第9章-虚位移原理资料.ppt

建立平衡方程求解系统静力学问题，属于矢量力学的方法。矢量力学的方法，直观、物理意义明确、计算规范，在许多问题中得到广泛应用；但是它具有一定的局限性。虚位移原理引入虚位移的概念，通过作用在质点系上的所有力在虚位移上的虚功关系给出一个普遍适用的平衡的充分必要条件。它是研究任意受约束质点系平衡的十分有效的普遍方法。虚位移原理与达朗贝尔原理是分析力学的两个基本原理。分析力学是继牛顿矢量力学后，针对受约束质点系创立的一种采用标量分析的力学体系。,第9章虚位移原理,假想一个约束允许的位移“虚位移”dx（水平向右），则F与P在此虚位移上就作了“虚功”，它们的虚功之和：FdxPdx，而由于假想的虚位移dx是任意的，所以有：FP，即：FP,9.1约束自由度与广义坐标,9.1.1约束及其分类,约束是指对物体的位置或运动的限制条件。在矢量力学中，约束是用约束力描述的。约束还可以用表示限制条件的数学表达式，即约束方程来描述。对于由n个质点组成的非自由质点系，约束方程就是这些质点的矢径（或坐标）的关系式。按照约束方程的形式及其所含变量的不同，可以对约束进行各种分类。,1几何约束、运动约束（微分约束）几何约束f(x,y,z)=0,如：其约束方程是：(x1x2)2+(y1y2)2=R2它只限制质点的位置关系。运动约束（微分约束）f(x,y,z，dx/dt,dy/dt,dz/dt)=0如：纯滚动，约束方程是：它只限制各质点的运动关系。,2定常约束、非定常约束定常约束f(x,y,z)=0不含时间；非定常约束f(x,y,z,t)=0含时间。如：,3双面约束、单面约束（1）双面约束f(x,y,z)=0如：,约束方程为：,（2）单面约束f(x,y,z)0（不等式）,约束方程为：,4完整约束、非完整约束完整约束：几何约束与可积分的运动约束（即可化为几何约束的运动约束）。非完整约束：不能积分到底的运动约束。,以下仅研究双面、定常、完整约束，特别是常见的双面定常几何约束。其约束方程形式为：f(x,y,z)=0。,一.自由度由n个质点组成的非自由质点系，如果受l个完整约束和h个非完整约束，则系统的自由度为3n-l-h。平面运动刚体的自由度为3，平面机构的自由度为k=3n-s，其中n为运动刚体个数，s为约束力分量个数。二.位形系统内各质点在每个瞬时的位置总体构成一个系统的位形。比如，由n个质点组成的质点系，在空间可以用3n个直角坐标xi、yi、zi来确定其在空间的位置，这3n个坐标的集合就称为该质点系的位形。,9.1.2自由度与广义坐标,对于由n个质点组成，受l个完整约束和h个非完整约束的质点系,系统的广义坐标数为,系统的自由度为,非完整约束无法确定坐标之间的关系，所以选取广义坐标时不必考虑系统的非完整约束。但非完整约束限制了自由度，所以它对自由度是有影响的。,三.广义坐标确定系统的位形的最少数目的一组独立坐标称为系统的广义坐标。,物理坐标：x1,y1,z1;x2,y2,z2;约束方程：x12+y12=a2z1=0z2=0(x2x1)2+(y2y1)2=b2,广义坐标：a,b坐标变换：x1=asina,y1=acosb,x2=asina+bsinb,y2=acosa+bcosb,自由度：2，（n=2,l=4,r=3nl=2）,9.2虚位移虚功理想约束,9.2.1虚位移1.虚位移的概念某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移叫做虚位移（可能位移）。,未必真的发生，虚位移用“d”，实位移用“d”表示。无限小；而实位移是是有限的。与外力无关，只与约束有关；实位移与两者都有关。与时间无关，实际位移与时间有关。,在定常约束下，实位移才可能是虚位移之一；而非定常约束则不然。如：,2.虚位移关系分析,在非自由质点系中，不同点的虚位移不是完全独立的。独立虚位移的数目与系统的自由度相等。分析不同点的虚位移之间的关系，用独立的虚位移表示各点的虚位移，是运用虚位移原理的关键环节。常用的方法有几何法、虚速度法与解析法。,(1)几何法设系统某处产生虚位移，作出系统此时的位置图形，直接按几何关系确定各有关虚位移之间的关系。,例9-1图示梁中，如果解除A支座的约束，试求梁处于平衡状态时A支座的约束力FA与各主动力对应的虚位移之间的关系。图中长度单位为m。,设想一个与虚位移方向一致的“虚速度”，用运动分析中速度分析的各种方法分析虚速度的关系，所得即为虚位移的关系。,(2)虚速度法,例9-2图示椭圆规机构中，连杆长为l，在滑块A和B上分别作用力FA、FB，机构在图示位置平衡。求FA和FB作用点的虚位移的关系。,解：此机构只有一个独立的虚位移。设FA的作用点A的虚位移为drA，FB的作用点B的虚位移为drB，并视它们为点A和点B的速度（虚速度）。,由杆AB的平面运动可知，点A和点B的速度在AB连线上的投影相等，因此有,例9-3图示机构，在力F和力偶M作用下在图示位置平衡，求力F和力偶M对应的虚位移的关系。,解：此机构是一个自由度的系统，所以只有一个独立的虚位移。,dra、dre、drr分别视为点B的va、ve、vr。由速度合成定理，有,即为,而有,所以所求的虚位移关系为,(3)解析法建立适当的坐标系，选择广义坐标，写出各有关点的坐标与广义坐标的关系式。然后对各坐标关系式进行变分运算，就得到各坐标的变分（即虚位移）的关系式。,例9-4图示杆件铰接机构中，铰链G处作用一铅垂向下的力FG，滑块B上作用一水平力FB，机构在图示位置平衡。已知各铰链之间的杆长均为l。求FG和FB对应的虚位移之间的关系。,解：建立直角坐标系Axy，此机构为一个自由度，选取杆AE与x轴的夹角q为广义坐标。写出铰G的y坐标与铰B的x坐标为,与,分别取变分，得到虚位移关系,与,或直接写成虚位移dxB与dyG的关系,9.2.2虚功力F在虚位移dr上作的功叫虚功。即：dw=Fdr。虚位移是假想的，所以虚功也是假想的。这里是真实的力F在假想的位移dr上作的功。（注：假想的力在真实位移上作的功也叫虚功。）,9.2.3理想约束如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，则称这种约束为理想约束。即：SFNidri=0，FNi为理想约束反力。,9.3虚位移原理及应用,9.3.1虚位移原理具有理想约束的质点系，在某一位形能继续保持静止平衡的充要条件是，所有作用于该质点系的主动力在该位形的任何一组虚位移上所作的虚功之和等于零。即：或记为：此即虚位移原理（又称为虚功原理），或者叫“虚功方程”。（也叫“静力学普遍方程”）。,9.3.2虚位移原理的应用,1.计算主动力之间的关系计算机构平衡时主动力之间的关系，这是虚位移原理的基本应用。机构有一定的自由度，各主动力的作用点都有相应的虚位移。此类问题的关键在于确定各虚位移之间的关系。,由于在虚位移原理中系统的受力状态与虚位移状态是相互独立的，为这个原理的灵活运用提供了广阔的空间。在理论力学中，虚位移原理主要用于求解刚体系统的静平衡问题。这种问题可以分为三类，在处理方法上各有不同的特点。,例9-5图示为远距离操纵用的夹钳，结构具有对称性。当操纵杆EO向右移动时，两块夹板AD与AD就会合拢将物体夹住。已知操纵杆的拉力为F，在图示位置两夹板正好平行，求被夹持物体所受的压力。,（1）主动力与相应虚位移的确定,（2）使用虚位移原理,（3）虚位移关系的分析,（4）代入虚功方程求解,基本步骤:,解：（1）主动力与相应虚位移的确定：主动力为操纵杆的拉力F与被夹持物体的对夹钳的压力FN与FN,二者大小相等，方向相反，如图所示。其余皆为理想约束力。,由于操纵杆EO只能水平平移，所以F的作用点O的虚位移为与F的力线一致的dr。由于夹板AD只能绕点D定轴转动，所以FN的作用点的虚位移为与AD垂直的drN。同理可定drN。由对称性可知,（2）使用虚位移原理：由虚位移原理，有,系统只有一个独立的虚位移，需分析虚位移的关系。,(a),（3）虚位移关系的分析：操纵杆EO只能水平平移，所以铰C的虚位移,夹板AD只能绕点D定轴转动，所以夹板上铰B的虚位移,杆BC可能平面运动，用虚速度方法分析，此瞬时的“速度瞬心”P，有,所以有,（4）代入虚功方程求解：把以上虚位移关系代入式(a)，有,由于drN的任意性，得到,所以，被夹持物体所受的压力的大小为,例9-6图示跨度为l的折叠桥由液压油缸AB控制铺设。在铰链C处有一内部机构，保证两段桥身与铅垂线的夹角均为q。如果两段相同的桥身重量都是G，质心D位于其中点。求平衡时液压油缸中的力F和角q的关系。,解：（1）主动力与相应虚位移的确定：主动力为桥身的重力G与油缸压力F，其余皆为理想约束力。重力G对应的虚位移为重心在铅垂方向的虚位移dyD；油缸压力F对应的虚位移是点B相对点A的距离变化dlBA。,（2）使用虚位移原理：由虚位移原理，有,(a),其中，dlBA以BA的长度增大为正，其正向与F的方向相反，所以F在dlBA上的虚功为负号。dyD的正向与y轴正向一致，向上为正，与G的方向相反，所以G在dyD上的虚功亦为负号。,系统一个自由度，只有一个独立的虚位移，需再分析虚位移的关系。,（3）虚位移关系的分析：用解析法确定虚位移关系。建立直角坐标系如图，由于两段桥身的对称性，知两段的重心始终保持同样高度，设为yD，由图中几何关系知，有,由OAB可得,其中，dq增大时dlBA也增大，式中为正号。,（4）代入虚功方程求解：将虚位移dyD与dlBA的关系式代入式(a)，有,由于dq的任意性，得到,所求平衡时液压油缸中的力F和角q的关系为,或写为,2.计算理想约束力理想约束力对应的虚位移的虚功之和为零，故不可直接用虚功方程求解。此时用“解除约束”的方法，即：若需求理想约束力FA，则先解除FA相应的约束，同时把FA看成一个“主动力”，再用虚位移定理求之。用解除约束的方法时，要注意：(1)解除FA相应的约束后，系统的自由度增加，虚位移关系改变了。(2)未解除约束的理想约束力仍然不必计算。(3)各主动力（含FA）作用点处对应的虚位移关系仍是此时的解题关键。,例9-7组合梁的结构与载荷如图所示，已知跨度l=8m，F=4900N，均布载荷集度q=2450N/m，力偶矩M=4900Nm。求支座约束力。,解：（1）计算活动铰支座E的约束力。,设点E产生虚位移drE，则梁产生虚位移如图中虚线所示。AC段的虚位移仍是零，CE段上各主动力对应的虚位移为：,由虚位移原理,由于drE的任意性,方向向上,（2）计算活动铰支座B的约束力。,设AC段的虚转角为dj，则梁产生虚位移如图中虚线所示。各主动力（含待求约束力FB）对应的虚位移为：,由虚位移原理,（3）计算固定铰支座A的约束力。,水平约束力为零，只计算A支座的铅垂约束力FA。,设AC段的虚转角为dj，则梁产生虚位移如图中虚线所示。各主动力（含待求约束力FA）对应的虚位移为：,（向下）。设CE段的虚转角为dq，因为,例9-8刚架结构与载荷如图所示。已知q=2kN/m，F1=4kN，F2=12kN，力偶矩M=18kNm。试求A支座的约束力。图中长度单位是m。,依次解除各个约束，计算相应的约束力。,设杆AC的虚转角为dj，F1的作用点和铰C的虚位移dr1和drC皆为水平方向，且有,解：（1）计算固定端A的约束力偶MA,drB也是水平方向，BCD部分相当于瞬时平移；因此,且力偶M对应的虚位移为零。,由虚位移原理,由于dj的任意性,（2）计算固定端A的水平约束力FAx,解除与水平约束力FAx对应的约束，整个系统的约束允许的运动是水平平移，因此有,力偶M对应的虚位移为零。,由虚位移原理,由于drAx的任意性,（3）计算固定端A的铅垂约束力FAy,设支座A的虚位移是铅垂向上的drAy，杆AC的可能运动是铅垂方向的平移,由虚速度法，此瞬时BCD的可能运动是绕点D的转动，设其虚转角为dq，有,力偶M对应的虚位移即为dq,由于dq的任意性,3.计算非理想约束力虽然虚位移原理是对具有理想约束的质点系而言的，但是也可以用于非理想约束力的计算。非理想约束力的虚功不为零，故作为一种特殊的“主动力”处理，其虚功与其它主动力的虚功之和为零。如对摩擦力，弹簧力的计算。,例9-9图示两等长杆AB与BC在点B用铰链连接，在杆的D、E两点联接一弹簧。弹簧的刚度系数为k，当距离AC等于a时，弹簧的拉力为零，不计各构件的自重与各处摩擦。若在点C作用一水平力F，系统处于平衡，求距离AC的大小。,解：（1）主动力与相应虚位移的确定：主动力F；弹簧为系统的非理想内约束，解除约束后，相应的弹簧力FD、FE作为主动力研究，且有,设平衡时AC=x,弹簧长度,且有,AC=a时弹簧的自由长度为,所以平衡时弹簧力,一对相向作用的弹簧力力FD和FE对应的虚位移是dx1，其正向为x1增大的方向，即与相向的力指向相反。,F的虚位移为dx，其正向为x增大的方向，即向右。,（2）使用虚位移原理：由虚位移原理，有,（3）虚位移关系的分析：对关系式,即得到虚位移关系为,变分,（4）代入虚功方程求解：把弹簧力的计算式和虚位移关系式代入虚功方程中，得到,由于dx的任意性，得到,所以平衡时距离AC为,例9-10半径为R的滚子放在粗糙水平面上，连杆AB两端分别与轮缘上的点A和滑块B铰接。现在滚子上施加矩为M的力偶，在滑块上施加力F，使系统于图示位置处于平衡。设力F为已知，忽略滚动摩阻，不计滑块和各铰链处的摩擦，不计AB杆与滑块B的重量，滚子有足够大的重量G。求力偶矩M以及滚子与地面间的摩擦力FS。,解：（1）主动力与相应虚位移的确定：主动力F与M；摩擦力FS为非理想约束力，作为一种特殊的主动力处理。在滚子有足够大的重量的前提下，不考虑滚子会离开地面的可能运动，系统有二个自由度。系统需要两个独立参数才能确定其在空间的位置，比如滑块B在水平轴上的位置与杆AB与水平轴的夹角j。因此取系统两个独立的虚位移drB与dj。,再设FS对应的虚位移为drC，力偶M对应的虚位移为dq，q为CA与铅垂方向的夹角。,杆AB的可能运动也是平面运动，用速度投影定理与虚速度法，,（3）虚位移关系的分析：,在图示位置,所以,滚子的可能运动是平面运动，用虚速度方法，以点C为基点，有,（2）使用虚位移原理：,即,而,所以，得到虚位移关系式为,此式给出虚位移drC与两个独立的虚位移drB与dj的关系。,即,由于drB与dj的任意性与独立性，得到,与,所以得到,此题也可以每次固定一个虚位移，作为一个自由度系统，分两次进行计算。,（4）代入虚功方程求解：,方向皆与图示一致。,与,将虚位移关系式代入虚功方程,9.4动力学普遍方程,根据达朗贝尔原理，作用在整个质点系上的主动力、约束力与惯性力系应组成“平衡力系”。再对这个“平衡力系”运用虚位移原理，则有,如果系统的约束皆为理想约束，则有动力学普遍方程,或,写成解析形式，为,动力学普遍方程与静力学普遍方程一样，理想约束力不会在方程中出现，有利于求解复杂的动力学问题。,例9-11离心调整器以角速度w转动。每个球质量为m1，套管O的质量为m2，杆重不计。且OC=EC=AC=OD=ED=BD=a。求稳定转动时，两臂与铅垂轴的夹角q。,解：（1）主动力、惯性力与相应虚位移的确定：,主动力为两个球的重力GA、GB与套管的重力GO。,惯性力为,建立坐标系Exy；重力GA、GB与GO对应的虚位移分别为dyA、dyB与dyO；两惯性力FIA、FIB对应的虚位移分别为dxA