数学不等式复习课件

第六单元不等式,第一节不等关系与不等式,基础梳理,1.不等式的定义：用不等号、连接两个数或代数式的式子叫做不等式.2.不等式的基本性质(1)abba;(2)ab,bcac;(3)aba+cb+c;(4)ab,c0acbc;(5)ab,cb,cda+cb+d;(7)ab0,cd0acbd;(8)ab0,nN*,n1,.3.实数比较大小的方法（1）a-b0ab;（2）a-b=0a=b;（3）a-bb0,则若ab,则a0,b0,则ab,故为真命题.中，由可得,由,可得,为真命题.中，由ab,得-aab0,0b0,为真命题.中，由,abb,a0,bb0,cdb0,a-cb-d0,(a-c)2(b-d)20，.又e0,b0,c0,又由题设条件可知ab,故有成立，即所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.,学后反思实数大小的比较问题常常用“比较法”来解决，“比较法”有“作差比较法”和“作商比较法”两种，可根据代数式的结构特点灵活选用.“作差比较法”的依据是“”，其过程可分为三步：作差；变形；判断差的符号.其中关键一步是变形，手段可有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断符号，因此变形越彻底，越有利于下一步的判断.“作商比较法”的依据是“”,是把两数的大小比较转化为一代数式与“1”进行比较，在代数式结构含有幂、根式或绝对值时，可采用此方法.在用“比较法”时，有时可先将原代数式变形后再作差或作商进行比较，若是选择题还可用特殊值法判断数的大小关系.,举一反三,3.设a、b是不相等的正数，,试比较A、G、H、Q的大小.,解析：a,b为不相等的正数,即HG;由,即GA;由,即AQ.综上可知，当a、b是不相等的正数时，HGAQ.,题型四利用不等式性质求范围,【例4】(12分)设,1f(-1)2,2f(1)4,求f(-2)的取值范围.,分析易知1a-b2，2a+b4,只要将f(-2)=4a-2b用a+b和a-b表示出来，再利用不等式性质求解4a-2b的取值范围即可.,解方法一：设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数)，则4a-2b=m(a-b)+n(a+b)，2即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,.4于是得,解得,.6f(-2)=3f(-1)+f(1).8又1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,.10即5f(-2)10.12,方法二：由得f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)9又1f(-1)2,2f(1)4,1053f(-1)+f(1)10,即5f(-2)1012,学后反思由,求的取值范围，可利用待定系数法解决，即设用恒等变形求得p,q，再利用不等式的性质求得的范围.此外，本例也可用线性规划的方法来求解.,举一反三,4.已知，求的取值范围.,解析：,+得-+，.,.+得-,.又,.,易错警示,【例】已知2a3,1b2,求a+b,a-b,的范围.,错解2a3,1b2,3a+b5,1a-b1,.,错解分析在运用不等式性质时忽视了性质成立的必要条件.另外，同向不等式相加，不等号方向不变，相减、相除则行不通.,正解2a3,1b2,3a+b5.又-2-b-1,0a-b2.又,1”“或0g(x);,(3)当,即或时，也就是时,f(x)或0g(x);当x=时,f(x)=g(x);当1x时,f(x)2t,故乙先到教室.,基础梳理,第二节一元二次不等式及其解法,1.一元二次不等式的定义只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.,2.一元二次不等式的解集如下表,3.分式不等式与一元二次不等式的关系设a0;等价于（x-a）(x-b)0,且方程的根是所以原不等式的解集是.,(2)方法一：原不等式即为,其相应方程为,上述方程有两相等实根,结合二次函数的图象知，原不等式的解集为R.,方法二：xR,不等式的解集为R.,学后反思一般地，对于a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解.,举一反三,1.已知二次函数,当y0时,有,解不式.,解析：因为当y0时，有，所以是方程的两个实数根.由根与系数的关系得解得，所以不等式,解得-2x3,即不等式的解集为x|-2x3.,题型二一元二次不等式的恒成立问题,【例2】函数(1)当xR时，f(x)a恒成立,求a的取值范围；（2）当x-2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围.,分析设恒成立问题转化为g(x)0恒成立问题.（1）中xR时,g(x)0恒成立，即g(x)的图象不在x轴下方，故0.(2)中当x-2,2时，g(x)0恒成立，并不能说明抛物线恒在x轴上方，应分三种情况讨论.,解（1）xR时，有恒成立，须且只须,即,(2)方法一：当x-2,2时，,分如下三种情况讨论：,图1图2图3,如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方时，有,即-6a2.,如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但在x-2,+)时，g(x)0,即即解得.,如图3,g(x)的图象与x轴有交点,但在x(-,2时,g(x)0,即即,解得-7a-6.,综合得a-7,2.,方法二：,只要f(x)的最小值大于或等于a即可.当，即-4a4时,.令,再结合-4a4,解得-4a2.当，即a4时,.令7-2aa，则a73，a.由得-7a2.即当a-7,2时，在x-2,2时，有f(x)a恒成立.,学后反思(1)对xR恒成立时，只要求满足即可.另外：恒成立恒成立恒成立(2)区别“f(x)0对xR恒成立”与“f(x)0对xm,n恒成立”的不同.f(x)0对xm,n恒成立，即f(x)在m,n上的最小值.,举一反三,2.不等式对于xR恒成立，则a的取值范围是（）A.(-,2B.(-，-2)C.(-2,2)D.(-2,2,解析：当a=2时，不等式恒成立；当时，解得-2a2.综上,-2a2.,答案：D,题型三一元二次不等式的实际应用,【例3】(12分)国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品mt,按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.,分析理解题意,巧设未知数,正确将不等关系转化成不等式是解题关键.,解设税率调低后的税收总收入为y元,.1则.4依题意,得y2400m8%78%,即2400m8%78%.6整理得,解得-44x2.9根据x的实际意义,知0x8,所以0x2为所求.11即x的取值范围是(0,2.12,学后反思解不等式应用题，可分以下几步思考：（1）认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系;（2）引进数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化;（3）求解不等式;（4）还原实际问题.,举一反三,3.已知汽车从刹车到停车所滑行的距离（m）与时速（km/h）的平方及汽车总重量成正比例.设某辆卡车不装货物以时速50km/h行驶时,从刹车到停车走了20m.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发现前面20m处有障碍物,这时为了能在离障碍物5m以外处停车,最大限制时速应是多少(结果只保留整数部分,设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1s)?,解析：设卡车从刹车到停车滑行距离为sm,时速为vkm/h,卡车总质量为t,则有(k为常数).设卡车空载时的总质量为,则,解得.设卡车的限速为xkm/h(x0),易知1s走了由题意得,即，解得0x23.所以卡车的最大限速为23km/h.,【例】解关于x的不等式.,易错警示,错解即当，即01或a1时，式;当01;当01时，解集为.,考点演练,10.当x(1,2)时，不等式恒成立,则m的取值范围是.,解析：方法一（分离变量法）：原不等式可化为，x(1,2),式可化为.易证明在(1,2)上是减函数，所以,m-5.方法二（二次函数法）：如图，显然，要使得二次函数在区间(1,2)上小于0恒成立,只需即可，解得m-5.答案：m-5,11.某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润y=（出厂价-投入成本）年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内?,解析：(1)由题意得y=1.2(1+0.75x)-1(1+x)1000(1+0.6x)(0x1),整理得(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有即解得0x1,由根与系数关系得,解得,(2)不等式,即,即(x-2)(x-c)2时,不等式(x-2)(x-c)2时,不等式的解集为x|2xc;当c2时,不等式的解集为x|c0表示的是直线哪一侧的平面区域.当C0时,常取原点作为测试点.（3）不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集,因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分.,2.线性规划的有关概念,典例分析,题型一用二元一次不等式（组）表示平面区域,【例1】如图，在ABC中，A（0，1），B（-2，2），C（2，6），写出ABC区域所表示的二元一次不等式组.,分析首先写出直线AB、AC、BC的方程,再确定阴影部分在直线的哪一侧，写出相应的二元一次不等式,再组成不等式组.,解由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为：直线AB:x+2y-2=0,直线BC：x-y+4=0,直线CA:5x-2y+2=0.原点（0,0）不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为,学后反思直线把平面分成的每一个区域内所有的点的坐标都满足一个不等式，确定不等式Ax+By+C0(0,0,0)表示直线Ax+By+C=0的哪一侧区域，常用下列方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取(),把它的坐标代入Ax+By+C0,若不等式成立，则和()同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到.否则，直线的另一区域为不等式Ax+By+C0所表示的区域.当C0时，常用原点来判别或者根据B的符号和不等式的符号来判别，若B的符号和不等式的符号同号，则不等式表示的区域在直线上方；若异号，则在直线的下方.,举一反三,(教材改编题)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是()A.a5B.a7C.5a0,则可行域取到x0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.2.几个重要的不等式(1)2ab(a,bR).(2)2(a,b同号).(3)(a,bR).3.利用基本不等式求最值问题已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是.(简记:积定和最小)（2）如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是.(简记:和定积最大),基础梳理,典例分析,题型一证明不等式,【例1】已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求证:,分析将1=a+b+c代入不等式左边,构造基本不等式模型，再利用基本不等式证明.,证明,学后反思本题如果改为a0,b0,c0,求证就比较明显.用a+b+c=1的条件将（a+b+c）“隐”去，造成了思考上的困难，因此应注意“1”的代换，构造基本不等式，使其积为定值，并使得等号同时成立.,举一反三,1.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:,证明:x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1,又00.由于3x+(8-3x)=8,可由基本不等式得3x(8-3x)=16.(2)原式=，再讨论a-4的正负.(3)由,再用基本不等式求最值.,解(1)020,当且仅当3x=8-3x,即x=43时取等号,当x=时,的最大值是4.,(2)显然a4,当a4时,a-40,当且仅当,即时取等号;当a0,且x+y=1,，当且仅当,即x=2y时等号成立，当时，有最小值18.,学后反思(1)在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上基本不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.本题第(2)小题中虽不是定值,但变形为即可发现为定值,故可用基本不等式求之.分式函数求最值,通常化成,g(x)恒正或恒负)的形式,然后运用基本不等式来求最值.,(2)第(3)小题要求根据条件求最值,如何合理利用条件x+y=1是解答本题的关键,方法是在式子上乘以(x+y).利用基本不等式求最值时,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”，本题常见的错解为：x0,y0,.此法错误的原因是没有考虑等号成立的条件和x=y同时成立是不可能的.所以在不等式连续放缩的时候,要时刻注意是否在同一条件下进行放缩,放缩时还要注意目的性、同向性，不要出现放缩后不能比较大小的情况.在第(2)小题中当a4,即a-40时,要用基本不等式必须前面添负号变为正.,举一反三,2.求f(x)=的值域.,解析：由已知得.(1)若x2,则x-20.故,当且仅当,即x=3时取等号;,(2)若x2,则x-20),即x=10时取等号.5当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元.6,（2）由限制条件知.8设.9g(x)在上是增函数,.10当时,g(x)有最小值,即f(x)有最小值(元)11当长为16米,宽为米时,总造价最低，为38882元.12,学后反思(1)解应用题时,一定要注意变量的实际意义,即注意它的取值范围.(2)利用基本不等式解决实际问题，要注意验证基本不等式成立的三个条件，当“=”不能成立时，一般可用函数单调性求其最值.,举一反三,3.某游泳馆出售冬季游泳卡,每张240元.其使用规定:不记名,每卡每次只限一人,每天只限一次.某班48名同学,老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的包车费均为40元.(1)若使每个同学游8次,每人最少应交多少元钱?(2)若使每个同学游4次,每人最少应交多少元钱?,解析：可设买x张游泳卡,总开支y元,则(1)每批去x名同学,共需批.总开支又分为:买卡所需费用240 x;包车所需费用40.,y=240 x+40(0x48,xN*)，当且仅当,即x=8时取等号.故每人最少应交（元）.,(2)每批去x名同学,共需去批.总