江苏省泰州市姜堰区2014-2015学年高二上学期期中考试考试数学理试卷含解析

20142015学年江苏省泰州市姜堰区高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1在直角坐标系中，直线2XY10的斜率是2圆X2Y22X2Y70的半径是3椭圆1的焦点坐标是4抛物线X24Y的准线方程为5双曲线的两条渐近线方程为6若圆X2Y24与圆X2Y22MXM210相外切，则实数M7已知点P为直线XY40上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是8若方程表示椭圆，则K的取值范围是9已知两圆X2Y210和（X1）2（Y3）210相交于A，B两点，则直线AB的方程是10已知点P在抛物线Y24X上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3，2），当PMPF取最小值时点P的坐标为11已知点P是圆CX2Y24AX2BY50（A0，B0）上任意一点，若点P关于直线X2Y10的对称点仍在圆C上，则的最小值是12已知O为坐标原点，点A（2，0），动点P与两点O、A的距离之比为1，则P点轨迹方程是13设集合M（X，Y）|YXB，N（X，Y）|Y3，当MN时，则实数B的取值范围是14已知椭圆C1（AB0）的左、右焦点分别F1、F2，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若3，且COSAF2B，则椭圆C的离心率是二、解答题（本题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知点P为直线L12X3Y10和直线L2XY20的交点，M（1，2），N（1，5）（）求过点P且与直线L33XY10平行的直线方程；（）求过点P且与直线MN垂直的直线方程16已知三点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）（）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（）设点P、F1、F2关于直线YX的对称点分别为P、F1、F2，求以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程17某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50M的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250M的道路上C处（如图），以O为原点，OC为Y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标18过点P（4，4）作直线L与圆OX2Y24相交于A、B两点（）若直线L变动时，求AB中点M的轨迹方程；（）若直线L的斜率为，求弦AB的长；（）若一直线与圆O相切于点Q且与X轴的正半轴，Y轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标19在平面直角坐标系XOY中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（1，2）其焦点F在X轴上（）求抛物线C的标准方程；（）求过点F和OA的中点的直线的方程；（）设点P（1，M），过点F的直线交抛物线C于B、D两点，记PB，PF，PD的斜率分别为K1，K2，K3，求证K1K32K220在平面直角坐标系XOY中，已知定点A（4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为（）求点P的轨迹方程；（）设点P的轨迹与Y轴负半轴交于点C，半径为R的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在Y轴右侧，圆M被Y轴截得弦长为R（1）求圆M的方程；（2）当R变化时，是否存在定直线L与动圆M均相切如果存在，求出定直线L的方程；如果不存在，说明理由20142015学年江苏省泰州市姜堰区高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1在直角坐标系中，直线2XY10的斜率是2考点直线的斜率专题直线与圆分析化直线方程为斜截式，由斜截式的特点可得解答解直线2XY10可化为Y2X1，由直线的斜截式可知直线斜率为2故答案为2点评本题考查直线的斜率，化直线方程为斜截式是解决问题的关键，属基础题2圆X2Y22X2Y70的半径是3考点圆的一般方程专题计算题；直线与圆分析把圆的方程化为标准形式，求得半径解答解圆X2Y22X2Y70可化为圆（X1）2（Y1）29，圆X2Y22X2Y70的半径是3，故答案为3点评本题主要考查圆的标准方程，属于基础题3椭圆1的焦点坐标是（1，0）和（1，0）考点椭圆的标准方程专题圆锥曲线的定义、性质与方程分析利用椭圆的简单性质直接求解解答解椭圆1，A25，B24，C1，椭圆焦点为（1，0）和（1，0）故答案为（1，0）和（1，0）点评本题考查椭圆的焦点坐标的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质的合理运用4抛物线X24Y的准线方程为Y1考点抛物线的简单性质专题计算题分析由抛物线X22PY（P0）的准线方程为Y即可求得抛物线X24Y的准线方程解答解抛物线方程为X24Y，其准线方程为Y1故答案为Y1点评本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题5双曲线的两条渐近线方程为考点双曲线的简单性质专题圆锥曲线的定义、性质与方程分析先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程解答解双曲线的A4，B3，焦点在X轴上而双曲线的渐近线方程为YX双曲线的渐近线方程为故答案为点评本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想6若圆X2Y24与圆X2Y22MXM210相外切，则实数M3考点圆与圆的位置关系及其判定专题直线与圆分析先求出圆的圆心和半径，根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，求得M的值解答解圆X2Y24的圆心为（0，0）、半径为2；圆X2Y22MXM210，即（XM）2Y21，表示圆心为（M，0）、半径等于1的圆根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|M|213，求得M3，故答案为3点评本题主要考查圆的标准方程，两个圆相外切的性质，属于基础题7已知点P为直线XY40上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是考点点到直线的距离公式专题直线与圆分析本题可以利用点到直线的距离公式求出原点为到直线的距离，得到本题结论解答解原点O（0，0）到直线XY40的距离为，直线XY40上一动点P到坐标原点的距离的最小值为故答案为点评本题考查了点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题8（5分）（2010秋东台市期末）若方程表示椭圆，则K的取值范围是（1，5）（5，9）考点椭圆的定义专题计算题分析根据方程表示椭圆得到两个代数式的分母都大于0，且要两个分母不相等，解不等式组，得到K的取值范围解答解方程表示椭圆，9K0，K10，9KK1K（1，5）（5，9）故答案为（1，5）（5，9）点评本题考查椭圆的定义，解题的关键是不要忽略调两个分母不相等的情况，即椭圆不是圆，把构成圆的情况去掉9已知两圆X2Y210和（X1）2（Y3）210相交于A，B两点，则直线AB的方程是X3Y50考点相交弦所在直线的方程专题直线与圆分析把两个圆的方程相减，即可求得公共弦所在的直线方程解答解把两圆X2Y210和（X1）2（Y3）210的方程相减可得X3Y50，此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程，故答案为X3Y50点评本题主要考查求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，属于基础题10已知点P在抛物线Y24X上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3，2），当PMPF取最小值时点P的坐标为（1，2）考点抛物线的简单性质专题计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求PMPD的最小值，同时可推断出当D，P，M三点共线时PMPD最小，答案可得解答解设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知PFPD，要求PMPF的最小值，即求PMPD的最小值，只有当D，P，M三点共线时PMPD最小，且最小值为3（1）4令Y2，可得X1，当PMPF取最小值时点P的坐标为（1，2）故答案为（1，2）点评本题考查了抛物线的定义与标准方程、平面几何中求距离和的最小值等知识，正确运用抛物线的定义是关键11已知点P是圆CX2Y24AX2BY50（A0，B0）上任意一点，若点P关于直线X2Y10的对称点仍在圆C上，则的最小值是18考点圆的一般方程专题计算题；不等式的解法及应用；直线与圆分析由题意，X2Y24AX2BY50表示的是以（2A，B）为圆心的圆，则直线X2Y10过圆心，从而可得AB（A0，B0），利用不等式即可解答解X2Y24AX2BY50表示的是以（2A，B）为圆心的圆，故由曲线X2Y24AX2BY50上的任意一点关于直线X2Y10的对称点仍在圆C上可得，直线X2Y10过点（2A，B），则2A2B10，即AB（A0，B0），则2（AB）（）2（5）2（54）18（当且仅当时，等号成立）故答案为18点评本题考查了恒成立问题及圆的结构特征，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题12已知O为坐标原点，点A（2，0），动点P与两点O、A的距离之比为1，则P点轨迹方程是（X1）2Y23考点轨迹方程专题计算题；直线与圆分析设P（X，Y），由已知条件利用两点间距离公式得（X2）2Y23（X2Y2），由此能求出P点的轨迹方程解答解设P（X，Y），动点P到两点O、A的距离之比为1，|PA|PO|，（X2）2Y23（X2Y2），化简得（X1）2Y23，故答案为（X1）2Y23点评本题考查点的轨迹方程的求法，考查学生的计算能力，比较基础13设集合M（X，Y）|YXB，N（X，Y）|Y3，当MN时，则实数B的取值范围是12，3考点交集及其运算专题集合分析由已知得直线YXB与圆（X2）2（Y3）24有交点，由此能求出实数B的取值范围解答解集合M（X，Y）|YXB，N（X，Y）|Y3，MN，直线YXB与半圆（X2）2（Y3）24（1X3）有交点，半圆（X2）2（Y3）24（1X3）表示圆心在（2，3），半径为2的圆的下半部分，YXB表示斜率为1的平行线，其中B是直线在Y轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即圆心（2，3）到直线YXB的距离D2，解得B12或B12（舍），由图知B的取值范围是12，3实数B的取值范围是12，3故答案为12，3点评本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用14已知椭圆C1（AB0）的左、右焦点分别F1、F2，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若3，且COSAF2B，则椭圆C的离心率是考点椭圆的简单性质专题计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析设|F1B|K（K0），则|AF1|3K，|AB|4K，由COSAF2B，利用余弦定理，可得A3K，从而AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率解答解设|F1B|K（K0），则|AF1|3K，|AB|4K，|AF2|2A3K，|BF2|2AKCOSAF2B，（4K）2（2A3K）2（2AK）2（2A3K）（2AK），化简可得A3K，|AF2|AF1|3K，|BF2|5K|BF2|2|AF2|2|AB|2，AF1AF2，AF1F2是等腰直角三角形，CA，E故答案为点评本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题二、解答题（本题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知点P为直线L12X3Y10和直线L2XY20的交点，M（1，2），N（1，5）（）求过点P且与直线L33XY10平行的直线方程；（）求过点P且与直线MN垂直的直线方程考点直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系专题直线与圆分析（）利用两直线平行研究直线的斜率，再根据条件过点P，得到直线的方程；（）利用两直线垂直研究直线的斜率，再根据条件过点P，得到直线的方程，得到本题结论解答解由题意得（），解得，P（1，1）所求直线与直线L33XY10平行，K3，所求直线方程为3XY40（）直线MN所在直线的斜率为，所求直线与两点M（1，2），N（1，5）所在直线垂直，K，则所求直线方程为2X7Y90点评本题考查了两直线平行和两直线垂直，本题难度不大，属于基础题16已知三点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）（）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（）设点P、F1、F2关于直线YX的对称点分别为P、F1、F2，求以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程考点圆锥曲线的综合；椭圆的应用专题计算题分析（）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出A，B最后写出椭圆标准方程（）根据三个已知点的坐标，求出关于直线YX的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可解答解（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（AB0），其半焦距C6，B2A2C29所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）关于直线YX的对称点分别为点P（2，5）、F1（0，6）、F2（0，6）设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距C16，B12C12A12362016所以所求双曲线的标准方程为点评本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力属于中档题17某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50M的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250M的道路上C处（如图），以O为原点，OC为Y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标考点直线与圆的位置关系专题直线与圆分析由题意可得圆形道的方程为X2Y2502，点C的坐标为（0，250）根据CP与圆O相切求得CP的斜率K的值，再根据两条直线垂直的性质求得OP的斜率，可得OP的方程，再根据CP、OP的方程，求得P点坐标解答解由题意可得圆形道的方程为X2Y2502，引伸道与北向道路的交接点C的坐标为（0，250）设CP的方程为YKX250，由图可知K0又CP与圆O相切，O到CP距离50，解得K7，CP的方程为Y7X250又OPCP，KOPKCP1，KOP则OP的方程是YX由解得P点坐标为（35，5），引伸道所在的直线方程为7XY2500，出口P的坐标是（35，5）点评本题主要考查两条直线垂直的性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于基础题18过点P（4，4）作直线L与圆OX2Y24相交于A、B两点（）若直线L变动时，求AB中点M的轨迹方程；（）若直线L的斜率为，求弦AB的长；（）若一直线与圆O相切于点Q且与X轴的正半轴，Y轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标考点轨迹方程专题综合题；直线与圆分析（）点M所在曲线是以OP为直径的圆，可得AB中点M的轨迹方程；（）求出直线L的方程是Y4（X4），可得点O到直线L的距离，即可求弦AB的长；（）求出两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积，利用基本不等式可得该三角形面积最小时，点Q的坐标解答解（）因为点M是AB的中点，所以OMAB，则点M所在曲线是以OP为直径的圆，其方程为X（X4）Y（Y4）0，即（X2）2（Y2）28；（4分）（）因为直线L的斜率为，所以直线L的方程是Y4（X4），即X2Y40，（6分）设点O到直线L的距离为D，则D，所以AB2；（10分）（）设切点Q的坐标为（X0，Y0）（X00，Y00）则切线斜率为所以切线方程为YY0（XX0）又X02Y024，则X0XY0Y4（12分）此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积S（14分）由X02Y0242X0Y0，知当且仅当X0Y0时，X0Y0有最大值即S有最小值因此点Q的坐标为（，）（16分）点评本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考察基本不等式的运用，属于中档题19在平面直角坐标系XOY中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（1，2）其焦点F在X轴上（）求抛物线C的标准方程；（）求过点F和OA的中点的直线的方程；（）设点P（1，M），过点F的直线交抛物线C于B、D两点，记PB，PF，PD的斜率分别为K1，K2，K3，求证K1K32K2考点直线与圆锥曲线的综合问题专题圆锥曲线中的最值与范围问题分析（）由题意可设抛物线的方程为Y22PX，（P0），由已知得42P，由此能求出抛物线C的标准方程（）由（1）知F（1，0），OA的中点M的坐标为（），由此能求出直线FM的方程（）当直线的斜率不存在时，F（1，0），B（1，2），D（1，2），K1K32K2；当直线的斜率存在时，设直线的方程为YK（X1），设B（X1，Y1），D（X2，Y2），由已知条件推导出2K（2KM），由此能证明K1K32K2解答（）解由题意可设抛物线的方程为Y22PX，（P0），因为抛物线经过点A（1，2），所以42P，解得P2，则抛物线C的标准方程是Y24X（3分）（）解由（1）知F（1，0），OA的中点M的坐标为（），则KFM2，所以直线FM的方程是2XY20（6分）（）证明当直线的斜率不存在时，则F（1，0），B（1，2），D（1，2），所以，则K1K32K2，（8分）当直线的斜率存在时，设为K，则直线的方程为YK（X1），设B（X1，Y1），D（X2，Y2），则，同理可得，所以2K（2KM），（12分）由方程组，消去Y，并整理得K2X22（K22）XK20，所以X1X21，（14分）则K1K32K（2KM）1M，又，所以K1K32K2，综上所述K1K32K2（16分）点评本题考查抛物线C的标准方程的求法，考查直线的方程的求法，考查K1K32K2的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用20在平面直角坐标系XOY中