概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后答案

1概率论习题四答案1设随机变量X的分布律为X1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X3）【解】1288422221150333EX2已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X012345P5901C8340951C331095C721095C71095C105故4234EX051,20IIIDXP2225183051340501433设随机变量X的分布律为X101PP1P2P3且已知E（X）01,EX209,求3,【解】因,123P又,123100PP2239EX由联立解得1234,524袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）N，问从袋中任取1球为白球的概率是多少【解】记A从袋中任取1球为白球，则0|NKPPAK全概率公式0011NKKXXNEN5设随机变量X的概率密度为F（X）,0,21,他X求E（X），D（X）【解】1201DDXFXX13320112223017DD6EXXFXX故6D6设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）5，E（Y）11，E（Z）8，求下列随机变量的数学期望（1）U2X3Y1；（2）VYZ4X【解】1231231E542YZEX,Z因独立184567设随机变量X，Y相互独立，且E（X）E（Y）3，D（X）12，D（Y）16，求E（3X2Y），D（2X3Y）【解】123224196238设随机变量（X，Y）的概率密度为F（X，Y）,0,1他XYXK试确定常数K，并求E（XY）【解】因故K210,DD,2XFK10,D205XXYYFY9设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为2,01,XXF其它5E,YYF其它求E【解】方法一先求与的均值Y102D,3XX55500EEDE516ZYYZZEY令由与的独立性，得243EXY方法二利用随机变量函数的均值公式因与独立，故联合密度为Y5E,01,5,YXYXXYFXYF其他于是11525500522EDED643YYEYXX10设随机变量X，Y的概率密度分别为FX,2XYFY0,4Y求（1）（2）E23EX【解】200DEDEEDXXXXXF201E401EYYEYF2222DD84从而11324EXYEY22153811设随机变量X的概率密度为F（X）0,2XCKE求（1）系数（2）（3）CEDX【解】1由得220DED1KXCFX2K20EKXX220EDKX32222201EKXEFD故22214DXEX12袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量，求和XEX【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则的可能取值为0，1，2，3为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9075,P391024,PX3241,115于是，得到X的概率分布表如下X0123P0750020400410005由此可得752043051E2222201143DXEX13一工厂生产某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，概率密度为541E,0,XF为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望【解】厂方出售一台设备净盈利只有两个值100元和200元Y/41/4110EDXPYX/2故元1/41/41/4E20E302364E14设是相互独立的随机变量，且有12,NX,记，2,1IIDXIN1NIIX221NIIS（1）验证，；XEDN2（2）验证；221NIISX（3）验证2E【证】1111NNNIIIIIIXEEXU22111NNNIIIIIIDDDX之间相互独立2N2因为2221111NNNNIIIIIIIIIXXXX2211NNIIII6故221NIISX3因为,故2,IIEUD222IIIEXDEXU同理因为,故,XN2UN从而222211NNIIIIESEX22122NIIEXUNU15对随机变量和，已知，,XYDX3Y,1COVXY计算321,4COV【解】310,8D232因常数与任一随机变量独立，故,其余类似,0COVXVY16设二维随机变量的概率密度为,XY21,1,0XYFXY其它试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的【解】设2,|1DXY21,DDXYEXFY210COS0R同理EY0（注意到积分区域的对称性和被积函数是奇函数可以直接得到0）7而COV,DXYXEYYFXY,22101DSINCO0XYRR由此得,故X与Y不相关0XY下面讨论独立性，当时，1X2121XXFDYX当时，1Y221YYFD显然,故X和Y不是相互独立的XFXFX17设随机变量的分布律为,1011011/81/81/81/801/81/81/81/8验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表X101P382Y101PXY101P284由期望定义易得0EXY从而,再由相关系数性质知0,YXY即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的又311,18PPXY8从而X与Y不是相互独立的18设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求，,COVXY【解】如图，SD，故（X，Y）的概率密度为12题18图2,0XYDFXY其他,DDEXF1012D3X22,XFY1206XY从而2226318XEX同理1,38YD而101,D2D2DXDXYFXYY所以COV,1236XYEXY从而OV,18XYD19设（X，Y）的概率密度为F（X，Y）1SIN,0,22XYXY,其他求协方差和相关系数,COVXYXY9【解】/2/01,DSIND4EXXFYXXY2201SIN8Y从而2216DXEX同理2,4YD又/2/0DSIND1,2EXXYXY故4COV,14XYY2224,81683316XYDY20已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为，试求Z1X2Y和Z22XY的相4关系数【解】由已知条件得DX1,DY4,COVX,Y1从而124COV,1413,4ZDX1COV,OV2,Y4OV,2OV,5C2154XYDD故1212,363ZZ21对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明E（VW）2E（V2）E（W2）这一不等式称为柯西许瓦兹（CAUCHYSCHWARZ）不等式【证】考虑实变量的二次函数T222GTTT10因为对于一切，有，所以，从而二次方程T20VTW0GT0GT或者没有实根，或者只有重根，故其判别式0，即224EEV故222假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数1/5的指数分布设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数YFY【解】由题设可知设备开机后无故障工作的时间，其概率密度为15E15,0XEF根据题意，所以的分布函数为MIN,2YXYI,FYPY当时，；0Y0X当时，；211550MIN,2XYYYYPEDE当时，；YI,1FP于是的分布函数为。Y150,2YYE23已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率【解】（1）Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为,36CKP0,123即ZK0123PK12901011因此，19130202EZ2设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有30|KPAZPAK192132606424假设由自动线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于10X,N或大于12为不合格品，其余为合格品销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润（单位元）与销售零件的内径有如下关系T1,0,2025,1X问平均直径取何值时，销售一个零件的平均利润最大【解】因为,所以平均利润1XN0212512ETPP0512125215UUXUPXU令2/D1010EXETUUXU得221/10/5UUEE两边取对数有221LN2LN解得毫米51L9018U因为该问题有唯一驻点，所以当毫米时，平均利润最大025设随机变量的概率密度为X1COS,20XF其他对独立地重复观察4次，用表示观察值大于/3的次数，求的数学期望XY2Y12（2002研考）【解】令1,31,2340,IXYI则相互独立，都服从（01）分布，且1234,41IY因为及,3PPX/30COSD2XPX所以111,424IIEYDEY,22从而221526两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间I1,2服从参数为5的指数分布，首T先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启试求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度，数学期望及方差12TTFTEDT【解】由题意知5E,0,TIFT因为与独立，所以由卷积公式得的概率密度1T212TDFTFXT当时，00TTFT当时，55120E2ETXTXTFXT故得5,TTFT由于,故知5ITE11,2IIDI因此，有，（与独立）12515T1T21327设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|XY|的方差【解】设ZXY，由于110,22NY且X和Y相互独立，故,即,EZD0,1ZN因为22|DXYE2,Z而21EZ，2/|EDZ2/0EDZ所以|1DXY28某流水生产线上每个产品不合格的概率为，各产品合格与否相互独立，当P出现一个不合格产品时，即停机检修设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为，求和XEX【解】记,的概率分布为1QP1IPQP,23故121III又222111IIIIIIEXQPQP22321IPQP所以2221PDXEXP14题29图29设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布（如图），试求随机变量UXY的方差【解】DUDXYDXDY2COVX,YDXDY2EXYEXEY由已知条件得X和Y的联合概率密度为2,0XYGFXY其它,|01,1XYYX从而1,D2XXFF因此1112230003,D,2XEXFEXX498DE同理可得3,218Y105D2D,12XGXXYY4COV,936YEXY于是1818DU30设随机变量U在区间2,2上服从均匀分布，随机变量XY，1,他,U，他试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（XY）【解】（1）为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可能取值1,1,1,1,1,1及1,1的概率PX1,Y1PU1,U1112D4XPX1,Y1PU1,U1P0,PX1,Y1PU1,U1151D42XPU21D1,4XXYPU故得X与Y的联合概率分布为,1,04242因,2DXYEXY而及的概率分布相应为2,0142Y2041Y从而,EX2102Y所以2DEXY31设随机变量的概率密度为FX，X1EX1求及；E（2）求,并问与是否不相关COVX（3）问与是否相互独立，为什么X【解】1|1ED02XE|20EDXXD2COV,|XEXEX|1|E,2X所以与不相关3为判断|与的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定X义域中的子区间（0,）上给出任意点X0，则有X160000|XXXXX所以0|1P故由00000,|XXPXXP得出与不相互独立32已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数，设Z12Y23（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数；X（3）问X与Z是否相互独立，为什么【解】1132YE2,33XYXYDZCOV1196,4而COV,3462XYD所以16Z2因OV,COV,OV,322ZXY19630,DX所以OVZXDZ3由，得X与Z不相关又因，所以X与Z也0XZ1,31,9N相互独立33将一枚硬币重复掷N次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数试求X和Y的相关系数XY17【解】由条件知XYN，则有D（XY）D（N）0再由XBN,P,YBN,Q，且PQ,12从而有4Y所以0XD故12,4XYNXY（填空题或选择题，由可以直接得1）34设随机变量X和Y的联合概率分布为10101007018015008032020试求X和Y的相关系数XY【解】由已知条件得EX06,EY02，而XY的概率分布为YX101P00807202所以E（XY）00802012,1260COVXYEXY从而0Y35对于任意两事件A和B，0PA1，0PB1,则称为事件A和B的相关系数试证P（1）事件A和B独立的充分必要条件是0；（2）|1【证】（1）由的定义知，0当且仅当PABPAPB0而这恰好是两事件A、B独立的定义，即0是A和B独立的充分必要条件2引入随机变量X与Y为1,0若发生若发生1,0Y若发生若发生由条件知，X和Y都服从01分布，即PA1PB从而有EXPA,EYPB,YX18DXPAP,DYPBP,COV所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数于是由二维随机变量相关系数的基本性质可得|136设随机变量X的概率密度为1,0,2,4XXFX其他令，为二维随机变量的分布函数，求2YX,FXY,Y1的概率密度；YF2,COV3142F解1的分布函数为Y2YFYPXY当Y0时，；0YF当0Y1时，304YFPYXYPY；38YF当1Y4时，11024YFYPXYY；8YFY当Y4时，1YY0YFY故Y的概率密度为193,01,8,4,0YYFY其他2,2101DD4XEXFXX,222056YF,03333178XXXX故COV,YEY321,44,422FPPX11,X437设二维随机变量的概率分布如下表,XY1011A002001B021001C其中为常数，且的数学期望,记,ABCX2EX05PYX求ZXY（1）的值；,（2）的概率分布；（3）P解1由概率分布的性质知，即061ABC14由，可得02EX（2）C20再由,0,0105PXYABPY得（3）3AB解方程组（1）（2）（3）得02,1,0C2的可能取值为2，1，0，1，2，ZXY，,2PZXY，1,0,10P，0,3PZXYXY，,P，21,0ZXY即的概率分布为Z21012P02010303013XZPYB38设随机变量与的概率分布分别如