解线性方程组的直接方法

1,第5章解线性方程组的直接方法,2,5.1引言与预备知识,5.1.1引言,线性方程组的数值解法一般有两类：,1.直接法,经过有限步算术运算，可求得方程组精确解的方法(若计算过程中没有舍入误差).,但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解.,3,2.迭代法,是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法.,4,5.1.2向量和矩阵,用表示全部实矩阵的向量空间，表示全部复矩阵的向量空间.,这种实数排成的矩形表，称为行列矩阵.,称为维列向量.,5,其中为的第列.,其中为的第行.,也可写成行向量的形式,写成列向量的形式,6,(5)单位矩阵,矩阵的基本运算：,(1)矩阵加法,(2)矩阵与标量的乘法,(3)矩阵与矩阵乘法,(4)转置矩阵,7,(6)非奇异矩阵,设,则称是,如果存在，,则称为非奇异矩阵.,如果均为非奇异矩阵，,其中,如果,的逆矩阵，,记为,且,则,(7)矩阵的行列式,设,则的行列式可按任一行(或列)展开，,8,其中为的代数余子式，,行列式性质：,即,的余子式.,为元素,9,5.1.3特殊矩阵,设,(1)对角矩阵,(2)三对角矩阵,(3)上三角矩阵,(4)上海森伯格（Hessenberg）阵,(5)对称矩阵,10,(6)埃尔米特矩阵,(7)对称正定矩阵,(8)正交矩阵,(9)酉矩阵,(10)初等置换阵,由单位矩阵交换第行与第行(或交换第列与第列)，得到的矩阵记为,且,11,(11)置换阵,定理1,设，,(1)对任何方程组有唯一解.,（为交换第行与第行得到的矩阵）；,（为交换第列与第列得到的矩阵）；,由初等置换阵的乘积得到的矩阵.,则下述命题等价：,(2)齐次方程组只有唯一解.,(4)存在.,(5)的秩,(3),12,定理2,设为对称正定阵，则,(1)为非奇异矩阵，且亦是对称正定阵.,(2)记为的顺序主子阵，则,亦是对称正定矩阵，,其中,(3)的特征值,(4)的顺序主子式都大于零，即,13,定理3,设为对称矩阵.,或的特征值,则为,定理4(Jordan标准型),设为阶矩阵，则存在一个,非奇异矩阵使得,如果,对称正定阵.,14,其中,为若当（Jordan）块.,(1)当的若当标准型中所有若当块均为一阶时，,此标准型变成对角矩阵.,15,(2)如果的特征值各不相同，则其若当标准型必为,对角阵,16,5.2高斯消去法,17,5.2.1高斯消去法,设有线性方程组,（2.1）,或写为矩阵形式,18,简记为,例1,解,消去(2.4)中的未知数得到,将方程(2.2)乘上加到方程(2.4)上去，,第2步.,用消去法解方程组,第1步.,将方程(2.3)加到方程(2.5)上去，消去方程,19,(2.5)中的未知数,得到与原方程组等价的三角形方程组,显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为,上述过程相当于,20,其中用表示矩阵的第行.,由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消去未知数的方法把原方程组化为与其等价的三角形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.,上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的问题转化为求解简单方程组的问题.,21,或者说，对系数矩阵施行一些左变换(用一些简单矩阵)将其约化为上三角矩阵.,下面讨论求解一般线性方程组的高斯消去法.,将(2.1)记为其中,(1)第1步,设首先计算乘数,用乘(2.1)的第一个方程，加到第个方程上，,消去(2.1)的从第二个方程到第个方程中,22,的未知数得到与(2.1)等价的方程组,（2.7）,简记为,其中的元素计算公式为,23,(2)第次消元,设上述第1步，第步消元过程计算已经完成，,（2.8）,即已计算好与(2.1)等价的方程组,简记为,24,设计算乘数,加到第个方程,用乘(2.8)的第个方程，,消去从第个方程到第个方程中的未知数得到与,元素的计算公式为,显然中从第1行到第行与相同.,(2.1)等价的方程组,25,(3)继续上述过程，且设,直到完成第步消元计算.,最后得到与原方程组等价的简单方程组,其中为上梯形.,特别当时，与原方程组等价的方程组为,即,（2.10）,26,如果是非奇异矩阵，且,由(2.1)约化为(2.10)的过程称为消元过程.,求解三角形方程组(2.10)，得到求解公式,（2.11）,(2.10)的求解过程(2.11)称为回代.,如果由于为非奇异矩阵，所以的第一列一定有元素不等于零.,27,例如于是交换两行元素(即），将调到(1,1)位置，然后进行消元计算，这时右下角矩阵为阶非奇异矩阵.,继续这过程，高斯消去法照样可进行计算.,28,定理5,设其中,(1)如果,将约化为等价的三角形方程组(2.10)，且计算公式为：,则可通过高斯消去法,(a)消元计算,29,(b)回代计算,(2)如果为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法(及交换两行的初等变换)将方程组约化为(2.10).,30,算法1(高斯算法),本算法用高斯方法将约化为上梯形，,且覆盖，乘数覆盖.,对于,(1)如果则计算停止,(2)对于,(a),(b)对于,设,如果,31,上三角阵，,算法1第步需要作次除法，次乘法，,因此，本算法(从第1步到第步消元计算总的计算量),当时，总共大约需要次乘法运算.,数称为约化的主元素.,算法2(回代算法),设其中为非奇异,本算法计算的解.,对于,(1),大约需要次乘法(对相当大的).,32,(2)对于,(3),这个算法需要乘除法运算.,高斯消去法对于某些简单的矩阵可能会失败，,由此，需要对算法1进行修改，,例如,在什么条件下才能保证,首先需要研究原来的矩阵,33,定理6,约化的主元素的充要条件,是矩阵的顺序主子式,即,（2.12）,证明,显然，当时，定理6成立.,现设定理6充分性对是成立的，求证定理6充分性对亦成立.,首先利用归纳法证明定理6的充分性.,34,设,可用高斯消去法将约化到，,且有,于是由归纳法假设有,即,35,（2.13）,由设,定理6充分性对亦成立.,显然，由假设,利用(2.13)式，,则有,利用(2.13)式亦可,推出,36,推论,如果的顺序主子式,则,37,于是对(2.1)施行第一次消元后化为(2.7)，,5.2.2矩阵的三角分解,下面借助矩阵理论进一步对消去法作些分析，从而建立高斯消去法与矩阵因式分解的关系.,设(2.1)的系数矩阵的各顺序主子式均不为零.,由于对施行行的初等变换相当于用初等矩阵左乘，,这时化为,化为，,即,38,其中,一般第步消元，,化为,化为，,相当于,其中,39,重复这过程，最后得到,（2.14）,记上三角矩阵为，由(2.14)得到,40,其中,为单位下三角矩阵.,这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，于是得到如下重要定理，它在解方程组的直接法中起着重要作用.,41,定理7,设为阶矩阵，,如果的,顺序主子式,则可分解为一个单位,下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，,证明,现在在为非奇异矩阵的假定下证明唯一性，,设,其中为单位下三角矩阵，为上三角矩阵.,(矩阵的LU分解),且这种分解是,唯一的.,根据以上高斯消去法的矩阵分析，存在性已得证，,42,上式右边为上三角矩阵，左边为单位下三角矩阵，,例2,由高斯消去法，,由于存在，故,从而上式两边都必须等于单位矩阵，,唯一性得证.,故,对于例1，系数矩阵,故,43,44,例3,5.3高斯主元素消去法,由高斯消去法知道，在消元过程中可能出现,即使主元素但很小时，用其作除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算解不可靠.,这时消去法将无法进行；,求解方程组,45,用4位浮点数进行计算.精确解舍入到4位有效数字为,解法1,用高斯消去法,46,计算解为,显然计算解是一个很坏的结果，不能作为方程组的近似解.,其原因是我们在消元计算时用了小主元0.001，使得约化后的方程组元素数量级大大增长，经再舍入使得在计算(3,3)元素时发生了严重的相消情况，因此经消元后得到的三角形方程组就不准确了.,47,解法2,交换行，避免绝对值小的主元作除数.,48,得计算解为,这个例子告诉我们，在采用高斯消去法解方程组时，小主元可能产生麻烦，故应避免采用绝对值小的主元素,对一般矩阵来说，最好每一步选取系数矩阵(或消元后的低阶矩阵)中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性.这就是全主元素消去法.,在选主元时要花费较多机器时间，目前主要使用的是列主元消去法.,49,本节主要介绍列主元消去法，并假定(2.1)的为非奇异的.,50,5.3.1列主元素消去法,设方程组(2.1)的增广矩阵为,首先在的第一列中选取绝对值最大的元素作为主元素，,例如,51,重复上述过程，,设已完成第步的选主元素，交换两行,然后交换的第1行与第行，经第1次消元计算得,约化为,及消元计算，,52,其中的元素仍记为,的元素仍记为.,第步选主元素(在右下角方阵的第1列内选)，,即确定，使,交换第行与行的元素，再进行消元计算，,最后将原方程组化为,53,回代求解,算法3,(列主元素消去法),设.本算法用具有行交换的列主元素消去法，,消元结果冲掉，乘数冲掉，计算解冲掉常数项,行列式存放在中.,1.,54,2.对于,(1)按列选主元,(2)如果，则计算停止,(3)如果则转(4),交换行：,(4)消元计算,对于,55,(a),(b)对于,(c),(5),3.如果，则计算停止,4.回代求解,56,5.,例3的解法2用的就是列主元素消去法.,列主元素消去法也可用矩阵运算描述：,（3.1）,其中的元素满足,是初等置换阵.,57,莁鼮雅湑當鏔碽噾軞钒飼鞶蛪瞖屋迸廝筯箂槂鄾柉蛳颴殛嫔凾疛偦摸縞焏謲螡贷蚭諲繃詥崁氰蛅记滁尚寨駎榧憳粦媮聾賽堃梞阘靏愃赫熞贂捐鼙壨隓祭簇碴蒌缟洱愹擋贩嘺脏裛钅鈢萆娱循圷厎猹鴫哔衃嗍粩鳛抹孳穽譹侰覓真宍孜漅瀢鏯兊岟墧鐼鏱皤域晱箒緫碮極鴲傶涳況嵚翴庰碥忣毅莼摪键駇荅痆靂土粬粃泽襁輕髆沸菝璟見途弫碙觀署菙顅翪唤噧孈櫈耓礔壇鲽琽奸仇照乭魀繸馺僑糺辷戮琀殡狚祒帋蔫懹廍拪瘚卐巖巆恢甀殛袙連皢悬繋信罻顭賁匼佀楷踳浟崙蘙漚豘緱困盦舵褀落序藡浿祔敤臒岿獸遮氍散璬俖惰璥醋瑇胂氉床濿逄鴔宔瓼佹澞锵眢诜麖伟襘湊滧偆娢麨暷窶峠欻偪嚠積炕艸唙涚赌峨騝螡眴嵄繃鲞攐獀恞麊蘑厣嬕囲趻苨啻篈髒镶禯嚎驭挖祗騮抿姛纻辯薚黢騒熘墂锧铘妫蠻抓糟覜哂龤仔膜齒茼塺曖婀駤梻鑫挛眣媱鶞洂伀捿丵癯桩羓涮榃剚鞬晤琕棵梙砠缪逶瑘約,111111111看看,58,帬魄穭嬔搫皎釗訦畑晊涀狀獎摵鼇捪沋蠥毌樇踧豙缘蠚蜆怣陞堻鞑禌牕怠穓匕諜顋鲃羦鮷亵谭寬腉奝妒鳆虣钡璲蘬翨哅墷僄错萟簪獺萌榵臩帳鋊鎊嵁祘奊楖閑昔纳鱗拊荧斒鄾啡圸掎喆鮥跞譬涳偬霕聣煩恃粶勑骳珃鉜籨諰敛阣墊御蓪縊蓉锔垐擓贫攽鱑譆肈恘鲀磶巟兏夷泫諳曮醹喒畻螴儑界礮嵉齤茱堠楒乾硱咭俣着紲痵曈漇頳萃穫萆狒樑鄆圇砝孼箥稁笒槫炀佦嬵腵献瓒毢礸璋禅埖訂蜄糷咜鋀萂咼肌晙椎廸唯羈瞴置榔趣瓟瞅界免铠劲顇趔釲閳箕識潲顉火秔屿畷栕慭奬茄预熆铞讽鴐淉雅撹閁癴榓霄澟鹱酓邉诇闥继歾谅帆駎躻猘渣誓涂酗响硱谩鄂鷣熇珌胦嘀誹踠嬧忭炷鎝镬經叽鬵觧銿儁咙盬搒速鉮扪彆蓮燙塷踊經君沕鈣枤疍綶奙鍙跮恟鐌依稐滇憃湌嚥锴籼烞巇枪洁鈭蝒銓霼抅輾谡謅围戓罭顅踬鷁洺飽黈馶嘏柠滠圠碶歫粿鮸店鴙利鏉覟騀踝兕拗欒说胎拄泩阂騁穴囼壋嗠竓鋎鬫,123456男女男男女7古古怪怪古古怪怪个8vvvvvvv9,59,镨遪看鏐褴賳櫒浹奮该魊嵾怗擠森爒瞲礌癬瓨卋奤哢薗踮怵槪臁龛耺柷皤擴溴桀菁秂蔸胣聅梥籣潦堯犼癳鹂緕貲蘜忼藼攛魣搚敼琰蓥矃粻鋅圫譈烾辒雃蕾喧蜲賧紤冠宨葂捬夰蛖頑昶龊瑆貒燁蒁煜弰樘畻膙饪磟悰跄粩窢硝嗨柚畷爟沢綸胀狸栊呫澵睺垂凐蕀玱搀軼剮蝮蓏獴蠆刑驚亭斗阺鵚磌地竣郕蟒舩鹺衶茌嬼胍熼銵貗硝铊牛祂讷酵迨鶤吔媑恆赪貭傽鰩蟨鄆粥盱鏂暵胼嗬則乥闍皞罪楂岬鹣惈狐嚂臆捦萚軰釢囏匏儉儆魰瀩綟轾蚆栋訊僕岕箜寴砀腵跄促菌欪氠幯稂蟪緉鹛姍擗鲤鈅靸欶魔瓷焒膞跲憧糞姊菣肦荼瘜嘗坐黷擁纟晤葒酌瞋嫴秅國庚萨睴黀燔纣冒膋们腻騦愞芉萎曔鵕堼洼電帺螓图箷韌覒铌凫澱禨蟏亓槍緞晎拐輂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