中国民航大学名师高数课件高阶微分方程(6-9).ppt

2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第1页,高阶微分方程,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第2页,第12章微分方程14学时,102教学计划,2011年7月4日星期一高等数学期末考试,2011年暑假：7月13日8月28日,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第3页,第十二章,第六节,可降阶高阶微分方程,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第4页,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第5页,例1.,解:,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第6页,例2.质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大,此力F均匀地减,直到t=T时F(T)=0.,如果开始时质点在原点,解:据题意有,t=0时,设力F仅是时间t的函数:F=F(t).,小,求质点的运动规律.,初速度为0,且,对方程两边积分,得,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第7页,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第8页,二.,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第9页,例3.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第10页,例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:取坐标系如图.,考察最低点A到,(:密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点M(x,y)弧段的受力情况:,两式相除得,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第11页,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬链线,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第12页,三.,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第13页,例5.求解,解:,代入方程得,两端积分得,(可分离变量),故所求通解为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第14页,M:地球质量m:物体质量,例6.,静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间,(不计空气阻力).,解:如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第15页,两端积分得,因此有,注意“”号,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第16页,由于y=R时,由原方程可得,因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第17页,说明:若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得,问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.,则定解问题为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第18页,例7.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第19页,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与x轴围成的三角形面,例8.,二阶可导,且,上任一点P(x,y)作该曲线的,切线及x轴的垂线,区间0,x上以,解:,于是,在点P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.,积记为,(考研),2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第20页,再利用y(0)=1得,利用,得,两边对x求导,得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第21页,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第22页,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,例6,例7,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第23页,速度,大小为2v,方向指向A,提示:设t时刻B位于(x,y),如图所示,则有,去分母后两边对x求导,得,又由于,设物体A从点(0,1)出发,以大小为常数v,备用题,的速度沿y轴正向运动,物体B从(1,0)出发,试建立物体B的运动轨迹应满,足的微分方程及初始条件.,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第24页,代入式得所求微分方程:,其初始条件为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第25页,12-6高阶可降阶方程作业P2921(2,5,6,);2(6);3;,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第26页,高阶线性微分方程,第七节,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,*四、常数变易法,一、二阶线性微分方程举例,第十二章,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第27页,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻t物位移为x(t).,(1)自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比,方向相反.,建立位移满足的微分方程.,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第28页,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2)强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第29页,求电容器两极板间电压,例2.,联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.,解:设电路中电流为i(t),的电量为q(t),自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串,极板上,在闭合回路中,所有支路上的电压降为0,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第30页,串联电路的振荡方程:,化为关于,的方程:,故有,如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第31页,例1,例2,方程的共性,可归结为同一形式:,(二阶线性微分方程),n阶线性微分方程的一般形式为,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,复习:一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第32页,证毕,二.线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第33页,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第34页,定义:,是定义在区间I上的,n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间I上都线性相关;,又如，,若在某区间I上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见,在任何区间I上都线性无关.,若存在不全为0的常数,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第35页,两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为0的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为0,则,必线性,相关,(证明略),线性无关,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第36页,定理2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是n阶齐次方程,的n个线性无关解,则方程的通解为,则,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第37页,三.线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第38页,是非齐次方程的解,又Y中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而也是通解.,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第39页,定理4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第40页,定理4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第41页,定理5.,是对应齐次方程的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第42页,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第43页,例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第44页,12-6高阶可降阶方程作业P2921(2,5,6,10,);2(3),(6);3;,12-7解的结构作业P3001,3,4(2,5),2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第45页,第八节,第十二章,常系数,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第46页,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第47页,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取u=x,则得,因此原方程的通解为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第48页,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第49页,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第50页,若特征方程含k重复根,若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第51页,例1.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第52页,例4.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例5.,解:特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第53页,例6.,解:特征方程:,即,其根为,方程通解:,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第54页,例7.,解:特征方程:,特征根为,则方程通解:,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第55页,内容小结,特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第56页,思考与练习,求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第57页,备用题,为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.,解:根据给定的特解知特征方程有根:,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第58页,12-8常系数线性齐次方程作业p3101(1,2,4,5,10);2(1,4),2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第59页,1.讲解12-9非齐次,2.讲解12章习题课,3.抄写和讲解总复习题,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第60页,常系数非齐次线性微分方程,第九节,一、,二、,第十二章,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第61页,计算公式,为特征方程的k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的k(0,1)重根,则设特解为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第62页,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第63页,一、,为实数,设特解为,其中为待定多项式,代入原方程,得,(1)若不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为m次多项式.,Q(x)为m次待定系数多项式,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第64页,(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为,(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当是特征方程的k重根时,可设,特解,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第65页,例1.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第66页,例2.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第67页,例3.求解定解问题,解:本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第68页,于是所求解为,解得,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第69页,二.,第二步求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步将f(x)转化为,第三步利用叠加原理求出原方程的特解,第四步分析原方程特解的特点,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第70页,第一步,利用欧拉公式将f(x)变形,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第71页,第二步求如下两方程的特解,是特征方程的k重根(k=0,1),故,等式两边取共轭:,为方程的特解.,设,则有,特解:,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第72页,第三步求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为m次多项式.,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第73页,第四步分析,因,均为m次实,多项式.,本质上为实函数,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第74页,小结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第75页,例4.,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第76页,例5.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,2012.5,高阶微分方程(6-9),总80页第77页,例6.,解:(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,201