数字信号处理第三版高西全版课后习题答案详解

1数字信号处理课后答案高西全、丁美玉版12教材第一章习题解答1用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。N解4212243056XNNNN2给定信号5,40,X其它（1）画出序列的波形，标上各序列的值；N（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列；XN（3）令，试画出波形；12X1XN（4）令，试画出波形；N2（5）令，试画出波形。3X3X解（1）XN的波形如题2解图（一）所示。（2）34331661264XNNN（3）的波形是XN的波形右移2位，在乘以2，画出图形如1题2解图（二）所示。2（4）的波形是XN的波形左移2位，在乘以2，画出图形如2XN题2解图（三）所示。（5）画时，先画XN的波形，然后再右移2位，波形3X3XN如题2解图（四）所示。3判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1），A是常数；3COS78XNN（2）。18JE解（1），这是有理数，因此是周期序列，周期是324,7WT14；（2），这是无理数，因此是非周期序列。,1685设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输XNY入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）；2132YNXNX（3），为整常数；0（5）；2YX（7）。0NM解（1）令输入为，输出为0XN0002132YNXXNYN故该系统是时不变系统。31212123YNTAXBNAXBNAXNB112222TBXNXX11AATNB故该系统是线性系统。（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。令输入为，输出为，因为1XN10YNXN1Y故延时器是一个时不变系统。又因为12102012TAXNBAXNBXNATXBN故延时器是线性系统。（5）2YNX令输入为，输出为，因为0XN200YNXY故系统是时不变系统。又因为2121221TAXBAXNBTXN因此系统是非线性系统。（7）0NMYX令输入为，输出为，因为0XN00N40NMYXYN故该系统是时变系统。又因为1212120NMTAXNBAXBATXNB故系统是线性系统。6给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）；10NKYNX（3）；0KN（5）。XYE解（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与N时刻的和1NN时刻以前的输入有关。如果，则，因此系统是稳XNMY定系统。（3）如果，因此系统是稳定的。XNM0021NKYXN系统是非因果的，因为输出还和XN的将来值有关（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于XN的未来值。如果，则，因此系统是稳定的。XNXNXMYNEE7设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题7图HNXN所示，要求画出输出输出的波形。Y解5解法（1）采用图解法0MYNXHXHN图解法的过程如题7解图所示。解法（2）采用解析法。按照题7图写出XN和HN的表达式2123XNNH因为XXNAKNK所以122YXNXN将XN的表达式代入上式，得到210521245324YNNN8设线性时不变系统的单位取样响应和输入分别有以下三HX种情况，分别求出输出。YN（1）；45,HNRX（2）；22（3）。50,NUXN解（1）45MYNXHRN先确定求和域，由和确定对于M的非零区间如下4RM503,4N6根据非零区间，将N分成四种情况求解0,NY03,1NM3447,8NNY,0最后结果为0,7138,4NYNYN的波形如题8解图（一）所示。（2）44422215YNRNRNYN的波形如题8解图（二）所示（3）55000NMNMMMYNXHRURUNYN对于M的非零区间为。4,0,NY11054,505025NNMNN54105,3NNNMY最后写成统一表达式75203105NNYRU11设系统由下面差分方程描述；1122YNXN设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。解令XN1122HNN20,011,2,13,NHNH归纳起来，结果为12NHUN12有一连续信号式中，COS,AXTFT20,FHZ（1）求出的周期。AT（2）用采样间隔对进行采样，试写出采样信号的02TSAXTAXT表达式。（3）画出对应的时域离散信号序列的波形，并求出AXTXN的周期。XN第二章8教材第二章习题解答1设和分别是和的傅里叶变换，试求下面序列JWXEJYXNY的傅里叶变换（1）；0XN（2）；（3）；XY（4）。N解（1）00JWNNFTXXE令，则00,N00JWNJWNJNTXXEXE（2）JWJNJNNFE（3）JWNTXX令，则NJWNJWNFTXXEX（4）JJYYE证明MXNXNJWNNFTYYE9令KNM，则JWKJNKMJWKJKJJFTXNYXYEXEY2已知01,JWXE求的傅里叶反变换。JXN解00SIN12WJNED3线性时不变系统的频率响应传输函数如果单,JJWJHE位脉冲响应为实序列，试证明输入的稳态响应HN0COSXNA为。00COSJWYAHEW解假设输入信号，系统单位脉冲相应为HN，系统输出为0JWNXE0000JWNJWNMJWNJWMJMYNHHEHEHE上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。0000000000001COS212JWNJWNJJWNJJJJJJWJWNJJWXNAAEEYEHEEHE10上式中是W的偶函数，相位函数是W的奇函数，JHE000000,12COSJJWJJNJNJWJWEYNAEE4设将以4为周期进行周期延拓，形成周期序列,0X其它X，画出和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅NNXNAXK里叶变换。解画出XN和的波形如题4解图所示。XN,23142200444COSJKNJKNJKNJKJJKJKXDFSXEEE以4为周期，或者K,111122240244SIN2JKJJKJKJKNJKJJJJEEXE以4为周期K4242COS2JWKKJKKXEFTXNXWKE5设如图所示的序列的FT用表示，不直接求出，XNJWXJWXE完成下列运算（1）；0JXE11（2）；JWXED（5）2J解（1）7036JNXEX（2）24JWD（5）72238JNXEX6试求如下序列的傅里叶变换（2）；2112XN（3）3,0AU解（2）22121COSJWJWNJJWNJJXEXEE（3）301JWNJWNNJWJWXEAUEAE7设（1）是实偶函数，XN（2）是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，的傅里XN叶变换性质。解12令JWJWNNXEXE（1）XN是实、偶函数，JWJWNNXEXE两边取共轭，得到JWJWNJWNJWNEXEXEXE因此JWJXE上式说明XN是实序列，具有共轭对称性质。JWXECOSINJWJNNEXXWJ由于XN是偶函数，XNSINWN是奇函数，那么SIN0NX因此COSJWNXEX该式说明是实函数，且是W的偶函数。J总结以上XN是实、偶函数时，对应的傅里叶变换是实、偶函JWXE数。（2）XN是实、奇函数。上面已推出，由于XN是实序列，具有共轭对称性质，即JWXEJJCOSINJWJWNNXEXEXJ由于XN是奇函数，上式中是奇函数，那么S13COS0NXWN因此SIJNXEXN这说明是纯虚数，且是W的奇函数。JW10若序列是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式H1COSJWRHE求序列及其傅里叶变换。HNJWHE解/211COS2,201,1,0,2,COSJWJWJJWNREENEEJWJWNJWJNHEEFTHNHHHHE其它12设系统的单位取样响应，输入序列为,01NHAU，完成下面各题2XN（1）求出系统输出序列；YN（2）分别求出、和的傅里叶变换。XH解（1）22NNYHXAUN14（2）20211JWJWNJWNJJWNJJJWJWJJXEEHAUAEEYEXA13已知，式中，以采样频率对02COSAXTFT0FHZ40SFHZ进行采样，得到采样信号和时域离散信号，试完成下面AXTAXTXN各题（1）写出的傅里叶变换表示式；AXTAXJ（2）写出和的表达式；N（3）分别求出的傅里叶变换和序列的傅里叶变换。AXTXN解（1）0002COSJTJTAAJTJTJTXJXEDED上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成002AXJ（2）02COSAANNXTTTTTN02COS,01,25SFRADTMF15（3）0012AASKSSKXJXJKTK式中280/SSFRADS0000002CO2COS2JWJWNJWNJWNNJJJNKXEXETEEKK式中05TRAD上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。14求以下序列的Z变换及收敛域（2）；1NU（3）；（6）0N解（2）10222,2NNNZTUUZZZ（3）11121222,NNNNNZTUUZZZZ（6）16901022,NNZTUZ16已知1132XZZ求出对应的各种可能的序列的表达式。XZ解有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）当收敛域时，05Z112NCXNXZZDJA令1115757002NNNZFZXZZ，因为C内无极点，XN0；0N，C内有极点0，但Z0是一个N阶极点，改为求圆外极点留1数，圆外极点有，那么125,Z052REE,27701321NNZZNXSFSFZZUA（2）当收敛域时，5Z5702NZF17，C内有极点05；0N1RE,0532NXNSFZA，C内有极点05，0，但0是一个N阶极点，改成求C外极点留数，C外极点只有一个，即2，RE,21NXNSFZUA最后得到1312NXUA（3）当收敛域时，Z5702NZF，C内有极点05，2；0N1RE,5E,32NXNSZSZAN0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此XN0。或者这样分析，C内有极点05，2，0，但0是一个N阶极点，改成求C外极点留数，C外无极点，所以XN0。最后得到132NXUA17已知，分别求,0NXAU（1）的Z变换；（2）的Z变换；NX（3）的Z变换。AU解（1）1,NNXZZTAUAUZZA18（2）12,DAZZTNXZX（3）100,1NNNAUZZA18已知，分别求1235ZXZ（1）收敛域对应的原序列；0XN（2）收敛域对应的原序列。2Z解112NCXNXZDJA1112335052NNNZFZXZ（1）当收敛域时，内有极点05，0520C,RE,2NXNSFZC内有极点05,0,但0是一个N阶极点,改求C外极点留数,C外极点只有2,RE,2NXSFZ最后得到21NNNXU（2（当收敛域时，ZC内有极点05,2,0,NRE,05E,2XSFZSFZ3205NN19C内有极点05,2,0,但极点0是一个N阶极点,改成求C外极点留0,N数,可是C外没有极点,因此,最后得到XN52NU25已知网络的输入和单位脉冲响应分别为，,01,NNXAUHBAB试（1）用卷积法求网络输出；YN（2）用ZT法求网络输出。解（1）用卷积法求YN，,MNHXBUA0N，1100NNNNMMBYABA0Y最后得到1NABYU（2）用ZT法求N11,XZHZABYZ12NCYNYZDJA令111NNZFZYZABAB20,C内有极点0N,AB11RE,E,NNABAYNSFZSZ因为系统是因果系统，,，最后得到0NY1NABU28若序列是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式HN21COS,1JWRAHEW求序列及其傅里叶变换。J解221COS105JWJJWRAAEHE12105JJRZZZ求上式IZT，得到序列的共轭对称序列。HNEHN112ERCHZDJA21105NNRAFZZZ因为是因果序列，必定是双边序列，收敛域取HNEH。1AZ时，C内有极点,A21051RE,2NNEAZHNSFZZAZN0时，C内有极点,0，A2121105NRAZFZHZZ所以E,E,01EHNSZASFZ又因为EEHN所以1,05,NEHA,20,ENNNAU01JWNJWJWHEAE32教材第三章习题解答1计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间内,序列定义01NN为（2）；XN（4）；,0MRN（6）；2COSX（8）；0INNW（10）。XR22解（2）1,0,11010NKNWNKXNNK（4）1,0,SIN1110KMEKNJKMNNK10,01122221002NKMNKEEEKMJNJKMNJJNKJNNKMJ或且（6）KNNJMJNNNJNNKEEWKX22102102COS（8）解法1直接计算21SIN0008NREJRWXNJWNN1021080NKNJJJWNNKEWKX221022000011KNWJJKNWJJNNNNWJWJEE）（）（解法2由DFT的共轭对称性求解因为SINCOS0070RWJNRENXNNJWIMI78XN23所以IM7078KXNXJDFTNJXT即2177708KNKXJKJKX1121122220000KNWJJKNWJJKNWJJKNWJJEEEE结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。（10）解法11,010NKNWKXN上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解XK。因为NRXN所以1NXNN等式两边进行DFT得到KWKXN故1,2,1NK当时，可直接计算得出X（0）0K211010NWNNN这样，X（K）可写成如下形式1,2,1,NKWKXN24解法2时，0K2110NNKX时，0KNWNKXWNKNNNKNKKKNNKK10114322所以，,1KKXN即1,2,10,NKWKXN2已知下列，求KXNIDFT（1）,2,0JJNEMXKK其它（2）,2,0JJNEKMXKK其它解25（1）1,0,2COS21211220NNMNEEEWKXIDFTNXMNNJMNJNMNJMNJKN（2）NMNJMNNJWEENX2211,0,2SINNJNJN3长度为N10的两个有限长序列1,0459NX21,0459NX作图表示、和。1N212Y解、和分别如题3解图（A）、（B）、（C）所示。1X212YXN14两个有限长序列和的零值区间为XY0,82NN对每个序列作20点DFT,即,01,9XKDFTXNKYY如果26,01,9FKXYKFNIDT试问在哪些点上，为什么XY解如前所示，记，而。FNXYNYXKFIDTNFNFL长度为27，长度为20。已推出二者的关系为FMLNRNFF2020只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足所以NFFL197,NYNXFNFL15用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率，信号最50FHZ高频率为1KHZ，试确定以下各参数（1）最小记录时间；MINPT（2）最大取样间隔；AX（3）最少采样点数；MINN（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。解（1）已知HZF50SFTP0251MIN（2）FFT0213AXMINAX（3）41503INSNP27（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为004S实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）8054MINSN18我们希望利用长度为N50的FIR滤波器对一段很长的数据H序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与的LHN点（本题取L128）循环卷积，得到输出序列，M表示第M段Y计算输出。最后，从中取出个，使每段取出的个采样点连MYN接得到滤波输出。（1）求V；（2）求B；（3）确定取出的B个采样应为中的哪些采样点。MYN解为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列的序列标号为MYN0，1，2，,127。先以与各段输入的线性卷积考虑，中，第0点到HNYLMYLM48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列的一段，即B51。所NY以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的，必须重叠1005149个点，即V49。NY下面说明，对128点的循环卷积，上述结果也是正确的。MYN28我们知道RLMMNRRNYY128128因为长度为NYLMNM1501001149所以从N20到127区域，当然，第49点到第99点NYLM二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的。MYN综上所述，总结所得结论V49,B51选取中第4999点作为滤波输出。MYN52教材第五章习题解答1设系统用下面的差分方程描述，3112483YNYNXN试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。解3112483YNYNXN将上式进行Z变换121YZZYZXZ12348HZ（1）按照系统函数，根据MASSON公式，画出直接型结构如题Z1解图（一）所示。29（2）将的分母进行因式分解HZ12348ZHZ12Z按照上式可以有两种级联型结构A11324ZHZZ画出级联型结构如题1解图（二）（A）所示B11324ZHZZ画出级联型结构如题1解图（二）（B）所示（3）将进行部分分式展开Z1324ZHZ11ZABZZ032324AZZ1714BZZ30107324HZZ1131ZZZ根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。2设数字滤波器的差分方程为，21YNABYNAYXNABXNAX试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。解将差分方程进行Z变换，得到1221YZABZAYZXZABXZABZ12BH（1）按照MASSION公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。（2）将的分子和分母进行因式分解HZ112AZBHZ按照上式可以有两种级联型结构A11ZA21ZBH画出级联型结构如题2解图（二）（A）所示。31B11ZAHB21ZA画出级联型结构如题2解图（二）（B）所示。3设系统的系统函数为，1124405908ZZHZ试画出各种可能的级联型结构。解由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。12HZZ（1），11405Z221098ZZ画出级联型结构如题3解图（A）所示。（2）,121405ZHZ212098ZZ画出级联型结构如题3解图（B）所示。4图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图D解32D12345HNHNHN134HN1245HZZHZHZ5写出图中流图的系统函数及差分方程。图D解D11222SIN1COSCOCOSRZHZRZRZ12IN2RCOSSIN1YNRYX6写出图中流图的系统函数。图F解F1122433848ZZHZ8已知FIR滤波器的单位脉冲响应为，14HNN试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。解已知频率采样结构的公式为110NKKHHZWZ式中，N5140014NKNKNNNKDFTHN3328551,01,234JKJKE它的频率采样结构如题8解图所示。62教材第六章习题解答1设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率，通6PFKHZ带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。3PADB12SFKHZ3SADB求出滤波器归一化传输函数以及实际的。APAS解（1）求阶数N。LGSPKN010325162PSASPK360SSP将和值代入N的计算公式得SPKSLG5241所以取N5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）（2）求归一化系统函数，由阶数N5直接查表得到5阶巴特AHP沃斯归一化低通滤波器系统函数为A5432132615631APPP34或221068681AHPPP当然，也可以按（612）式计算出极点12,0,34KJNKPE按（611）式写出表达式AH401AKKP代入值并进行分母展开得到与查表相同的结果。KP（3）去归一化（即LPLP频率变换），由归一化系统函数得AHP到实际滤波器系统函数。AHS由于本题中，即，因此3PADB32610/CPRADSAACHSS55423324532615616161CCCCCSSSSS对分母因式形式，则有AACHSPS522206181680CCCCCSSS如上结果中，的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3DB截止频率对归一化系统函数的改变作用。2设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率，通3PFKHZ35带最在衰减速，阻带截止频率，阻带最小衰减02PADB12SFKHZ。求出归一化传输函数和实际的。50SADBAPAS解（1）确定滤波器技术指标，02PADB32610/PPFRADS5,4SSS1,SPP（2）求阶数N和1SARCHKN011456SPAK389ARCHN为了满足指标要求，取N4。01271PA（2）求归一化系统函数AH41127386ANKKKKPPP其中，极点由6238式求出如下K12SINCOS,2,342PCHJHKNN105847ARR1058SI058CS1075CJJ36233058SIN058COS1075438PCHJHJ347SICS188CJJ（3）将去归一化，求得实际滤波器系统函数AHPAHSAACHSPS441173687368PPKKKKSS其中，因为，所以3610,2,4KPKKSP4132,。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶4132,因子的形式，其系数全为实数。1622212780REREAHSSSS162482487067309397901S4已知模拟滤波器的传输函数为AHS1；2ASAHB2。式中，A,B为常数，设因果稳定，试采2ASAS用脉冲响应不变法，分别将其转换成数字滤波器。HZ解该题所给正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，AHS求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的37的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。AHS（1）2SAB的极点为AS，1JB2SAJ将部分分式展开（用待定系数法）AH122AASBSS12121212ASAAB比较分子各项系数可知A、B应满足方程121ASA解之得12,A所以211110505KSTAJBTAJBTKHZEZEZEZ22ASJBSAJB211110505KSTAJBTAJBTKAHZEZEZEZ按照题目要求，上面的表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个38极点共轭对称，所以将的两项通分并化简整理，可得HZ112COS2ATATEBZ用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。（2）2ABHS的极点为AHS，1SAJB2SAJB将部分分式展开AS122AJJHSBSAB110505AJTJTZEZEZ通分并化简整理得112SIN2COATATZBHZEEZ5已知模拟滤波器的传输函数为（1）；21AS（2）试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其23AHS转换为数字滤波器，设T2S。解（1）用脉冲响应不变法21AHS39方法1直接按脉冲响应不变法设计公式，的极点为AHS，13052SJ3052SJ33050522AJJHSS33050511221JTJTZE