，MP=m22m4， 0m+1， MN=PN+MP=m2+3m+4 （3）作BCMN于点C， 则BC=4m，OP=m S=MNOP+MNBC， =2（m2+3m+4）， =2（m）2+ 20， 当m=0，即m=时，S有最大值同步练习1、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），AOC=60，垂直于x轴的直线L从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动，设直线L与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方） （1）求A，B两点的坐标； （2）设OMN的面积为S，直线L的运动时间为ts（0t6），试求S与t的函数表达式；（3）在（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？2.正方形ABCD的边长为，BEAC交DC的延长线于E。（1）如图，连结AE，求AED的面积。（2）如图，设P为BE上（异于B、E两点）的一动点，连结AP、CP，请判断四边形APCD的面积与正方形ABCD的面积有怎样的大小关系？并说明理由。（3）如图，在点P的运动过程中，过P作PFBC交AC于F，将正方形ABCD折叠，使点D与点F重合，其折线MN与PF的延长线交于点Q，以正方形的BC、BA为轴、轴建立平面直角坐标系，设点Q的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式。3、如图，在矩形中，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为（1）求的度数；（2）当取何值时，点落在矩形的边上？（3）求与之间的函数关系式；当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？DQCBPRABADC（备用图1）BADC（备用图2）二、存在性问题(一）、因动点产生的直角三角形问题例4如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；B(0,4)A(6,0)EFxyO（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？ 是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为把A、B两点坐标代入上式，得 解之，得故抛物线解析式为，顶点为（2）点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，y0,y表示点E到OA的距离OA是的对角线，因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的取值范围是16 根据题意，当S = 24时，即 化简，得 解之，得故所求的点E有两个，分别为E1（3，4），E2（4，4）点E1（3，4）满足OE = AE，所以是菱形；点E2（4，4）不满足OE = AE，所以不是菱形 当OAEF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，3） 而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形例5. 如图所示, 在平面直角坐标系xOy中, 矩形OABC的边长OA、OC的长分剔为12cm、6 cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且18a+c=0.(1)求抛物线的解析式； (2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向点C移动.移动开始后第t秒时, 设PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围;QPCAxyBO当S取得最小值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由. 解: (1)据题意知: A(0, 12), B(6, 12) A点在抛物线上, C=12 18a+c=0, a= (1分)由AB=6知抛物线的对称轴为: x=3即: 抛物线的解析式为: (3分)(2)由图象知: PB=6t, BQ=2tS=(4分)即(0t1) (5分)假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.(0t1)当t=时, S取得最小值9. (6分)这时PB=6-3=3, BQ=6, P(3, 12), Q(6, 6) (7分)分情况讨论:A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, P(3, 12)，PB=3, Q(6, 6)R的横坐标为9, R的纵坐标为6, 即(9, 6)代入, 左右两边不相等这时R(9, 6) 不在抛物线上. (8分)B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则:R的横坐标为3, 纵坐标为6, 即(3, 6)代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. (9分)C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则:R(6, 18)代入, 左右两边相等, R(6, 18)在抛物线上. 综上所述, 存点一点R(6, 18)满足题意. (10分)同步练习1、已知抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴的负半轴相交于点,（1）求抛物线的解析式；BOAAC（2）在抛物线上是否存在点，使？如果存在，请确定点的位置，并求出点的坐标：如果不存在，请说明理由2、如图,抛物线与轴交于点、B 两点，抛物线的对称轴为直线x=1,QCAxyBO(1)求的值及抛物线的解析式； (2) 过A的直线与抛物线的另一交点C的横坐标为2. 直线AC的解析式；(3)点Q是抛物线上的一个动点, 在x轴上是否存在点F ,使得以点A、C、F、Q为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由yxDCAOB3、如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点，其顶点为，直线的函数关系式为，又（1）求二次函数的解析式和直线的函数关系式；（2）抛物线上是否存在一点P，使PBC以BC为直角边的直角三角形？若存，求出点P的坐标；若不存在，说明理由4、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线x=2, 该抛物线与x轴交干A、B两点（B在A的右侧）, 与y轴交于点C, 且B、C的坐标分别为（3,0）、(0,3).（1）求此抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，使PAC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由OBCAA(三)、因动点产生的三角形相似问题例6如图，直线与轴，轴分别相交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一交点为，顶点为，且对称轴是直线（1）求点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结请问在轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）直线与轴相交于点，当时，点的坐标为（1分）又抛物线过轴上的两点，且对称轴为，根据抛物线的对称性，点的坐标为（2分）（2）过点，易知，-（3分）又抛物线过点，（4分