第二章 物理系统的数学模型

扬州大学精品课程系列,2010.8.30,自动控制原理,扬州大学能源动力工程学院,第二章物理系统的数学模型,本章主要内容:2.I2.22.32.42.5,控制系统的数学模型非线性数学模型的线性化拉氏变换及其反变换典型环节及其传递函数系统方框图和信号流图,控制系统的数学模型,Part2.1控制系统的数学模型,Part2.1.1数学模型的定义,系统示意图,系统框图,Remember恒温箱自动控制系统?,Part2.1.1数学模型的定义,系统框图,tu2uuanvut,由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。,系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。,物理量的变换，物理量之间的相互关系信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存）由动态到最后的平衡状态-稳定运动,Part2.1.1数学模型的定义,数学模型：描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程,解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。,建立数学模型的方法：,数学模型的形式,时间域：微分方程差分方程状态方程复数域：传递函数结构图频率域：频率特性,数学模型的准确性和简化,Part2.1.2建立数学模型的基础,机械运动：牛顿定理、能量守恒定理电学：欧姆定理、基尔霍夫定律热学：传热定理、热平衡定律,微分方程（连续系统）,差分方程（离散系统）,线性与非线性分布性与集中性参数时变性,机械运动系统的三要素,机械运动的实质：牛顿定理、能量守恒定理,阻尼B,质量M,弹簧K,机械平移系统,1）微分方程的系数取决于系统的结构参数2）阶次等于独立储能元件的数量,电气系统三元件,电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。,RLC串联网络电路,Part2.1.3提取数学模型的步骤,划分环节写出每或一环节(元件)运动方程式消去中间变量写成标准形式,由运动方程式（一个或几个元件的独立运动方程）,划分环节,按功能（测量、放大、执行）,写出每或一环节(元件)运动方程式,找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）。,写成标准形式,例如微分方程中，将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。,E.g1:图示RLC无源网络，列出以为输入量，以为输出量的微分方程。解：,消去中间变量得：,Exampl：2.2级RC无源网络,式中La、Ra电枢回路的电感和电阻。反电动势方程为,式中Ce电动机的电动势常数。,解本系统有两个输入量（ua和mc）。设ea为电机旋转时电枢两端的反电动势；ia为电枢电流；m为电动机的电磁力矩。根据电动机的动态特性写出输入量、输出量和中间变量之间的数学方程。电动机电枢电路的电压方程为：,Exampl：3.电枢控制直流电动机图,电动机的电磁转矩方程为mCmia式中Cm电动机的转矩常数。电动机轴上的动力学方程为,式中J转动部分折合到电动机轴上的总转动惯量。将式中的中间变量ea、ia和m消去，整理得到表示输出量和输入量ua、mc的关系式为,比较:R-L-C电路运动方程与M-S-D机械系统电枢控制直流电动机运动方程,相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似的复杂系统。,Exampl：4.速度控制系统的微分方程,运放1,运放2,功放,控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器测速发电机,直流电动机,减速器（齿轮系）,测速发电机,消去中间变量,Part2.2非线性数学模型的线性化,2.2.1常见非线性模型,针对时间变量的常微分方程：线性方程指满足叠加原理,叠加原理：可加性齐次性,不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。,常见非线性情况,单摆(非线性),是未知函数的非线性函数，所以是非线性模型。,液面系统(非线性),是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。,有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的。,2.2.2线性化问题的提出,可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。,线性系统缺点：,线性系统优点：,2.2.3线性化方法,以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对额定工作点的偏差。,增量（微小偏差法）,假设：在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。,非线性方程局部线性增量方程,增量方程,增量方程的数学含义将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。,多变量函数泰勒级数法,单变量函数泰勒级数法,函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：,略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：,注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y=f(x0)称为系统的静态方程,单摆模型(线性化),液面系统线性化,常数！,Part2.3拉氏变换及其反变换,Part2.3.1拉氏变换的定义,设函数f(t)满足：1f(t)实函数；2当t0时，f(t)=0；3当t0时，f(t)的积分在s的某一域内收敛,拉氏反变换的定义,其中L1为拉氏反变换的符号。,高等函数初等函数,单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数指数函数三角函数幂函数,Part2.3.2.1拉氏变换的计算,指数函数的拉氏变换,单位脉冲函数拉氏变换,阶跃函数的拉氏变换,单位速度函数的拉氏变换,单位加速度函数拉氏变换,幂函数的拉氏变换,三角函数的拉氏变换,Part2.3.2.3拉氏变换的主要运算定理,线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理,比例定理,线性定理,叠加定理,微分定理,原函数的高阶导数像函数中s的高次代数式,多重微分,积分定理,多重积分,位移定理,延时定理,终值定理,初值定理,条件：分母多项式能分解成因式,Part2.3.2.2拉氏反变换方法,部分分式法的求取拉氏反变换,拉氏反变换：它和拉氏正变换是一一对应的，可以通过查拉氏变换表得到。利用部分分式法化为表中的形式。具体做法如下。,Example：2求拉氏反变换,将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,Part2.3.3拉氏变换求解线性微分方程,应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。,如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。,Part2.4传递函数,Part2.4.1传递函数的定义,传递函数是经典控制理论中最常用和最重要的数学模型。经典控制理论的主要研究方法-频率法和根轨迹法都是建立在传递函数基础上。利用传递函数可以不必求解系统的微分方程，就可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。利用传递函数研究系统参数变化或结构变化对动态过程的影响，可使系统分析大大简化。还可将对系统性能指标的要求转化为对系统传递函数的要求，使系统设计与综合问题易于实现。,例列写出图示Rc网络的微分方程,例试列写如所示R、L、C串联电路的微分方程。ui(t)为输入量,uo(t)为输出量。,传递函数,在零初始条件()下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。,Part2.4.1传递函数的定义,输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t0时，输出量及其各阶导数也均为0,初始条件为零时微分方程拉氏变换,系统的传递函数,系统传递函数的一般形式,N(s)=0系统的特征方程，特征根特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。,！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K系统处于静态时，输出与输入的比值。,特征方程,M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,m)，称为传递函数的零点。,N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,n)，称为传递函数的极点。,！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。,零点和极点,传递函数的零、极点分布图：将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“O”表示极点用“”表示,零、极点分布图,g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）,单位脉冲响应,传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。,传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定。,结论,适用于线性定常系统,传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。,传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律,无法描述系统内部中间变量的变化情况,只适合于单输入单输出系统的描述,注意,比例环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,惯性环节,振荡环节,延迟环节,！串联,纯微分环节,Part2.4.2典型环节的传递函数,环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。,一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。,同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。,1.放大环节/比例环节,比例环节比例环节又称放大环节或无惯性环节它的输出量能够按一定的比例复现输入量。表达式为,电阻分压器为典型比例环节当输入量r(t)为阶跃变化信号时。输出量y（t）的变化如图关系、所示的框图来表示,共发射极晶体管放大器,!储能元件！输出落后于输入量，不立即复现突变的输入例1：RC惯性环节,2.惯性环节,RC惯性环节,！记忆,！积分,输入突然除去积分停止输出维持不变,例1：电容充电,例2：积分运算放大器,3.积分环节,如当输入量为常值A时，,输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。,！改善系统的稳态性能,！具有明显的滞后作用,积分运算放大器,例1：测速发电机,例2：RC微分网络,例3：理想微分运放,例4：一阶微分运放,4.微分环节,!无负载时,测速发电机,RC微分网络,理想微分运算放大器,一阶微分运算放大器,微分环节是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趋势。常用的微分环节有：纯微分环节、一阶微分环节和二阶微分环节三种，相应的输出虽与输入量关系表达式分别为,传递函数分别为,二阶微分环节,不同形式储能元件能量转换振荡,例1：机械平移系统,例2：RLC串联网络,5.振荡环节,机械平移系统,RLC串联网络电路,运动方程式：,传递函数：,环节的时间常数,超越函数近似处理,例1：水箱进水管的延滞,6.延滞环节,惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。,延迟环节从输入开始之初，在0时间内没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。,延迟环节与惯性环节的区别,水箱进水管的延滞,Part2.5系统方块图和信号流图,2.5.12.5.22.5.3,方块图系统信号流图控制系统传递函数,结构方块图方块图的绘制由方块图求系统传递函数,Part2.5.1方块图,2.5.1.12.5.1.22.5.1.3,2.5.1.1结构方块图,！脱离了物理系统的模型,!系统数学模型的图解形式,形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。,依据信号的流向，将各元件的方块连接起来组成整个系统的方块图。,函数方块图,任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方块图来表示。,求和点,函数方块,引出线,函数方块,信号线,3函数方块(环节)函数方块具有运算功能,4求和点（比较点、综合点）1.用符号“”及相应的信号箭头表示2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号,!注意量纲,建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）。,对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。,按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。,例：二阶RC电气网络,例：二阶机械平动系统,2.5.1.2方块图的绘制,二阶RC电气网络,方框图的等效变换法则,方块图的化简,方块图的运算规则,串联、并联、反馈,基于方块图的运算规则,基于比较点的简化,基于引出点的简化,2.5.1.3由方块图化简法求系统传递函数,几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积。,例：隔离放大器串联的RC电路,串联运算规则,相邻求和点可以互换、合并、分解。代数运算的交换律、结合律和分配律。,!求和点可以有多个输入，但输出是唯一的,同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递函数之和。,并联运算规则,反馈运算规则,基于方块图的运算规则,基于比较点的简化,基于引出点的简化,把几个回路共用的线路及环节分开，使每一个局部回路、及主反馈都有自己专用线路和环节。确定系统中的输入输出量，把输入量到输出量的一条线路列成方块图中的前向通道。通过比较点和引出点的移动消除交错回路。先求出并联环节和具有局部反馈环节的传递函数，然后求出整个系统的传递函数。,方块图求取传递函数-简化法,方块图化简,方块图求取传递函数,2.5.2.1信号流图及其术语2.5.2.2信号代数运算法则2.5.2.3根据微分方程绘制信号流图2.5.2.4根据方框图绘制信号流图2.5.2.5信号流图梅逊公式,Part2.5.2系统信号流图,信号流图起源于梅逊（S.J.MASON）利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。,节点,表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。,支路,连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。,通路,沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。,2.5.2.1信号流图及其术语,输入节点,只有输出的节点，代表系统的输入变量。,输出节点,只有输入的节点，代表系统的输出变量。,混合节点,既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可点变为输出节点。,前向通路,从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。,回路,起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用Lk表示。,不接触回路,相互间没有任何公共节点的回路,X2、X3,X3、X4,X5,2.5.2.2信号代数运算法则,2.5.2.3根据微分方程绘制信号流图,只有一条前向通路,三个不同回路,L1、L2不接触P1与L1、L2、L3均接触,2.5.2.4根据方框图绘制信号流图,方块图转换为信号流图,G系统总传递函数,Pk第k条前向通路的传递函数（通路增益）,流图特征式,所有不同回路的传递函数之和,每两个互不接触回路传递函数乘积之和,每三个互不接触回路传递函数乘积之和,第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式，将与第k条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的即为k。,k,任何m个互不接触回路传递