江苏省南京市2016届高三第三次模拟考试三模数学含答案

1南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学201605注意事项1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式样本数据X1，X2，XN的方差S2XI2，其中XI1NXX1N一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知全集U1，2，3，A，集合M1，3若UM2，5，则实数A的值为_2设复数Z满足Z1I24I，其中I为虚数单位，则复数的共轭复数为Z3甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位环）如下表选手第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮甲989910110102乙941031089798则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是_4从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是_5执行如图所示的伪代码，输出的结果是6已知，是两个不同的平面，L，M是两条不同直线，L，M给出下列命题LM；LM；ML；LMS1I2WHILES100II2SSIENDWHILEPRINTI（第5题图）2其中正确的命题是填写所有正确命题的序号_7设数列AN的前N项和为SN，满足SN2AN2，则A8A68设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为_9如图，已知A，B分别是函数FXSINX0在Y轴右侧图象上的第一个最高点3和第一个最低点，且AOB，则该函数的周期是2_10已知FX是定义在R上的偶函数，当X0时，FX2X2，则不等式FX12的解集是_11如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，AD3，CD2，2若3，则AMMDACBMABAD_12在平面直角坐标系XOY中，圆MXA2YA321A0，点N为圆M上任意一点若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则A的最小值为_13设函数FXGXFXB若存在实数B，使得函数GX恰有3个零点，则实数A的取值范围为_14若实数X，Y满足2X2XYY21，则的最大值为X2Y5X22XY2Y2_二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）OYXAB（第9题图）ABCDM（第11题图）315本小题满分14分在ABC中，已知A，B，C分别为角A，B，C的对边若向量MA，COSA，向量NCOSC，C，且MN3BCOSB（1）求COSB的值；（2）若A，B，C成等比数列，求的值1TANA1TANC16本小题满分14分如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱BC上一点（1）若ABAC，D为棱BC的中点，求证平面ADC1平面BCC1B1；（2）若A1B平面ADC1，求的值BDDC17本小题满分14分如图，在平面直角坐标系XOY中，已知椭圆C1AB0的离心率为X2A2Y2B2，点2，1在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设直线L与圆OX2Y22相切，与椭圆C相交于P，Q两点若直线L过椭圆C的右焦点F，求OPQ的面积；求证OPOQ（第16题图）ABCDA1B1C1OXYFPQ（第17题图）418本小题满分16分如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，ADBC，ADC90，AB5千米，BC8千米，CD3千米现甲、乙两管理员同时从地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线A是ABCD，速度为V千米/小时（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度V的取值范围；（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度V的取值范围19本小题满分16分设函数FXX3MX2MM0（1）当M1时，求函数FX的单调减区间；（2）设GX|FX|，求函数GX在区间0，M上的最大值；（3）若存在T0，使得函数FX图象上有且仅有两个不同的点，且函数FX的图象在这两点处的两条切线都经过点2，T，试求M的取值范围20本小题满分16分（第18题图）CBAD5已知数列AN的前N项的和为SN，记BNSN1N（1）若AN是首项为A，公差为D的等差数列，其中A，D均为正数当3B1，2B2，B3成等差数列时，求的值；AD求证存在唯一的正整数N，使得AN1BNAN2（2）设数列AN是公比为QQ2的等比数列，若存在R，TR，TN，RT使得，求Q的值BTBRT2R2南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题201605注意事项1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41几何证明选讲如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A，H是OC的中点，AHBC（1）求证AC是PAH的平分线；（2）求PC的长APOHC（第21题A图）B6B选修42矩阵与变换已知曲线CX22XY2Y21，矩阵A所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求1210曲线C1的方程C选修44坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与X轴的正半轴重合已知椭圆C的参数方程为（为参数），点M的极坐标为1，若P是椭圆C上任意一X2COS，YSIN2点，试求PM的最大值，并求出此时点P的直角坐标D选修45不等式选讲求函数FX5的最大值X82X【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和（1）求X是奇数的概率；（2）求X的概率分布列及数学期望723（本小题满分10分）在平面直角坐标系XOY中，点PX0，Y0在曲线YX2X0上已知A0，1，PNX，YN0，NN记直线APN的斜率为KNN0（1）若K12，求P1的坐标；（2）若K1为偶数，求证KN为偶数南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1523I300245835674894101，311123532131，2141E28二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15本小题满分14分解（1）因为MN3BCOSB，所以ACOSCCCOSA3BCOSB由正弦定理，得SINACOSCSINCCOSA3SINBCOSB，3分所以SINAC3SINBCOSB，所以SINB3SINBCOSB因为B是ABC的内角，所以SINB0，所以COSB7分13（2）因为A，B，C成等比数列，所以B2AC由正弦定理，得SIN2BSINASINC9分因为COSB，B是ABC的内角，所以13SINB11分又1TANA1TANCCOSASINACOSCSINCCOSASINCSINACOSCSINASINCSINACSINASINCSINBSINASINCSINBSIN2B1SINB14分16本小题满分14分证明（1）因为ABAC，点D为BC中点，所以ADBC2分因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以BB1平面ABC因为AD平面ABC，所以BB1AD4分因为BCBB1B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1因为AD平面ADC1，所以平面ADC1平面BCC1B16分2连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点98分因为A1B平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1平面A1BCOD，所以A1BOD12分因为O为AC1中点，所以D为BC中点，所以1BDDC14分17本小题满分14分解（1）由题意，得，1，解得A26，B23CA4A21B2所以椭圆的方程为1X26Y232分（2）解法一椭圆C的右焦点F，03设切线方程为YKX，即KXYK0，33所以，解得K，所以切线方程为22YX4分23由方程组解得或所以点P，Q的坐标分别为，所以PQ6分因为O到直线PQ的距离为，所以OPQ的面积为2因为椭圆的对称性，当切线方程为YX时，OPQ的面积也为23综上所述，OPQ的面积为8分解法二椭圆C的右焦点F，03设切线方程为YKX，即KXYK0，33所以，解得K，所以切线方程为2210YX4分23把切线方程YX代入椭圆C的方程，消去Y得5X28X60233设PX1，Y1，QX2，Y2，则有X1X2由椭圆定义可得，PQPFFQ2AEX1X226分6因为O到直线PQ的距离为，所以OPQ的面积为2因为椭圆的对称性，当切线方程为YX时，所以OPQ的面积为23综上所述，OPQ的面积为8分解法一I若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为X或X22当X时，P，Q，22222因为0，所以OPOQOPOQ当X时，同理可得OPOQ210分II若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为YKXM，即KXYM0因为直线与圆相切，所以，即M22K222将直线PQ方程代入椭圆方程，得12K2X24KMX2M260设PX1，Y1，QX2，Y2，则有X1X2，X1X212分4KM12K22M2612K2因为X1X2Y1Y2X1X2KX1MKX2M1K2X1X2KMX1X2M2OPOQ1K2KMM22M2612K24KM12K2将M22K22代入上式可得0，所以OPOQOPOQ综上所述，OPOQ14分解法二设切点TX0，Y0，则其切线方程为X0XY0Y20，且XY22020I当Y00时，则直线PQ的直线方程为X或X2211当X时，P，Q，22222因为0，所以OPOQOPOQ当X时，同理可得OPOQ210分II当Y00时，由方程组消去Y得2XYX28X0X86Y0202020设PX1，Y1，QX2，Y2，则有X1X2，X1X212分所以X1X2Y1Y2X1X2OPOQ2X0X12X0X2Y02因为XY2，代入上式可得0，所以OPOQ2020OPOQ综上所述，OPOQ14分18本小题满分16分解1由题意，可得AD12千米由题可知|，12616V142分解得V6496474分2解法一经过T小时，甲、乙之间的距离的平方为FT由于先乙到达D地，故2，即V816V6分当0VT5，即0T时，5VFT6T2VT226TVTCOSDABV2V36T2485因为V2V360，所以当T时，FT取最大值，4855V所以V2V36225，解得V4855V1549分当5VT13，即T时，5V13V12FTVT16T29V62T291V6因为V8，所以，V620，所以当T时，FT取最大值，1V65V13V所以V622925，解得V13V1V639839413分当13VT16，T时，13V16VFT126T216VT2，因为126T0，16VT0，所以当FT在，递减，所以当T时，FT取最大值，13V16V13V126216V225，解得V13V13V398394因为V8，所以8V39416分解法二设经过T小时，甲、乙之间的距离的平方为FT由于先乙到达D地，故2，即V816V6分以A点为原点，AD为X轴建立直角坐标系，当0VT5时，FTVT6T2VT24535由于VT6T2VT225，所以V62V2对任意0T都成立，4535453525T25V所以V62V2V2，解得V45351549分当5VT13时，FTVT16T232由于VT16T23225，所以4VT16T4对任意T都成立，5V13V即对任意T都成立，5V13V所以解得V13分398394当13VT16即T，此时FT126T216VT213V16V由及知8V，于是0126T12124，39478V又因为016VT3，所以FT126T216VT2423225恒成立13综上可知8V39416分19本小题满分16分解（1）当M1时，FXX3X21FX3X22XX3X2由FX0，解得X0或X23所以函数FX的减区间是，0和，223分（2）依题意M0因为FXX3MX2M，所以FX3X22MXX3X2M由FX0，得X或X02M3当0X时，FX0，所以FX在0，上为增函数；2M32M3当XM时，FX0，所以FX在，M上为减函数；2M32M3所以，FX极大值FM3M42M3427分当M3MM，即M，YMAXM3M6427427分当M3MM，即0M时，YMAXM427综上，YMAX8分（3）设两切点的横坐标分别是X1，X2则函数FX在这两点的切线的方程分别为YX13MX12M3X122MX1XX1，YX23MX22M3X222MX2XX210分将2，T代入两条切线方程，得TX13MX12M3X122MX12X1，TX23MX22M3X222MX22X2因为函数FX图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程TX3MX2M3X22MX2X有且仅有不相等的两个实14根12分整理得T2X36MX24MXM设HX2X36MX24MXM，HX6X226MX4M23XMX2当M6时，HX6X220，所以HX单调递增，显然不成立当M6时，HX0，解得X2或XM3列表可判断单调性，可得当X2或X，M3HX取得极值分别为H23M8，或HM3M2MM312723要使得关于X的方程T2X36MX24MXM有且仅有两个不相等的实根，则T3M8，或TM3M2M1272314分因为T0，所以3M80，（），或M3M2M0（）12723解（），得M，解（），得M93或M938366因为M0，所以M的范围为0，93，83616分20本小题满分16分解（1）因为3B1，2B2，B3成等差数列，所以4B23B1B3，即432AD，3A3D24A6D3解得，AD344分由AN1BNAN2，得ANDAN1D，整理得6分解得N，8分由于1且0因此存在唯一的正整数N，使得AN1BNAN21510分（2）因为，所以BTBRT2R2QT11TT2QR11RR2设FN，N2，NNQN11NN2则FN1FN，QN21N1N3QN11NN2QN1Q1N22Q2N32N3NN1N2N3因为Q2，N2，所以Q1N22Q2N3N2310，所以FN1FN0，即FN1FN，即FN单调递增12分所以当R2时，TR2，则FTFR，即，这与互相矛盾QT11TT2QR11RR2QT11TT2QR11RR2所以R1，即QT11TT2Q21314分若T3，则FTF3，即，Q4115Q213Q215Q213QT11TT2Q213与相矛盾QT11TT2Q213于是T2，所以，即3Q25Q50Q318Q213又Q2，所以Q16分16南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准201605说明1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41几何证明选讲证明1连接AB因为PA是半圆O的切线，所以PACABC因为BC是圆O的直径，所以ABAC又因为AHBC，所以CAHABC，所以PACCAH，所以AC是PAH的平分线5分2因为H是OC中点，半圆O的半径为2，所以BH3，CH1又因为AHBC，所以AH2BHHC3，所以AH3在RTAHC中，AH，CH1，所以CAH303由1可得PAH2CAH60，所以PA23由PA是半圆O的切线，所以PA2PCPB，所以PCPCBC2212，所以PC2310分B选修42矩阵与变换解设曲线C上的任意一点PX，Y，P在矩阵A对应的变换下得到点QX，Y121017则，即X2YX，XY，1210XYXY所以XY，Y5XY2分代入X22XY2Y21，得Y22Y221，即X2Y22，XY2XY2所以曲线C1的方程为X2Y2210分C选修44坐标系与参数方程解M的极坐标为1，故直角坐标为M0，1，且P2COS，SIN，2所以PM，SIN1，12COS2SIN123SIN22SIN55分当SIN时，PMMAX，此时COS13所以，PM的最大值是，此时点P的坐标是，10分13D选修45不等式选讲解函数定义域为0，4，且FX0由柯西不等式得52252，5分