行列式和矩阵-学生自学

行列式与矩阵,Donotworryabouttomorrow,fortomorrowwillbringworriesofitsown.Todaystroubleisenoughfortoday.,用消元法解二元线性方程组,行列式的引入,定义的引出,方程组有唯一解为,行列式的引入,如果规定,则有,行列式的引入,解,所以,行列式,例,三元线性方程组,定义：,线性方程组的一般形式,称为系数行列式,(1),二阶行列式定义,解:,例,全排列,引例:用1,2,3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？,这是一个大家熟知的问题，答案是：3!=6。,123132213231312321,定义:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列(或排列)。n个不同的元素的所有排列的种数,通常用Pn表示,称为排列数。,Pn=n(n1)(n2)21=n!,排列的逆序和逆序数,定义：在一个排列i1i2isitin中，若数isit，则称这两个数组成一个逆序。,例如:排列32514中，,我们规定各元素之间有一个标准次序，以n个不同的自然数为例,规定由小到大为标准次序。,32514,定义:一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数，记为：,三级排列的逆序和逆序数,排列的逆序和逆序数,每一乘积项都是由n个元素组成，行标为自然排列，列标作全排列，代数和共有n!项,每一项的符号由列标排列的逆序数所决定,n个元素中任意两个元素都位于不同行不同列,三阶行列式,解：,例,三阶行列式,行列式表示的是一个数n阶行列式是由n!项组成，且正号项和负号项各占一半一阶行列式|a|=a不要与绝对值记号相混淆,n阶行列式,注：,行列式的性质,1.行列式转置后，其值不变。,2.互换行列式的两行(列)，行列式变号。,推论：如果行列式D有两行(列)相同，则D=0。,3.行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数K，等于用数K乘此行列式。,推论2：如果行列式D有一行(列)的元素全为零，则D=0,推论3：如果行列式D有两行（列）的元素对应成比例，则D=0,推论1：行列式中某一行（列）的元素的公因数可以提到行列式符号的外面。,定义1由,个数,排成的,行,列的数表,称为行列的矩阵,简称矩阵.记作:,矩阵的定义,m行n列,矩阵是一个矩形的矩阵“数表”，行列式是在一个方形数表中根据定义规则进行运算的代数式，结果是一个数值。行列式n行n列，矩阵m行n列,矩阵与行列式的区别,行列式,矩阵,几种特殊形式的矩阵,1.行矩阵与列矩阵,2.同型矩阵与矩阵的相等,两个矩阵行数相等、列数也相等时，称为同型矩阵。,如果矩阵与矩阵是同型矩阵，且它们的对应元素相等,即,那么就称这两个矩阵相等.记作,3.零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵.记作,注意：不同型的零矩阵是不同的.,或,4.方阵行数与列数都等于,的矩阵称为阶矩阵或阶方阵,阶方阵,的元素称为主对角线元素,几种特殊形式的矩阵,5.上(下)三角矩阵,6.对角矩阵,几种特殊形式的矩阵,7.单位矩阵,几种特殊形式的矩阵,矩阵的运算,矩阵的加法,1.定义,2.运算规律,注：只有同型矩阵才可以加减,3.负矩阵,4.矩阵的减法,例1,矩阵的运算,数与矩阵的乘法,1.定义,数与矩阵的乘积记作或规定为,注：,与为同型矩阵,2.运算规律,设,求,解:,数与矩阵的乘法,例,矩阵与矩阵的乘法,1.定义,其中,注意:,设,求,解:记,则,设,则:,矩阵的乘法,例,注：矩阵的乘法一般不满足交换律，即一般来说进行矩阵乘法时,一定要注意乘的次序，不能随意改变,设,求与.,解:,矩阵与矩阵的乘法,例,设,求与,解:,注意:,矩阵与矩阵的乘法,例,2.运算规律(假定运算都是可行的):,(其中,为数),(左分配律),(右分配律),矩阵与矩阵的乘法,3.矩阵的幂,为正整数.,矩阵的幂满足下列运算规律:,注:,一般来说,矩阵与矩阵的乘法,线性方程组,若设,则其矩阵形式为：,矩阵与矩阵的乘法,例,矩阵的转置,1.定义,设,称,为矩阵,的转置矩阵。,即把矩阵,的行换成同序号的列得到的一个新矩阵。,2.运算规律(假定运算都是可行的):,如,矩阵的转置,解：,.,矩阵的转置,例,3.定义,设矩阵,为,阶方阵，如果满足,即,那么,称为对称矩阵；,如果满足,即,那么,称为反对称矩阵。,注：(1)对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等；,(2)反对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为轴对应互为相反数，且主对角线元素全为零。,矩阵的转置,方阵的行列式,1.定义,2.方阵的行列式满足的运算规律：,3.奇异