常微分方程 基本概念ppt课件

2020/5/2,.,1,一、微分方程,第六章微分方程,第一节微分方程的基本概念,二、微分方程的解,2020/5/2,.,2,300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.,2020/5/2,.,3,定义1凡含有未知函数导数(或微分)的方程，,一、微分方程,称为微分方程，,有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称做常微分方程，,未知函数是多元函数的微分方程称做偏微分方程.,本教材仅讨论常微分方程，并简称为微分方程.,(1)y=kx,k为常数；,例如，下列方程都是微分方程(其中y,v,q均为未知函数).,(2)(y-2xy)dx+x2dy=0；,(3)mv(t)=mg-kv(t)；,2020/5/2,.,4,微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，,称为微分方程的阶.,例如，方程(1)-(3)为一阶微分方程，,通常，n阶微分方程的一般形式为,F(x,y,y,y(n)=0，,其中x是自变量，y是未知函数，F(x,y,y,y(n)是已知函数，,而且一定含有y(n).,(4),(5),方程(4)-(5)为二阶微分方程.,2020/5/2,.,5,定义2任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.,二、微分方程的解,若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，,且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).,当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解.,例如方程y=2x的解y=x2+C中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同，,因此，这个解是方程的通解；,如果求满足条件y(0)=0的解，代入通解y=x2+C中，,得C=0，那么y=x2就是方程y=2x的特解.,2020/5/2,.,6,二阶微分方程的初始条件是,即y(x0)=y0与y(x0)=y0，,一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值问题.,求解某初值问题，就是求方程的特解.,用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称为初始条件.,通常一阶微分方程的初始条件是,2020/5/2,.,7,例1验证函数y=3exxex是方程,y+2y+y=0,的解.,解求y=3exxex的导数，,y=-4ex+xe-x,y=5ex-xe-x,将y，y及y代入原方程的左边，,(5ex-xe-x)+2(-4ex+xe-x)+3exxex=0，,即函数y=3exxex满足原方程，,得,有,所以该函数是所给二阶微分方程的解.,2020/5/2,.,8,得C=2，故所求特解为y=2x2.,例2验证方程的通解,为y=Cx2(C为任意常数)，并求满足初始条件y|x=1=2的特解.,解由y=Cx2得,y=2Cx,将y及y代入原方程的左、右两边，,左边有y=2Cx，,所以函数y=Cx2满足原方程.,又因为该函数含有一个任意常数，,所以y=Cx2是一阶微分方程,将初始条件y|x=1=2代入通解，,2020/5/2,.,9,例3设一个物体从A点出发作直线运动，在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍.求物体运动规律(或称运动方程),解首先建立坐标系：取A点为坐标原点，,物体运动方向为坐标轴的正方向(如图)，,并设物体在时刻t到达M点，其坐标为s(t).,显然，s(t)是时间t的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待求的未知函数，,s(t)的导数s(t)就是物体运动的速度v(t).,由题意，知,v(t)=2t，,以及,s(0)=0.,2020/5/2,.,10,因为v(t)=s(t)，因此，求物体的运动方程已化成了求解初值问题,积分后，得通解s(t)=t2+C.,故初值问题的解为s(t)=t2，,也是本题所求的物体的运动方程.,再将初始条件代入通解中，得C=0，,2020/5/2,.,11,例4已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程.,解设所求曲线的方程为y=y(x)，,根据导数的几何意义及本题所给出的条件，,y=y2，,即,积分得,又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得,所以，求此曲线的方程为,得,2020/5/2,.,12,一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数y=y(x)，,其图形是一条平面曲线，我们称它为微分方程的积分曲线.,通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分曲线族，,特解的图形是积分曲线族中的一条确定的曲线.,这就是微分方程的通解与特解的几何意义.,2020/5/2,.,13,一、可分离变量方程,第六章微分方程,第二节一阶微分方程,三、一阶线性微分方程,二、齐次方程,2020/5/2,.,14,一阶微分方程的一般形式为,F(x,y,y)=0.,2020/5/2,.,15,一、可分离变量方程,例如：形如,y=f(x)g(y),的微分方程，称为可分离变量方程.,(1)分离变量,将方程整理为,使方程各边都只含有一个变量.,的形式，,2020/5/2,.,16,(2)两边积分,两边同时积分，得,故方程通解为,我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，,而把积分所带来的任意常数明确地写上.,2020/5/2,.,17,例1求方程,解分离变量，得,两边积分，得,这就是所求方程的通解,2020/5/2,.,18,例2求方程,解分离变量，得,两边积分，得,化简得,2020/5/2,.,19,另外，y=0也是方程的解，,因此C2为任意常数,求解过程可简化为：,两边积分得,即通解为,其中C为任意常数.,中的C2可以为0，,这样，方程的通解是,分离变量得,2020/5/2,.,20,例3求方程dx+xydy=y2dx+ydy满足初始条件y(0)=2的特解.,解将方程整理为,分离变量，得,两边积分，有,2020/5/2,.,21,化简，得,即,将初始条件y(0)=2代入，,为所求之通解.,得C=3.,故所求特解为,2020/5/2,.,22,例4,解分离变量得,即,2020/5/2,.,23,两边积分，得,经整理，得方程的通解为,也可写为,.,24,形如,方程称为齐次方程,求解方法:,二、可化为变量分离方程类型,.,25,解:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,.,26,两边积分得:,即,代入原来变量,得原方程的通解为,.,27,解:,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,.,28,两边积分得:,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,2020/5/2,.,29,三、一阶线性微分方程,一阶微分方程的下列形式,称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程.,其中P(x)、Q(x)都是自变量的已知连续函数.,左边的每项中仅含y或y，且均为y或y的一次项.,它的特点是：右边是已知函数，,2020/5/2,.,30,称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程，,0，则称方程为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程.,通常方程称为方程所对应的线性齐次方程.,若Q(x),2020/5/2,.,31,1.一阶线性齐次方程的解法,一阶线性齐次方程,是可分离变量方程.,两边积分，得,所以，方程的通解公式为,分离变量，得,2020/5/2,.,32,例6求方程y+(sinx)y=0的通解.,解所给方程是一阶线性齐次方程，且P(x)=sinx，,由通解公式即可得到方程的通解为,则,2020/5/2,.,33,例7求方程(y-2xy)dx+x2dy=0满足初始条件y|x=1=e的特解.,解将所给方程化为如下形式：,这是一个线性齐次方程，,则,由通解公式得该方程的通解,将初始条件y(1)=e代入通解，,得C=1.,故所求特解为,2020/5/2,.,34,2.一阶线性非齐次方程的解法,设y=C(x)y1是非齐次方程的解，,将y=C(x)y1(其中y1是齐次方程y+P(x)y=0的解)及其导数y=C(x)y1+C(x)y1代入方程,则有,即,2020/5/2,.,35,因y1是对应的线性齐次方程的解，,因此有,其中y1与Q(x)均为已知函数，,代入y=C(x)y1中，得,容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程,所以可以通过积分求得,2020/5/2,.,36,且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程,的通解,在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为,于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：,上述讨论中所用的方法，是将常数C变为待定函数C(x)，,再通过确定C(x)而求得方程解的方法，称为常数变易法.,2020/5/2,.,37,例8求方程2y-y=ex的通解.,解法一使用常数变易法求解,将所给的方程改写成下列形式：,这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为,将y及y代入该方程，得,设所给线性非齐次方程的解为,2020/5/2,.,38,于是，有,因此，原方程的通解为,解法二运用通解公式求解,将所给的方程改写成下列形式：,2020/5/2,.,39,则,代入通解公式，得原方程的通解为,2020/5/2,.,40,例9求解初值问题,解使用常数变易法求解,将所给的方程改写成下列形式：,则与其对应的线性齐次方程,的通解为,2020/5/2,.,41,设所给线性非齐次方程的通解为,于是，有,将y及y代入该方程，得,2020/5/2,.,42,因此，原方程的通解为,将初始条件y(p)=1代入，得C=p，,所以，所求的特解，即初值问题的解为,2020/5/2,.,43,例10求方程y2dx+(x-2xy-y2)dy=0的通解.,解将原方程改写为,这是一个关于未知函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程，,它的自由项Q(y)=1.,2020/5/2,.,44,代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有,即所求通解为,2020/5/2,.,45,第七章微分方程,第三节一阶微分方程应用举例,例1设曲线过点(1,1)，且其上任意点P的切线在y轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程.,解设所求的曲线方程为y=y(x)，P(x,y)为其上任意点，,则过点P的切线方程为,其中(X,Y)是切线上动点,(x,y)是曲线上任意固定的点.,2020/5/2,.,46,令X=0，得切线在y轴上的截距为Y=y-xy，,y-xy=3y，,这是一阶线性齐次方程，其通解为,因曲线过点(1,1).代入方程，得C=1.,所以曲线方程为,由题意得,2020/5/2,.,47,例2设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的速度成正比(比例系数为常数k0)，,起跳时的速度为0.求下落的速度与时间之间的函数关系.,解设下落速度为v(t)，,则加速度a=v(t)运动，物体所受的外力为：,F=mgkv，,于是，由牛顿第二定律可得,mg-kv=mv，,2020/5/2,.,48,又由题意得初始条件,v|t=0=0，,可见，初值问题,是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为,由v(0)=0得C=mg.,即为所求的函数关系.,所以，特解,2020/5/2,.,49,例4假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却，,物体的初始温度为200C，且由200C冷却到100C需要40s.,已知(冷却定律)：冷却速率与物体和介质的温度差成正比.,其介质(冷却剂)温度始终保持为10C，,并求物体温度降到20C所需的时间.,解设物体温度为q=q(t)，,则物体的冷却速率为q(t).,由冷却定律可得q(t)应满足的微分方程为,q(t)=-kq(t)-10(k0)，,试求物体温度q与时间t的函数关系,2020/5/2,.,50,另由题意知q(t)所满足的初始条件为,q|t=0=200.,于是，初值问题是,解此初值问题，得特解,q(t)=10+190e-kt.,因此，得,由于(40)=100，,即100=10+190e-40k，,2020/5/2,.,51,最后，将q=20代入上式，,即物体温度降到20C大约需要2min38s.,从而得物体温度q与时间t的函数关系为,并解出,2020/5/2,.,52,一、二阶线性微分方程解的结构,第七章微分方程,第四节二阶常系数线性微分方程,二、二阶常系数线性微分方程的解法,三、应用举例,2020/5/2,.,53,一、二阶线性微分方程解的结构,二阶微分方程的如下形式,y+p(x)y+q(x)y=f(x),称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.,f(x)称为自由项，当f(x)0时，称为二阶线性非齐次微分方程，,简称二阶线性非齐次方程.,当f(x)恒为0时，称为二阶线性齐次微分方程，,简称二阶线性齐次方程.,方程中p(x)、q(x)和f(x)都是自变量的已知连续函数.,这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含y或y或y，,且每项均为y或y或y的一次项，,例如y+xy+y=x2就是二阶线性非齐次方程.,而y+x(y)2+y=x2就不是二阶线性方程.,2020/5/2,.,54,定理1如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个解，,y=C1y1+C2y2,仍为该方程的解，,证因为y1与y2是方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个解，,与,所以有,其中C1，C2是任意常数.,则函数,2020/5/2,.,55,于是有,y+p(x)y+q(x)y,=0,所以y=C1y1+C2y2是y+p(x)y+q(x)y=0的解.,2020/5/2,.,56,定义设函数y1(x)和y2(x)是定义在某区间I上的两个函数，,k1y1(x)+k2y2(x)=0,不失一般性，,考察两个函数是否线性相关，,我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，,事实上，当y1(x)与y2(x)线性相关时，有k1y1+k2y2=0，,其中k1,k2不全为0，,如果存在两个不全为0的常数k1和k2，,使,在区间I上恒成立.,则称函数y1(x)与y2(x)在区间上是线性相关的，否则称为线性无关.,2020/5/2,.,57,即y1与y2之比为常数.,反之，若y1与y2之比为常数，,则y1=ly2，即y1-ly2=0.,所以y1与y2线性相关.,因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；,例如函数y1=ex，y2=e-x，,所以，它们是线性无关的.,如果不是常数，则它们线性无关.,2020/5/2,.,58,定理2如果函数y1与y2是二阶线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个线性无关的特解，,y=C1y1+C2y2,是该方程的通解，,证因为y1与y2是方程y+p(x)y+q(x)y=0的解，,所以，由定理1知y=C1y1+C2y2也是该方程的解.,又因为y1与y2线性无关，即y1与y2之比不为常数，,故C1与C2不能合并为一个任意常数，,因此y=C1y1+C2y2是二阶线性齐次方程的通解.,则,其中C1,C2为任意常数.,所以它们中任一个都不能用另一个(形如y1=ky2或y2=k1y)来表示.,2020/5/2,.,59,定理3如果函数y*是线性非齐次方程的一个特解，,y=Y+y*，,是线性非齐次方程的通解.,证因为y*与Y分别是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x),和线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的解，,所以有,y*+p(x)y*+q(x)y*=f(x)，,Y+p(x)Y+q(x)Y=0.,Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，,则,2020/5/2,.,60,又因为y=Y+y*，,y=Y+y*，,所以,y+p(x)y+q(x)y,=(Y+y*)+p(x)(Y+y*)+q(x)(Y+y*),=(Y+p(x)Y+q(x)Y)+(y*+p(x)y*+q(x)y*),=f(x).,2020/5/2,.,61,求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：,(1)求线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的线性无关的两个特解y1与y2，,得该方程的通解Y=C1y1+C2y2.,(2)求线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的一个特解y*.,那么，线性非齐次方程的通解为y=Y+y*.,又Y是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，,故y=Y+y*中含有两个任意常数.,即y=Y+y*是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的通解.,这说明函数y=Y+y*是线性非齐次方程的解，,2020/5/2,.,62,y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+f2(x)，,y+p(x)y+q(x)y=f1(x)，,和,y+p(x)y+q(x)y=f2(x),定理4设二阶线性非齐次方程为,的特解，,2020/5/2,.,63,证因为y1*与y2*分别是与的特解，,y1*+p(x)y1*+q(x)y1*=f1(x)，,与,y2*+p(x)y2*+q(x)y2*=f2(x).,于是有,=f1(x)+f2(x)，,所以有,=y1*+p(x)y1*+q(x)y1*,+y2*+p(x)y2*+q(x)y2*,即y1*+y2*满足方程，,2020/5/2,.,64,二、二阶常系数线性微分方程的解法,如果二阶线性微分方程为,y+py+qy=f(x)，,其中p、q均为常数，,则称该方程为二阶常系数线性微分方程.,2020/5/2,.,65,设二阶常系数线性齐次方程为,y+py+qy=0.,考虑到左边p，q均为常数，,我们可以猜想该方程具有y=erx形式的解，其中r为待定常数.,将y=rerx,y=r2erx及y=erx代入上式，,erx(r2+pr+q)=0.,1.二阶常系数线性齐次方程的解法,由于erx0，因此，只要r满足方程,r2+pr+q=0，,即r是上述一元二次方程的根时，,y=erx就是式的解.,方程称为方程的特征方程.,特征方程根称为特征根.,得,2020/5/2,.,66,1特征方程具有两个不相等的实根r1与r2，,2特征方程具有两个相等的实根，,这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解y1=erx.,还需再找一个与y1线性无关的特解y2，,为此，设y2=u(x)y1，,其中u(x)为待定函数.,将y2及其一阶、二阶导数y2=(uerx)=erx(u(x)+ru(x)，,y2=erx(u(x)+2ru(x)+r2u(x)，代入方程y+py+qy=0中，得,因而它的通解为,所以y1与y2线性无关，,都是的解，,即r1r2.,那么，这时函数,即,2020/5/2,.,67,注意到是特征方程的重根，,所以有r2+pr+q=0,及2r+p=0.,且erx0，,因此只要u(x)满足,则y2=uerx就是式的解，,为简便起见，取方程u(x)=0的一个解u=x，,于是得到方程且与y1=erx线性无关的解y2=xerx.,因此，式的通解为,2020/5/2,.,68,3特征方程具有一对共轭复根r1=a+ib与r2=aib.,这时有两个线性无关的特解y1=e(a+ib)x与y2=e(a-ib)x.,这是两个复数解，,为了便于在实数范围内讨论问题，,我们再找两个线性无关的实数解.,由欧拉公式,(这公式我们将在无穷级数章中补证)，可得,2020/5/2,.,69,于是有,由定理1知，以上两个函数eaxcosbx与eaxsinbx均为式的解，,且它们线性无关.,因此，这时方程的通解为,2020/5/2,.,70,上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：,(1)写出所给方程的特征方程；,(2)求出特征根；,(3)根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.,.,71,特征根,方程的通解,一对共轭复根r1,2=i,两个不等的实根r1,r2,两个相等的实根r1=r2=r,(0),2020/5/2,.,72,例1求方程y-2y-3y=0的通解.,解该方程的特征方程为r2-2r3=0,它有两个不等的实根r1=-1，r2=3,其对应的两个线性无关的特解为y1=e-x与y2=e3x,所以方程的通解为,2020/5/2,.,73,例2求方程y-4y+4y=0的满足初始条件y(0)=1，y(0)=4的特解.,解该方程的特征方程为r2-4r+4=0，,求得,将y(0)=1，y(0)=4代入上两式，得C1=1，C2=2，,y=(1+2x)e2x.,其对应的两个线性无关的特解为y1=e2x与y2=xe2x，,所以通解为,因此，所求特解为,它有重根r=2.,2020/5/2,.,74,例3求方程2y+2y+3y=0的通解.,解该方程的特征方程为2r2+2r+3=0，它有共轭复根,对应的两个线性无关的解为,所以方程的通解为,2020/5/2,.,75,例4求方程y+4y=0的通解.,解该方程的特征方程为r2+4=0，它有共轭复根r1,2=2i.即a=0，b=2.,对应的两个线性无关的解y1=cos2x.,y2=sin2x.,所以方程的通解为,2020/5/2,.,76,2.二阶常系数线性非齐次方程的解法,1自由项f(x)为多项式Pn(x).,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=Pn(x),其中Pn(x)为x的n次多项式.,当原方程中y项的系数q0时，k取0；,当q=0，但p0时，,k取1；,当p=0，q=0时，k取2.,因为方程中p、q均为常数且多项式的导数仍为多项式，,所以可设式的特解为,其中Qn(x)与Pn(x)是同次多项式，,2020/5/2,.,77,例5求方程y-2y+y=x2的一个特解.,解因为自由项f(x)=x2是x的二次多项式，,则,代入原方程后，有,且y的系数q=10，取k=0.,所以设特解为,2020/5/2,.,78,比较两端x同次幂的系数，有,解得,A=1，B=4，C=6.,故所求特解为,2020/5/2,.,79,例6求方程y+y=x3x+1的一个特解.,解因为自由项f(x)=x3x+1是一个x的三次多项式，,则,代入原方程后，有,且y的系数q=0，p=10，取k=1.,所以设方程的特解为,2020/5/2,.,80,比较两端x同次幂的系数：,解得,故所求特解为,2020/5/2,.,81,2自由项f(x)为Aeax型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=Aeax，,其中a，A均为常数.,由于p，q为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，,其中B为待定常数，,当a不是式所对应的线性齐次方程的特征方程r2+pr+q=0的根时，取k=0；,当a是其特征方程单根时，取k=1；,当是其特征方程重根时，取k=2.,因此，我们可以设的特解,2020/5/2,.,82,例7求方程y+y+y=2e2x的通解.,解a=2它不是特征方程r2+r+1=0的根，取k=0，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,2020/5/2,.,83,例8求方程y+2y-3y=ex的特解.,解a=1是特征方程r2+2r-3=0的单根，取k=1，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,2020/5/2,.,84,3自由项f(x)为eax(Acoswx+Bsinwx)型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=eax(Acoswx+Bsinwx)，,其中a，A，B均为常数.,由于p，q为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，,正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，,因此,我们可以设有特解,其中C，D为待定常数.,取k=0，,是根时，,取k=1，,代入式，求得C及D.,当a+wi不是式所对应的齐次方程的特征方程的根时，,2020/5/2,.,85,例9求方程y+3y-y=excos2x的一个特解.,解自由项f(x)=excos2x为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，,则,且a+wi=1+2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程r2+3r1=0的根，,取k=0，所以设特解为,2020/5/2,.,86,代入原方程，得,比较两端cos2x与sin2x的系数，得,解此方程组，得,故所求特解为,2020/5/2,.,87,例10求方程y+y=sinx的一个特解.,解自由项f(x)=sinx为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，且a=0，w=1，,则,代入原方程，得,且a+wi=i是特征方程r2+1=0的根，,取k=1，所以，设特解为,2020/5/2,.,88