24平面向量的数量积（1-2）

2.4 平面向量的数量积（1-2）一、 教学目标：1、知识与技能（1）理解平面向量数量积的概念；（2）掌握两向量夹角的概念及其取值范围；（3）掌握向量数量积的性质；（4）掌握平面向量数量积的运算律。2、过程与方法通过实例引入课题；通过自主学习和师生讨论，探究新知；通过问题的解决理解和掌握新知。通过问题的辨析巩固新知。3、情感、态度与价值观通过自学，培养学生的自主学习的能力；通过对问题的探究分析，培养学生的探究能力；通过问题的辨析，培养学生的唯物观和思维的严密性。二、教学重、难点 重点：平面向量数量积的概念、性质、运算律的理解和应用。难点：平面向量数量积的概念、性质、运算律的理解三、学法与教学用具学法：自主、合作、讨论教具：多媒体等四、教学设想 （一）创设情境1.物理课中，物体所做的功的计算方法：（图1）（其中是与的夹角）2.问题中是两个向量的运算，如何定义？同学们阅读课本。思考下列问题： （1）向量的夹角如何定义？ （2）向量数量积的定义是什么？（3）数量积表示了怎样的几何意义？（4）向量数量积的运算律有哪些？和实数运算律类似吗？（5）数量积的性质（二）新知探求：1向量的夹角：已知两个向量和（如图2），作，则（图2）（）叫做向量与的夹角。当时，与同向；当时，与反向；当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作2向量数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积, 俗称点乘），记作，即【说明】：两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实 数与向量的积是一个向量；规定，零向量与任一向量的数量积是 特别注意：(1)而,后者是向量，前者是数！3数量积的几何意义：（1）投影的概念：如图，过点作垂直于直线，垂足为，则叫做向量在方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是一负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。【练习】：已知，与的夹角，则；已知，在上的投影是，则 8 ；已知，则与的夹角4.向量数量积的运算律1交换律：证：设夹角为，则， 2证：若， ，若，qq1q2ABOA1B1C3 在平面内取一点，作, ， （即）在方向上的投影等于在方向上的投影和， 即： ， 即：【注意】：(1) (2) 不成立！（？）不成立！（？）5.数量积的性质：设、都是非零向量，是与的夹角，则；当与同向时，；当与反向时，；特别地：或；若是与方向相同的单位向量，则（三）学以致用【例1】已知正的边长为，设，求解：如图，与、与、与夹角为， 原式 【例2】 已知，且，求解：作， ， ， 且， 中， ，所以，【例3】（1）向量的模分别为，的夹角为，求的模； （2）设是两个不相等的非零向量，且，求与的夹角；（3）设，是相互垂直的单位向量，求。【例4】已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。解：由题意可得： 两式相减得：， 代入或得：，设的夹角为，则 ，即与的夹角为【例5】为非零向量，当的模取最小值时， 求的值； 求证：与垂直。解：， 当时, 最小； ，ABCDEFH【例6】如图，是的三条高，求证：相交于一点。证：设交于一点，,则得，即， ，又点在的延长线上，相交于一点。与垂直。（四）巩固深化1.若非零向量与满足，则 0 2. 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。（五）课堂小结：1.向量数