解析几何专题含答案

1椭圆专题练习1【2017浙江，2】椭圆的离心率是2194XYABCD135323592【2017课标3，理10】已知椭圆C，（AB0）的左、右顶点分别为A1，A2，21XY且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为0BABCD63323133【2016高考浙江理数】已知椭圆C12XMY21M1与双曲线C2XNY21N0的焦点重合，E1，E2分别为C1，C2的离心率，则（）AMN且E1E21BMN且E1E21DMB0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（2XY21，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上3232（1）求C的方程；（2）设直线L不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明L过定点8【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作X轴的垂21XY线，垂足为N，点P满足。2N1求点P的轨迹方程；2设点Q在直线上，且。证明过点P且垂直于OQ的直线L过C的左焦3X1OPQ点F。9【2017山东，理21】在平面直角坐标系XY中，椭圆E21XYAB0的离心率为2，焦距为（）求椭圆E的方程；（）如图，动直线132YKX交椭圆E于,AB两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为2K，且124，M是线段OC延长线上一点，且23MAB，的半径为MC，,OST是A的两条切线，切点分别为,ST求O的最大值，并求取得最大值时直线的斜率310【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率210XYABFA为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为12A20YPF12（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与PQAPBABQ轴相交于点若的面积为，求直线的方程DA6211【2017江苏，17】如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦XOY210XYEAB点分别为,离心率为,两准线之间的距离为8点在椭圆上，且位于第一象限，1F21P过点作直线的垂线,过点作直线的垂线P2F2P（1）求椭圆的标准方程；E（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标QEF1OF2XY第17题12【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆2150XY的圆心为A,直线L过点B（1,0）且与X轴不重合,L交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E（I）证明EA为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线L交C1于M,N两点,过B且与L垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围13【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系XOY中，椭圆C210XYAB的离心率是32，抛物线E2XY的焦点F是C的一个顶点（I）求椭圆C的方程；4（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于X轴的直线交于点M（I）求证点M在定直线上（II）直线与Y轴交于点G，记F的面积为1S，PD的面积为2S，求1的最大值及取得最大值时点P的坐标【答案】（）142YX（）（I）见解析；（II）12S的最大值为49，此时点P的坐标为41,2【解析】试题分析（）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（）（I）由点P的坐标和斜率设出直线L的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；（II）分别列出1S，2面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标试题解析（）（I）设02,MP，由YX2可得X/，5所以直线的斜率为M，因此直线的方程为2XY，即2MXY设,021DXBA，联立方程241XY得144432MM，由0，得5且14231MX，因此42310MX,将其代入2Y得1420Y，因为X410，所以直线OD方程为XMY联立方程MXY，得点M的纵坐标为M14，即点M在定直线41Y上（II）由（I）知直线方程为2MX，令0X得2Y，所以,0G，又1,MPFD142,3M，所以4|21GS，182|202MXPM，所以222114S，6令12MT，则2112TTS，当T，即T时，21取得最大值49，此时M，满足0，所以点P的坐标为4,，因此12S的最大值为，此时点P的坐标为41,2考点1椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2直线与圆锥曲线的位置关系；3二次函数的图象和性质14【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系XOY中，已知椭圆210XYAB的离心率为2，且右焦点F到左准线L的距离为3（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线L和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程【答案】（1）21XY（2）1YX或X【解析】试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可一是离心率为2，二是右焦点F到左准线L的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB过F，所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量首先利用直7线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用PC2AB解出直线AB斜率,写出直线AB方程（2）当XA轴时，2，又C3，不合题意当与轴不垂直时，设直线A的方程为1YKX，1,YA，2,XY，将的方程代入椭圆方程，得222140，则221,KKX，C的坐标为22,1K，且22222111KYKXA若0K，则线段的垂直平分线为Y轴，与左准线平行，不合题意从而，故直线C的方程为2211KKX，则点的坐标为25,1K，从而23CK因为C2A，所以2223141K，解得1K此时直线方程为YX或X【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系815【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆132YAX（3A）的右焦点为F，右顶点为A，已知|1FAEO，其中O为原点，为椭圆的离心率（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆交于点B（不在X轴上），垂直于的直线与交于点M，与Y轴交于点H，若F，且MAO，求直线的斜率的取值范围【答案】（）2143X（）,46,【解析】试题分析（）求椭圆标准方程，只需确定量，由13|COFA，得13CCA，再利用223ACB，可解得2C，24A（）先化简条件MOA|AMO，即M再OA中垂线上，1MX，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B；利用两直线方程组求H，最后根据FB，列等量关系解出直线斜率取值范围试题解析（1）解设,0FC，由13|COA，即13CA，可得223AC，又23AB，所以2C，因此24A，所以椭圆的方程为14XY（2）（）解设直线的斜率为K（0），则直线的方程为2XKY设,BY，由方程组21342XKY，消去Y，整理得016134222X解得，或682，由题意得342KB，从而342KYB9由（）知，0,1F，设,HY，有,1HYF，3412,92KBF由HB，得，所以034292K，解得YH2因此直线M的方程为KXY14所以，直线的斜率的取值范围为,46,考点椭圆的标准方程和几何性质，直线方程16【2015高考山东，理20】平面直角坐标系XOY中，已知椭圆210XYCAB的离心率为32，左、右焦点分别是12,F，以1为圆心以3为半径的圆与以2F为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上求椭圆的方程；（）设椭圆214XYEAB，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线YKXM交椭圆于,AB两点，射线O交椭圆E于点QI求QP的值；10（II）求ABQ面积的最大值【答案】（I）214XY；（II）I2；（II）63【解析】试题分析（I）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定,AB的值，从而得到椭圆的方程；（II）（I）设0,PXY，OQ，由题意知0,XY，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定的值（II）设12,AXYB，利用方程组2164KXMY结合韦达定理求出弦长AB，选将O的面积表示成关于,KM的表达式2221641KSMX22414K，然后，令214MTK，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出OAB的面积的最大值，并结合（I）的结果求出面积的最大值试题解析（I）由题意知24A，则2,又223,CACB可得1,所以椭圆C的标准方程为21XY（II）由（I）知椭圆E的方程为264,（I）设0,PXY，OQ，由题意知0,XY因为2014XY,又22001164，即2014Y,所以，即OQP11所以221246KMX因为直线Y与轴交点的坐标为0,所以OAB的面积2221641KMSX22221644KMK令214TK,将YKX代入椭圆C的方程可得2214840KXM由0，可得2214M由可知T因此2ST,故23S当且仅当1T，即4K时取得最大值由（I）知，ABQ面积为3,所以ABQ面积的最大值为6317【2015高考陕西，理20】（本小题满分12分）已知椭圆21XYAB（0A）的半焦距为，原点到经过两点,0C，120,B的直线的距离为12C（I）求椭圆的离心率；（II）如图，A是圆2251XY的一条直径，若椭圆经过A，两点，求椭圆的方程【答案】（I）32；（II）213XY【解析】试题分析（I）先写过点,0C，,B的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；（II）先由（I）知椭圆的方程，设A的方程，联立2214YKXB，消去Y，可得12X和1的值，进而可得，再利用10可得B的值，进而可得椭圆的方程试题解析（I）过点,0C，,B的直线方程为BXCY，则原点到直线的距离2CDA，由12DC，得2ABC，解得离心率32II解法一由（I）知，椭圆的方程为24XYB1依题意，圆心,1是线段A的中点，且|B10易知，A不与轴垂直，设其直线方程为2YKX，代入1得221484KXKXB设12,YB,则21212841,KKBX由124X，得284,K解得13从而2128XB于是2212115|AB|40XXXB由|10，得0B，解得23B故椭圆的方程为213XY解法二由（I）知，椭圆的方程为224XYB因此A直线方程为12YX，代入2得22480XB所以124X，128B于是2212115|B|40XXXB由|A10，得0B，解得23B故椭圆的方程为213XY考点1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置1418【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆21XYA（A1）（I）求直线YKX1被椭圆截得的线段长（用A、K表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围【答案】（I）221AK；（II）20E【解析】试题分析（I）先联立1YKX和21YA，可得1X，2，再利用弦长公式可得直线1YKX被椭圆截得的线段长；（II）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点0,1A为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时，A的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围试题解析（I）设直线1YKX被椭圆截得的线段为A，由21YKXA得2210AKX，故10X，221AK因此22211AKKXA（II）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设Y轴左侧的椭圆上有两个不同的点，Q，满足15QA记直线，的斜率分别为1K，2，且1K，20，12K由（I）知，221AKA，22Q1AKA，故因此22211AK，因为式关于1，2K的方程有解的充要条件是2A，所以A因此，任意以点0,A为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为12，由1CAE得，所求离心率的取值范围为20E考点1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率19【2015高考新课标2，理20】（本题满分12分）已知椭圆290CXYM,直线不过原点O且不平行于坐标轴，与C有两个交点A，16B，线段A的中点为M证明直线O的斜率与的斜率的乘积为定值；（）若过点,3M，延长线段与C交于点P，四边形OAB能否为平行四边形若能，求此时的斜率，若不能，说明理由【答案】详见解析；（）能，47或【解析】设直线LYKXB0,，1,AXY，2,B，,MXY将YKXB代入229M得2290KBM，故12M，29YKXB于是直线OM的斜率9MOYKXK，即9OMK所以直线O的斜率与的斜率的乘积为定值（）四边形APB能为平行四边形因为直线过点,3M，所以不过原点且与C有两个交点的充要条件是0K，3由得OM的方程为9YXK设点P的横坐标为PX由229,YXM得2981PKMX，即239PMK将点,3的坐标代入直线的方程得3KB，因此23MK四边形OAB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即PX于是29M239MK解得147K，247K因为0,3IIK，1，所以当的斜率为47或时，四边形OAPB为平行四边形【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系【名师点睛】题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解设端点,AB的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB的中点和直线的斜率；设直线的17方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB的中点，并寻找两条直线斜率关系；（）根据中结论，设直线OM方程并与椭圆方程联立，求得M坐标，利用2PMX以及直线过点,3M列方程求的值20【2016高考新课标2理数】已知椭圆E213XYT的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为0K的直线交于,AM两点，点N在上，MN（）当4,|T时，求的面积；（）当2时，求K的取值范围【答案】（）149；（）32,【解析】试题解析（I）设1,MXY，则由题意知10Y，当4T时，E的方程为2143XY，2,0A由已知及椭圆的对称性知，直线A的倾斜角为4因此直线AM的方程为2YX将2XY代入2143XY得270Y解得或127Y，所以17因此AMN的面积49（II）由题意3T，0K，,AT将直线A的方程YXT代入213XYT得2230TKXTKT由213TKX得21TK，故2216TAMTK18由题设，直线AN的方程为1YXTK，故同理可得2613KTAN，由2M得23TT，即32TK当3K时上式不成立，因此321TT等价于232310KK，即30K由此得302K，或302K，解得因此的取值范围是,考点椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系21【2015高考四川，理20】如图，椭圆E210XYAB的离心率是2，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与X轴时，直线被椭圆E截得的线段长为21求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系XOY中，是否存在与点P不同的定点Q，使得APB恒成立若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）214XY；（2）存在，Q点的坐标为0,2Q【解析】（1）由已知，点,在椭圆E上因此，22,ABC19解得2,AB所以椭圆的方程为214XY所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为0,2Q下面证明对任意的直线，均有|APB当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立当直线的斜率存在时，可设直线的方程为1YKX，A、B的坐标分别为12,XY联立21,4XYK得2420KX其判别式2268，所以，1212224,XXKK因此1122易知，点B关于Y轴对称的点的坐标为2,BXYXYPABF2F1OB1BQ20又121212,QAQBYYKKKXXX，所以B，即,A三点共线所以12|PX故存在与P不同的定点0,Q，使得|APB恒成立22【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C21XYAB（0A）的离心率为32，,0AA，,BB，0,O，OAB的面积为1（1）求椭圆C的方程；（2）设P的椭圆上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与X轴交于点N求证MN为定值【答案】（1）214XY；（2）详见解析【解析】试题分析（1）根据离心率为32，即CA，OAB的面积为1，即2AB，椭圆中22ABC列方程求解；（2）根据已知条件分别求出N，|M的值，求其乘积为定值21所以椭圆C的方程为142YX（2）由（）知，,0,BA，设,0YXP，则20Y当0时，直线的方程为20XY令X，得20XYM从而10XYBM直线PB的方程为10令0Y，得0YXN从而120YXAN所以21200XYBMA284844000020YXYXYX4当0时，1，,2,ANB所以4MAN综上，为定值考点1椭圆方程及其性质；2直线与椭圆的位置关系23【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E210XYAB的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线3L与椭圆E有且只有一个公共点T（）求椭圆E的方程及点T的坐标；（）设O是坐标原点，直线L平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线L交于22点P证明存在常数，使得2PTAB，并求的值【答案】（）2163XY，点T坐标为（2,1）；（）45【解析】试题分析（）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得2AC，从而可得2AB，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，方程有两个相等实根，解出B的值，从而得到椭圆的标准方程；（）首先设出直线L方程为12YXM，由两直线方程求出点P坐标，得2T，同时设交点1,AXB，把L方程与椭圆方程联立后消去Y得X的二次方程，利用根与系数关系，得2，再计算PAB，比较可得值试题解析（I）由已知，22AC，即AC，所以2AB，则椭圆E的方程为21XYB由方程组2,3BYX得22180XB方程的判别式为24，由，得23，此方程的解为X，所以椭圆E的方程为2163Y点T坐标为（2,1）23由方程组2163XYM，可得22410XM方程的判别式为2169，由0，解得32由得21214,33XX所以2211153MMPAYX，同理2523BX，所以1243MPAX2121543X243MM2109故存在常数45，使得2PTAB考点椭圆的标准方程及其几何性质2424【2015高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆210XYAB的左、右焦点分别为12,F过的直线交椭圆于,PQ两点，且1PFF2F1PQYXO（1）若12,P，求椭圆的标准方程（2）若F求椭圆的离心率E【答案】（1）2Y14X；（2）63【解析】试题解析（1）本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数的值，而由1PQF，应用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；（2）要求椭圆的离心率，就是要找到关于,ABC的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应用椭圆定义，设1M，则2，222QFPMAA，于是有24QFA，这样在1RT中求得，在1RTP中可建立关于,C的等式，从而求得离心率1由椭圆的定义，12|PF|24A，故2设椭圆的半焦距为C，由已知，因此2222121|F|3C，即C从而BAC25故所求椭圆的标准方程为2Y14X222222221|PFCCBAABABAB由椭圆的定义，1212|PF|,|QF|,从而由122|PF|Q|PF|，有1|Q4|A又由2，1|知11|P，因此12|4A于是24BA解得1163E解法二如图21图由椭圆的定义，1212|PF|,|QF|AA,从而由122|PF|Q|PF|，有|4|又由，1|知11|Q|，因此114|P|F,1|A,从而2|PF22AA由2PF,知1|C，因此222|PF1963CEA【考点定位】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力2625【2015高考安徽，理20】设椭圆E的方程为210XYAB，点O为坐标原点，点A的坐标为0A，点B的坐标为0B，点M在线段AB上，满足2BM，直线OM的斜率为51（I）求E的离心率E；（II）设点C的坐标为0B，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求E的方程【答案】（I）5；（II）2149XY【解析】（I）由题设条件知，点M的坐标为2,3AB，又510OMK，从而5210BA，进而得25,ABCAB，故5CE（II）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线AB的方程为15XYB，点N的坐标为51,2B，设点N关于直线的对称点S的坐标为17,2X，则线段S的中点T的坐标为17,424XB又点T在直线AB上，且NSABK,从而有1151725BBX解得3B，所以5A，故椭圆E的方程为21459XY27【考点定位】1椭圆的离心率；2椭圆的标准方程；3点点关于直线对称的应用26【2015高考福建，理18】已知椭圆E21A0XYB过点,2），且离心率为2XYBAOG求椭圆E的方程；设直线1XMYR，交椭圆E于A，B两点，判断点G94,0与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由【答案】21XY；G94,0在以AB为直径的圆外【解析】解法一由已知得22,BCA解得2ABC，所以椭圆