第3章：无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器设计-第四节

3.4从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换（Z平面变换法）,上一节讨论了由模拟网络的低通原型来设计各种DF的方法，这种原型变换的设计方法同样也可直接在数字域上进行。DF低通原型函数这种变换是由所在的Z平面到H（z）所在的Z平面的一个映射变换。为便于区分变换前后两个不同的Z平面，我们把变换前的Z平面定义为u平面，并将这一映射关系用一个函数g表示：,各种DF的H（z）,于是，DF的原型变换可表为：,且必有，其中是的相位函数，即函数在单位圆上的幅度必须恒为1，称为全通函数。,函数的特性：1)是的有理函数。,2）希望变换以后的传递函数保持稳定性不变，因此要求u的单位圆内部必须对应于z的单位圆内部。3）必须是全通函数。为使两个函数的频响满足一定的变换要求，Z的单位圆应映射到u的单位圆上，若以分别表示u平面和Z平面的单位圆，则,全通函数的基本特性：,其中为极点，可为实数，也可为共轭复数，但必须在单位圆以内，即，以保证变换的稳定性不变，*为取共轭。的所有零点都是其极点的共轭倒数N：全通函数的阶数。变化时，相位函数的变化量为。不同的N和对应各类不同的变换。,任何全通函数都可以表示为：,下面具体讨论几种原型变换：低通低通（LP）LPLP的变换中，和都是低通函数，只是截止频率互不相同(或低通滤波器的带宽不同)，因此当时，相应的，如图1(a)，根据全通函数相位变化量为的性质，可确定全通函数的阶数N=1，且必须满足以下两条件：G(1)=1,G(-1)=-1满足以上要求的映射函数应为,其中是实数，且,图1(a)LP-LP变换（有对称性）,代入上式，可得到上述变换所反映的频率变换关系：由此得上式把，。频率特性:呈线性关系，其余为非线性。当时，带宽变窄，当时，带宽变宽，适当选择，可使变换为，如图1(b)所示。:低通原型截止频率，:变换后截止频率,确定：把变换关系带入（2）式，有：得（2）式的频率关系，如图1(b),LP-LP频率变换,图1(b)LP-LP频率变换特性,LP-HPa.基本思想：上述LP变换中的Z代以Z,则LP=HP。,b.高通变换,或,LP-HP变换把,如图2（a），,在上述LP-LP变换中，将Z代以Z,得LP-HP变换关系：,旋转180，所以,原型低通的截止频率对应于高通的边界频率，欲将变换到，由（2）式，有：,LP-BPLP-BP变换把带通的中心频率故N=2。由以上分析得变换关系：或,如图3(a),全通函数取负号。,只是位置的对应关系，从图(3)a看到,LP-BP变换,图3(a)LP-BP变换,可以看出边界频率的对应关系,把变换关系代入（2）式得：消去r1，得：令,确定r1,r2：,可证明，其中r1,r2代入（2）式，则可确定频率变换关系，如图3（b）。,LP-BP频率关系,LPBS如图4(a),LPBS变换把带阻的中心频率的变化范围为,故N=2又g(1)=1,所以，全通函数取正号。由以上分析得变换关系：（1）或（2）,LP-BS变换,图4(a)LP-BS变换,确定r1,r2：把变换关系代入（2）式得：其中，r1,r2代入（2）式，得图4（b）,此频率变换关系与前面的分析相吻合。,LP-BS频率变换关系,LP-BS变换的又一种实现方法:两步来做由低通到带阻的变换同样可以通过旋转变换来完成,但变换的次序与模拟低通到数字带阻的次序不同,是先由低通到高通(低阻),再利用3.4.3的方式由低阻到带阻,即其中的求取可利用低通到高通公式,可利用低通到带通公式求,最后可求得,如书中表