高中数学必修二人教版《第三章空间向量与立体几何复习课》PPT课件

.,1,阶段复习课第三章,.,2,.,3,【核心解读】1.证明空间任意三点共线的方法设空间三点P，A，B，(1)(2)对空间任一点O，(3)对空间任一点O，,.,4,2.证明空间四点共面的方法设空间四点P，A，B，C，(1)(x，y为有序实数对)；(2)对空间任一点O，(3)对空间任一点O，(x+y+z=1)；,.,5,3.空间向量运算的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).(1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),a=(a1,a2,a3),ab=a1b1+a2b2+a3b3.(2)重要结论aba=ba1=b1,a2=b2,a3=b3(R);abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0.,.,6,4模、夹角和距离公式(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|cosa，b(2)设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则,.,7,5.空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1),平面的法向量v=(a2,b2,c2),则luvuv=0a1a2+b1b2+c1c2=0,luvu=kv(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(kR).,.,8,(2)设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为u,v,则lmaba=kb,kR;lmabab=0;lauau=0;laua=ku,kR;uvu=kv,kR;uvuv=0.,.,9,6.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2的夹角满足cos=|cos|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m,n,则直线l与平面的夹角满足sin=|cos|.,.,10,(3)求二面角的大小()如图,AB,CD是二面角-l-的两个半平面,内与棱l垂直的直线,则二面角的大小=.()如图,n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足cos=cos或-cos.,.,11,主题一空间向量概念及运算【典例1】(1)(2014贵州高二检测)下列说法中正确的是()A.若|a|=|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量，则|a|=|b|C.空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD中，一定有,.,12,(2)如图，在正方形ABCD中，已知AB2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值为.,.,13,【自主解答】(1)选B.|a|=|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b=-a，故|a|=|b|，从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有只有平行四边形才能成立.故A，C，D均不正确.,.,14,(2)由数量积公式得，表示向量在向量的方向上的投影，要使值最大，只需最大，又因点N在正方形内(含边界)，所以当点N与C重合时，过点C作CHAM，垂足为H，得最大，故由AB2，M为BC的中点可得所以的最大值为6.答案：6,.,15,【延伸探究】题(2)中若结论改为则结果如何？【解析】由数量积公式得表示向量在向量的方向上的投影，要使值最大，只需最大，又因点N在正方形内(含边界)，所以当点N与C重合时，CBAB，得最大，故的最大值为4.,.,16,【方法技巧】空间向量运算的几何意义(1)加法、减法：其几何意义体现在平行四边形法则与三角形法则中.(2)数乘运算：其几何意义体现的是在有向直线上的向量长度与方向的转化.(3)数量积公式：其几何意义体现在夹角与模的理解上.如利用|a|2=aa可以解决线段长度问题，在单位向量e方向上的投影为,.,17,【补偿训练】在以下四个式子中a+bc，a(bc)，a(bc)，|ab|=|a|b|，表达正确的有()A.1个B.2个C.3个D.0个【解析】选A.根据数量积的定义，bc是一个实数，a+bc无意义.实数与向量无数量积，故a(bc)错，|ab|=|a|b|cosa，b|，只有a(bc)正确.,.,18,主题二空间向量的坐标运算【典例2】(1)若向量a=(4，2，4)，b=(6，3，2)，则(2a3b)(a+2b)=.(2)若A(x，5x，2x1)，B(1，x+2，2-x)，当取最小值时，x的值等于.【自主解答】(1)因为2a3b=(10，13，14)，a+2b=(16，4，0)，所以(2a3b)(a+2b)=(10，13，14)(16，4，0)212.答案：212,.,19,(2)由点A，B坐标，得=(1x，2x3，3x+3)，所以当x=时，取最小值.答案：,.,20,【方法技巧】熟记空间向量的坐标运算公式设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),(1)加减运算:ab=(x1x2,y1y2,z1z2).(2)数量积运算:ab=x1x2+y1y2+z1z2.(3)向量夹角:cos=,.,21,(4)向量长度:设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),则提醒:在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.,.,22,【拓展延伸】向量坐标运算的综合应用向量运算的坐标表示公式要熟记，从而能准确快速地进行计算.专门运算的题目很少，一般与共面向量定理、共线向量定理组合出题，熟练掌握这两个定理也是运算的基础.共面向量：利用p与a，b向量共面p=xa+yb时，一定要注意a，b不能共线；反之利用p=xa+ybp与a，b向量共面时，则不需要a，b不共线的条件.常见结论：空间任一点O和不共线三点A，B，C，则(x+y+z=1)是P，A，B，C四点共面的充要条件.,.,23,【补偿训练】设点C(2a+1,a+1,2)在点P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)确定的平面上,则a的值为()A.-7B.4C.-16D.16,.,24,【解析】选D.=(-1，-3，2)，=(6，-1，4).根据共面向量定理，设(x，yR)，则(2a1，a+1，2)=x(1，3，2)+y(6，1，4)=(x+6y，3xy，2x+4y)，所以解得x=7，y=4，a=16.,.,25,主题三空间向量与平行、垂直问题【典例3】(1)已知A，B，C三点的坐标分别为A(4，1，3)，B(2，5，1)，C(3，7，)，若则等于()A28B28C14D14,.,26,(2)(2014银川高二检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.求证:B1EAD1.在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.,.,27,【自主解答】(1)选D.(2，6，2)，(1，6，3)，因为所以21662(3)0，解得14.,.,28,(2)以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB=a，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E(，1，0)，B1(a，0，1)，故=(0，1，1)，=(，1，-1)，=(a，0，1)，=(，1，0).因为=0+11+(-1)1=0，所以B1EAD1.,.,29,假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)(0z01)，使得DP平面B1AE.此时=(0，-1，z0).又设平面B1AE的法向量n=(x，y，z).由得,.,30,取x=1，得平面B1AE的一个法向量n=(1，-a).要使DP平面B1AE，只要n，有-az0=0，解得z0=又DP平面B1AE，所以存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP=,.,31,【方法技巧】利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.,.,32,(3)线面平行:证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量;利用共面向量定理,即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.(4)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量平行;利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.,.,33,(5)面面平行:证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);转化为线面平行、线线平行问题.(6)面面垂直:证明两个平面的法向量互相垂直;转化为线面垂直、线线垂直问题.,.,34,【补偿训练】如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1D1,AB的中点,E在AA1上且AE=2EA1,F在CC1上且CF=FC1,试证明MENF.,.,35,【证明】由平行六面体的性质知所以又M，E，N，F不共线，所以MENF.,.,36,主题四利用空间向量求空间角【典例4】(1)(2012四川高考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.,.,37,(2)(2013江苏高考)如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ABAC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.,.,38,【自主解答】(1)设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，N(0，1，)，A1(1，0，1)，M(0，0)，所以=(-1，-1)，=(0，1，)，所以所以=90，所以异面直线A1M与DN所成的角的大小为90.答案：90,.,39,(2)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以=(2，0，-4)，=(1，-1，-4).因为所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.,.,40,设平面ADC1的法向量为n1=(x，y，z)，因为=(1，1，0)，=(0，2，4)，所以n1=0，n1=0，即x+y=0且y+2z=0，取z=1，得x=2，y=-2，所以n1=(2，-2，1)是平面ADC1的一个法向量.取平面AA1B的一个法向量为n2=(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos|=得sin=因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为,.,41,【方法技巧】用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cosn，a，易知=n，a-或者n，a.,.,42,(3)二面角:如图,有两个平面与,分别作这两个平面的法向量n1与n2,则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补,所以首先应判断二面角是锐角还是钝角.,.,43,【补偿训练】(2013江西高考)如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EA=EB=AB=1，PA=连接CE并延长交AD于F.(1)求证：AD平面CFG.(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.,.,44,【解题指南】(1)利用判定定理证明线面垂直时，需证线线垂直，本题易证：EFAD，GFAD.(2)建立空间直角坐标系，借助空间向量求出.,.,45,【解析】(1)在ABD中，因为E是BD的中点，所以EA=EB=ED=AB=1，故BAD=ABE=AEB=因为DABDCB，所以EABECB，从而有FED=BEC=AEB=所以FED=FEA，故EFAD，AF=FD，又因为PG=GD，所以FGPA.又PA平面ABCD，所以GFAD，又GFEF=F，故AD平面CFG.,.,46,(2)以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，所以设平面BCP的法向量n1=(1，y1，z1)，则解得即n1=,.,47,同理，设平面DCP的法向量n2=(1，y2，z2)，则解得即n2=(1，2).从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos=,.,48,主题五空间向量解决空间的探索性问题【典例5】(2013北京高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1平面ABC.(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值.(3)证明:在线段BC1上存在点D,使得ADA1B,并求的值.,.,49,【自主解答】(1)因为A1ACC1是正方形,所以AA1AC.又因为平面ABC平面A1ACC1,交线为AC,所以AA1平面ABC.(2)因为AC=4,BC=5,AB=3,所以ACAB.分别以AC,AB,AA1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.,.,50,则A1(0，0，4)，B(0，3，0)，C1(4，0，4)，B1(0，3，4)，=(4，0，0)，=(0，3，4)，=(4，3，0)，=(0，0，4)，设平面A1BC1的法向量为n1=(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量为n2=(x2，y2，z2)，所以所以,.,51,所以可取n1=(0，4，3).由可得可取n2=(3，4，0).所以cosn1，n2=由图可知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以余弦值为,.,52,(3)设点D的竖坐标为t(0t4)，在平面BCC1B1中作DEBC于E，根据比例关系可知D(t，(4t)，t)(0t4)，所以=(t，(4t)，t)，=(0，3，4)，又因为所以(4t)4t=0，所以t=所以,.,53,【方法技巧】探索性问题的处理策略用空间向量研究立体几何中的探索性(或存在性)问题的关键是构建向量及空间直角坐标系，然后利用空间向量的数量积、向量模的投影公式处理空间平行、垂直等位置关系问题，可避开传统的“作证算”中的难点，具有较强的可操作性提醒：利用空间几何体的位置关系转化为向量运算的关系式，建立方程是动点存在性问题得以解决的关键,.,54,【补偿训练】在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，ABC=60，PA=AC=a，PB=PD=点E在PD上，且PEED21，在棱PC上是否存在一点，使BF平面AEC？证明你的结论,.,55,【解析】以为坐标原点，直线AD，AP分别为y轴、z轴，过点A作垂直于平面yOz的直线为x轴，建立空间直角坐标系由题知A(0，0，0)，BC，D(0，a，0)，P(0，0，a)，E,.,56,设点是棱PC上的点，(其中01)，则令得,.,57,即当=时，亦即F是PC的中点时，共面又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF平面AEC,.,58,【强化训练】1.已知a(1，0，2)，b(6，21，2)，若ab，则与的值可以是()A2，BC3，2D2，2,.,59,【解析】选A.因为ab，所以存在实数k，使bka，即(6，21，2)(kk，0，2k)，所以所以或,.,60,2在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列关于的表达式.正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个,.,61,【解题指南】可借助空间几何体中的有向线段，利用平行四边形法则、三角形法则结合所对应的向量进行表示.【解析】选B.通过题意，可知又所以正确；对于，所以错误；同理错误；对于，易得所以正确，故选B.,.,62,3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中能作为平面AEF的法向量的是()A(1，2，4)B(4，1，2)C(2，2，1)D(1，2，2),.,63,【解析】选B.设平面AEF的法向量n(x，y，z)，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则A(1，0，0)，E(1，1，)，F(，0，1)故由即所以只有选项B满足，故选B.,.,64,4.若向量a(1，2)，b(2，1，2)，a，b夹角的余弦值为则等于_.【解析】cosa，b所以2或答案：2或,.,65,5.a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是_.【解析】ba(1t，2t1，0)，因为|ba|2(1t)2(2t1)25t22t2所以|ba|min答案：,.,66,【误区警示】求向量ba的模时，不能先进行向量的坐标运算，再求向量模，而是直接利用|ba|=而导致计算烦琐.,.,67,6(2013重庆高考)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，ACB=ACD=F为PC的中点，AFPB(1)求PA的长.(2)求二面角B-AF-D的正弦值,.,68,【解题指南】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，根据AFPB可求出PA的长，再通过求平面的法向量可以求出二面角的正弦值.,.,69,【解析】(1)如图，连接BD交AC于O，因为BC=CD，即BCD为等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD，以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，得AO=ACOC=3.又OD=CDsin故A(0，3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(，0，0).,.,70,因PA底面ABCD，可设P(0，3，z)，由F为PC边中点，F(0，1，)，又因AFPB故=0，即6=0，z=(舍去z=)，所以即PA长为,.,71,(2)由(1)知=(，3，0)，=(，3，0)，=(0，2，3