1.5.3定积分的概念

1.5定积分的概念,1.5.1曲边梯形的面积,问题提出,1.任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算.,2.如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，则称函数f(x)为区间I上的连续函数.,3.如图所示的平面图形，是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积是一个需要探讨的课题.,曲边梯形的面积,探究（一）：三角形面积的算法,思考1：设ABC的底边ABa，AB边上的高CDh，将CD分成n等分，过每个分点按如图所示作n1个矩形，则从下到上各矩形的长分别为多少？宽为多少？,第i个矩形的长为，每个矩形的宽为.,思考2：这n1个矩形的面积之和Sn1等于多少？,思考3：随着n的增大，Sn1与ABC的面积愈接近，当n趋向于无穷大时，Sn1的极限为多少？由此可得什么结论？,结论：三角形的面积等于各矩形面积之和的极限.,探究（二）：曲边梯形面积的算法,思考1：由抛物线yx2与直线x1，y0所围成的平面图形是什么？它与我们熟悉的平面多边形的主要区别是什么？,直线x0，x1，y0和曲线yx2所围成的曲边梯形.多边形的每条边都是直线段，上图中有一边是曲线段.,思考2：设想用极限逼近思想求上面图形的面积，在该曲边梯形内作若干个小矩形，具体如何操作？,将区间0，1分成n等分，按如图所示作n1个矩形.,思考3：上述n1个矩形，从左到右各矩形的高分别为多少？宽为多少？,第i个矩形的高为，每个矩形的宽为.,思考4：利用公式计算，这n1个小矩形的面积之和Sn1等于多少？,思考5：如何利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的面积S？所得的结果是什么？,思考6：上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的过程有哪几个基本步骤?,分割近似代替求和取极限.,思考7：若按如图所示作小矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？,思考8：若分别以区间内任意一点对应的函数值为高作矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？,相等,理论迁移,例求直线x0，x3，y0和曲线yx22x3所围成的曲边梯形的面积.,小结作业,2.求曲边梯形的面积的基本思路是：把曲边梯形分割成n个小曲边梯形用小矩形近似替代小曲边梯形求各小矩形的面积之和求各小矩形面积之和的极限.,1.用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种“以直代曲”的思想，它体现了对立统一，量变与质变的辨证关系.,3.上述求曲边梯形面积的方法有一定的局限性，如果用一般方法不能求出各小矩形的面积之和，则得不到曲边梯形的面积.,作业：P42练习.,1.5.2汽车行驶的路程,问题提出,1.用极限逼近思想求曲边梯形面积的基本步骤是什么？,，,分割近似代替求和取极限.,2.若已知物体的运动路程s与时间t的函数关系：sf(t)，如何求物体在某时刻t0的瞬时速度？,vf(t0),3.若已知物体的运动速度v与时间t的函数关系：vf(t)，那么f(t0)的含义是什么？如何求物体在某时段内经过的路程呢？,f(t0)表示加速度,汽车行驶的路程,探究（一）：汽车行驶的路程,思考1：汽车以速度v作匀速直线运动，经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽车作变速直线运动，那么在相同时间内所行驶的路程相等吗？,svt,不相等,思考2：已知汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速度为v(t)t22(单位：km/h)，为了计算汽车在0t1时段内行驶的路程，将区间0，1等分成n个小区间，那么各个小区间对应的时段分别是什么？,思考3：当n很大时，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽车近似于以左端点时刻对应的速度作匀速直线运动，那么汽车在上述各时段内行驶的路程的近似值分别为多少？,思考4：汽车在0t1时段内行驶的路程的近似值如何计算？其结果是什么？,思考5：利用极限逼近思想，汽车在0t1时段内行驶的路程为多少？,思考6：若汽车在时刻t的速度为v(t)t22，那么汽车在0t1时段内行驶的路程为多少？,探究（二）：汽车行驶路程的拓展探究,思考1：在每个小区间上，如果认为汽车近似于以右端点时刻对应的速度作匀速直线运动，那么汽车在前述各时段内行驶的路程的近似值分别为多少？,思考2：汽车在0t1时段内行驶的路程如何计算？其结果是什么？,思考3：由直线t0，t1，v0和曲线vt22围成一个曲边梯形，那么图中各小矩形的面积有什么物理意义？,汽车在各时段内行驶的路程的近似值.,思考4：汽车在0t1时段内行驶的路程，在数值上与这个曲边梯形的面积有什么关系？,相等,理论迁移,例一辆汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速度为v(t)(单位：km/h)，求汽车在1t2时段内行驶的路程.,s3,小结作业,1.求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可以用“以匀代变”和“极限逼近”的数学思想求解，其操作步骤仍然是：分割近似代替求和取极限.,2.在平面直角坐标系中，若横轴表示时间，纵轴表示速度，那么求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可转化为求曲边梯形的面积，二者对立统一.,作业：P45练习：2.,1.5.3定积分的概念,问题提出,1.求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程，都可以通过“四步曲”解决，这四个步骤是什么？其中哪个步骤是难点？,分割近似代替求和取极限.,2.求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程是两类不同的问题，但它们有共同的解决途径，我们可以此为基点，构建一个新的数学理论，使得这些问题归结为某个数学问题来解决，并应用于更多的研究领域.,定积分的概念,探究（一）：定积分的有关概念与表示,思考1：对于由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积S，可以归结为一个什么形式的和的极限？,思考2：对于做变速直线运动的物体，若速度函数为vv(t)，则物体在atb时段内行驶的路程s，可以归结为一个什么形式的和的极限？,思考3：一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1x2xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi(i1，2,，n)上任取一点作和式，那么当n时，Sn的极限是否一定存在？,一定存在,思考4：数学上，把叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作，即其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.,那么定积分，分别等于什么？,被积函数，积分上、下限.,思考5：定积分的值由哪些要素所确定？,探究（二）：定积分的几何意义与性质,表示由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积.,思考1：如果函数f(x)在区间a，b上连续，且f(x)0，那么定积分的几何意义是什么？,思考2：下列两图中阴影部分的面积用定积分分别怎样表示？,思考3：根据定积分的定义或几何意义，你认为(k为常数)，(其中acb)分别等于什么？,(1),(2),（3）,思考4：定积分的值等于多少？它有什么实际意义？,它表示半径为r的圆的面积.,理论迁移,例1利用定积分定义，计算.,例2计算,.,例2计算.,小结作业,1.定积分是一个特定形式和的极限，其几何意义是曲边梯形的面积，定积分的值由被积函数，积分上限和下限所确定.,2.在实际问题中，定积分可以表示面积、体积、路程、功等等，求定积分的值目前有定义法和几何法两种，有时利用定积分的性质进行计算，能简化解题过