课标全国乙卷理

数学全国乙卷本试卷分第卷选择题和第卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合AX|X24X30，则ABAB3，323，32CD1，3232，3解析通过解不等式化简集合A，B，再利用交集定义求解X24X30，X，BERROR32ABX|13M2且N0，GX在0,2内至少存在一个极值点，FX2X2E|X|在0,2内至少存在一个极值点，排除C故选D答案D8若AB1,0B1,0BC，选项A不正确YX，1,0在0，上是减函数，当AB1,0BAC，选项B不正确AB1，LGALGB0，ALGABLGB0，又0LOGBC，选项D不正确答案C9执行如图所示的程序框图，如果输入的X0，Y1，N1，则输出X，Y的值满足AY2XBY3XCY4XDY5X解析执行程序框图，直至输出X，Y的值输入X0，Y1，N1，运行第一次，X0，Y1，不满足X2Y236；运行第二次，X，Y2，不满足X2Y236；12运行第三次，X，Y6，满足X2Y236，32输出X，Y632由于点在直线Y4X上，故选C32，6答案C10以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为25A2B4C6D8解析设出抛物线和圆的方程，将点的坐标代入，联立方程组求解设抛物线的方程为Y22PXP0，圆的方程为X2Y2R2|AB|4，|DE|2，25抛物线的准线方程为X，P2不妨设A，D4P，22P2，5点A，D在圆X2Y2R2上，4P，22P2，5ERROR85，P4负值舍去16P2P24C的焦点到准线的距离为4答案B11平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDM，平面ABB1A1N，则M，N所成角的正弦值为AB3222CD3313解析根据平面与平面平行的性质，将M，N所成的角转化为平面CB1D1与平面A1B1C1D1的交线及平面CB1D1与平面DCC1D1的交线所成的角设平面CB1D1平面ABCDM1平面平面CB1D1，M1M又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1M1B1D1M平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可证CD1N因此直线M与N所成的角即直线B1D1与CD1所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60，其正弦值为32答案A12已知函数FXSINX，X为FX的零点，X为YFX0，|244图象的对称轴，且FX在上单调，则的最大值为18，536A11B9C7D5解析先根据函数的零点及图象对称轴，求出，满足的关系式，再根据函数FX在上单调，则的区间长度不大于函数FX周期的，然后结合|计算的最18，53618，536122大值因为FXSINX的一个零点为X，X为YFX图象的对称轴，44所以KK为奇数T42又T，所以KK为奇数2又函数FX在上单调，18，536所以，即1212122若11，又|，则，此时，FXSIN，FX在上单调递增，2411X418，344在上单调递减，不满足条件344，536若9，又|，则，此时，FXSIN，满足FX在上单调的条249X418，536件故选B答案B第卷本卷包括必考题和选考题两部分第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答第2224题为选考题，考生根据要求作答二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13设向量AM,1，B1,2，且|AB|2|A|2|B|2，则M_解析先化简|AB|2|A|2|B|2，再利用向量数量积的坐标运算公式求解|AB|2|A|2|B|22AB|A|2|B|2，AB0又AM,1，B1,2，M20，M2答案2142X5的展开式中，X3的系数是_用数字填写答案X解析利用二项展开式的通项公式求解2X5展开式的通项为TR1C2X5RR25RCX5XR5XR5R2令53，得R4R2故X3的系数为254C2C104545答案1015设等比数列AN满足A1A310，A2A45，则A1A2AN的最大值为_解析利用等比数列通项公式求出首项A1与公比Q，再将A1A2AN的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数最值问题设等比数列AN的公比为Q，则由A1A310，A2A4QA1A35，知Q又12A1A1Q210，A18故A1A2ANAQ12N123NN112N1N223N2NN22N2N2272记TN27N，N227N212结合NN可知N3或4时，T有最大值6又Y2T为增函数，从而A1A2AN的最大值为2664答案6416某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料15KG，乙材料1KG，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料05KG，乙材料03KG，用3个工时生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150KG，乙材料90KG，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元解析设出产品A，B的产量，列出产品A，B的产量满足的约束条件，转化为线性规划问题求解设生产产品AX件，产品BY件，则ERROR目标函数Z2100X900Y作出可行域为图中的阴影部分包括边界内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为60,100，0,200，0,0，90,0当直线Z2100X900Y经过点60,100时，Z取得最大值，ZMAX210060900100216000元答案216000三、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17本小题满分12分ABC的内角A，B，C的对边分别为A，B，C，已知2COSCACOSBBCOSAC1求C；2若C，ABC的面积为，求ABC的周长7332思路方法1利用正弦定理将已知条件的边化为角，再利用两角和的正弦公式求角C；2根据1的结论，利用三角形面积公式求AB，再利用余弦定理求AB，从而求得三角形周长解析1由已知及正弦定理得2COSCSINACOSBSINBCOSASINC，即2COSCSINABSINC，故2SINCCOSCSINC可得COSC，所以C1232由已知得ABSINC12332又C，所以AB63由已知及余弦定理得A2B22ABCOSC7，故A2B213，从而AB225所以ABC的周长为5718本小题满分12分如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是601证明平面ABEF平面EFDC；2求二面角EBCA的余弦值思路方法1先证线面垂直，再证面面垂直；2建立空间直角坐标系利用法向量求解解析1证明由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC2过D作DGEF，垂足为G由1知DG平面ABEF以G为坐标原点，的方向为X轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角GFGF坐标系GXYZ由1知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则|DF|2，|DG|，可3得A1,4,0，B3,4,0，E3,0,0，D0,0，3由已知得ABEF，所以AB平面EFDC又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60从而可得C2,0，3所以1,0，0,4,0，3，4，4,0,0EC3EBAC3AB设NX，Y，Z是平面BCE的法向量，则ERROR即ERROR所以可取N3,0，3设M是平面ABCD的法向量，则ERROR同理可取M0，43则COSN，MNM|N|M|21919故二面角EBCA的余弦值为2191919本小题满分12分某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，N表示购买2台机器的同时购买的易损零件数1求X的分布列；2若要求PXN05，确定N的最小值；3以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在N19与N20之中选其一，应选用哪个思路方法1利用频率代替概率以及由互斥事件、相互独立事件的概率列出分布列；2根据1的结论求解；3利用期望值的大小求解解析1由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为02,04,02,02从而PX160202004；PX1720204016；PX18202020404024；PX192020220402024；PX2020204020202；PX2120202008；PX220202004所以X的分布列为X16171819202122P004016024024020080042由1知PX18044，PX19068，故N的最小值为193记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用单位元当N19时，EY1920006819200500021920025000081920035000044040；当N20时，EY20200088202005000082020025000044080可知当N19时所需费用的期望值小于当N20时所需费用的期望值，故应选N1920本小题满分12分设圆X2Y22X150的圆心为A，直线L过点B1,0且与X轴不重合，L交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E1证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；2设点E的轨迹为曲线C1，直线L交C1于M，N两点，过B且与L垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围思路方法1利用椭圆的定义求解；2设出直线方程代入椭圆方程中，利用弦长公式求出|MN|，再利用点到直线的距离公式求出|PQ|，从而将四边形面积问题转化为关于K的函数问题求解解析1因为|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|又圆A的标准方程为X12Y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4由题设得A1,0，B1,0，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1Y0X24Y232当L与X轴不垂直时，设L的方程为YKX1K0，MX1，Y1，NX2，Y2由ERROR得4K23X28K2X4K2120，则X1X2，X1X28K24K234K2124K23所以|MN|X1X2|1K212K214K23过点B1,0且与L垂直的直线MYX1，点A到直线M的距离为，1K2K21所以|PQ|24422K2124K23K21故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|1212114K23可得当L与X轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为12,83当L与X轴垂直时，其方程为X1，|MN|3，|PQ|8，故四边形MPNQ的面积为12综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8321本小题满分12分已知函数FXX2EXAX12有两个零点1求A的取值范围；2设X1，X2是FX的两个零点，证明X1X2F2X2，构造函数求解解析1FXX1EX2AX1X1EX2A设A0，则FXX2EX，FX只有一个零点设A0，则当X，1时，FX0，所以FX在，1内单调递减，在1，内单调递增又F1E，F2A，取B满足BB2AB12A0，A2B232B故FX存在两个零点设A0，因此FX在1，内单调递增又当X1时，FX1，故当X1，LN2A时，FX0因此FX在1，LN2A内单调递减，在LN2A，内单调递增又当X1时，FXF2X2，即F2X21时，GX1时，GX0在以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C24COS1说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；2直线C3的极坐标方程为0，其中0满足TAN02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求A思路方法1消去参数，求出曲线C1的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标互化公式求出曲线C1的极坐标方程；2将曲线C1，C2的极坐标方程联立得方程组，解方程组求解解析1消去参数T得到C1的普通方程为X2Y12A2，则C1是以0,1为圆心，A为半径的圆将XCOS，YSIN代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22SIN1A202曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组ERROR若0