《数字信号处理教学课件》第七章fir滤波器的设计

第七章FIR滤波器的设计,线性相位FIR滤波器的特点窗函数设计法频率抽样设计法IIR和FIR数字滤波器的比较,第一节线性相位FIR滤波器的特点,系统函数：,在z平面有N1个零点,在z=0处是N1阶极点,FIR滤波器的单位冲激响应：,第二类线性相位：,第一类线性相位：,线性相位是指是的线性函数,1、线性相位条件,h(n)为实序列时，其频率响应：,即群延时是常数,第一类线性相位：,第一类线性相位的充要条件：,n=(N1)/2为h(n)的偶对称中心,第二类线性相位的充要条件：,n=(N1)/2为h(n)的奇对称中心,系统函数：,由,2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点,1）h(n)偶对称,为第一类线性相位,相位函数：,频率响应：,2）h(n)奇对称,相位函数：,为第二类线性相位,频率响应：,幅度函数：,3、幅度函数的特点,1）h(n)偶对称，N为奇数,其中：,其中：,幅度函数：,2）h(n)偶对称，N为偶数,其中：,其中：,故不能设计成高通、带阻滤波器,幅度函数：,3）h(n)奇对称，N为奇数,其中：,其中：,带通滤波器,幅度函数：,4）h(n)奇对称，N为偶数,其中：,其中：,不能设计低通DF,1）若z=zi是H(z)的零点，则z=zi-1也是零点,2）h(n)为实数，则零点共轭成对,线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对即共轭成对且镜像成对。,4、零点位置,1）,零点：,2），即零点在单位圆上,零点：,3），即零点在实轴上,零点：,零点：,5、线性相位FIR滤波器的结构,FIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，,且满足：,偶对称：,或奇对称：,即对称中心在(N-1)/2处,则这种FIR滤波器具有严格线性相位。,N为奇数时,h(n)偶对称，取“+”,h(n)奇对称，取“”，且,N为偶数时,w(n)：窗函数序列,要选择合适的形状和长度,第二节窗函数设计法,1、设计方法,以理想滤波器为目标,任务：确定h（n）,加窗,反变换,其理想单位抽样响应：,中心点为的偶对称无限长非因果序列,以低通滤波器为例讨论：,线性相位理想低通滤波器的频率响应：,则FIR滤波器的单位抽样响应：,按第一类线性相位条件，得,取矩形窗：,而矩形窗的频率响应：,加窗处理后对频率响应的影响：,时域乘积相当于频域卷积,其幅度函数：,则FIR滤波器的频率响应：,理想滤波器的频率响应：,幅度函数：,在处出现肩峰值，两侧形成起伏振荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少,改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定。称为Gibbs效应.,加窗函数的影响：,不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）近似等于窗函数频率响应的主瓣宽度。,1)窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带,2)尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹,2、各种窗函数,窗函数的要求：,矩形窗,主瓣宽度最窄：,旁瓣幅度大,窗谱：,幅度函数：,窗谱：,幅度函数：,三角形（Bartlett）窗,幅度函数：,汉宁(Hanning)窗(升余弦窗),幅度函数：,海明(Hamming)窗(改进的升余弦窗),幅度函数：,布莱克曼(Blackman)窗(二阶升余弦窗),：第一类变形零阶贝塞尔函数,凯泽(Kaiser)窗,阻带最小衰减只由窗形状决定,过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关,求出理想的单位抽样响应,根据阻带衰减选择窗函数,计算频率响应，验算指标是否满足要求,根据过渡带宽度确定N值,求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应,3、窗函数法的设计步骤,给定理想的频率响应函数及技术指标,公式法：,IFFT法：,计算其IFFT，得：,对M点等间隔抽样：,当MN时：,4、线性相位FIR低通滤波器的设计,2）求hd(n),4）确定N值,3）选择窗函数：由确定海明窗（-53dB）,6）求，验证,若不满足，则改变N或窗形状重新设计,5）确定FIR滤波器的h(n),其单位抽样响应：,理想高通的频响：,5、线性相位FIR高通滤波器的设计,其单位抽样响应：,理想带通的频响：,6、线性相位FIR带通滤波器的设计,其单位抽样响应：,理想带阻的频响：,7、线性相位FIR带阻滤波器的设计,对理想频率响应等间隔抽样作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值,第三节频率抽样设计法,1、设计方法,知道H(k)后,由IDFT定义,可以用这N个采样值H(k)来惟一确定有限长序列h(n)，即,h(n)为待设计的滤波器的单位脉冲响应。其系统函数H(z)为,以上就是频率采样法设计滤波器的基本原理。此外，由频域内插公式知道，利用这N个频域采样值H(k)同样可求得FIR滤波器的系统函数H(z),2、线性相位的约束如果我们设计的是线性相位的FIR滤波器，则其采样值H(k)的幅度和相位一定要满足前面所讨论的二类线性相位滤波器的约束条件。（1）对于第一类线性相位滤波器，h(n)偶对称，长度N为奇数时，,式中：,第一类线性相位滤波器幅度函数H()关于=0,2为偶对称，即,如果采样值H(k)=H(ej2k/N)也用幅值Hk（纯标量）与相角k表示，即,并在=02之间等间隔采样N点,k=0,1,2,N-1,将=k代入上面的式子中，并写成k的函数,有：,由上式可知，Hk满足偶对称要求。,（2）对于第一类线性相位FIR滤波器，h(n)偶对称，N为偶数，则其H(ej)的表达式仍为:,但是，其幅度函数H()关于=是奇对称的，关于=0,2为偶对称，,所以，这时的Hk也应满足奇对称要求,（3）对于第二类线性相位FIR滤波器，h(n)奇对称，N为奇数时,有：式中：,第二类线性相位滤波器幅度函数H()关于=0,2为奇对称，即,将=k=2k/N代入上面的式子中，并写成k的函数，得:,即Hk满足奇对称要求。,（4）对于第二类线性相位FIR滤波器，h(n)奇对称，N为偶数，则其H(ej)的表达式仍为:,但是，其幅度函数H()关于=是偶对称的，关于=0,2为奇对称，即,所以，这时的Hk也应满足偶对称要求,3、逼近误差及其改进措施频率采样法是比较简单的，但是我们还应该进一步考察，用这种频率采样所得到的系统函数究竟逼近效果如何？如此设计所得到的频响H(ej)与要求的理想频响Hd(ej)会有怎样的差别？回忆内插公式：,式中,()是内插函数,1）采样点上滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响应数值相等的。,2）但是在采样点之间的频响则是由各采样点的加权内插函数的延伸叠加而成的,因而有一定的逼近误差，误差大小取决于理想频率响应曲线形状。,3）理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理想值，逼近误差越小。,4）如果采样点之间的理想频率特性变化越陡，则内插值与理想值的误差就越大，因而在理想频率特性的不连续点附近，就会产生肩峰和起伏。,分析：,频率采样的响应,加过渡带（a）一点过渡带;(b)二点过渡带;(c)三点过渡带,在低通设计中：不加过渡采样点时，阻带最小衰减为-20dB加一点过渡采样的最优化设计阻带最小衰减可提高到-44dB到-54dB左右，加二点过渡采样的最优化设计可达-65dB到-75dB左右，加三点过渡采样的最优化设计则可达-85dB到-95dB左右。,例：利用频率采样法，设计一个线性相位低通FIR数字滤波器，其理想频率特性是矩形的：,已知c=0.5，采样点数为奇数N=33。试求各采样点的幅值Hk及相位k，也即求采样值H(k)。,解：N=33,且低通滤波器幅度特性H(0)=1。由表7-1可知，这属于第一类线性相位滤波器。第一类线性相位滤波器的幅度特性H()关于=为偶对称，即,且有：,则Hk满足偶对称特性，因而有：,又,故,0k32,FIR滤波器,h(n)无限长,h(n)有限长,极点位于z平面任