数学建模交通问题

摘要近年来随着机动车辆的迅猛增长，城市道路的交通压力日渐增大，各大城市对旧城改造及城市道路建设的投入也不断扩大，交通拥挤问题却仍旧日益严重。因此，科学全面地分析和评价城市的绩效，进而找到适合我国的城市交通规划模式，已成为我国城市交通迫切需要解决的课题。本文通过大量查阅城市交通绩效评价指标，结合目前我国交通发展现状，以兰州为例，首先建立了绩效评价指标的层次结构模型，确定了目标层，准则层（一级指标），子准则层（二级指标）。其次，建立评价集V优，良，中，差。对于目标层下每个一级评价指标下相对于第M个评价等级的隶属程度由专家的百分数U评判给出，即U0,100应用模糊统计建立它们的隶属函数AU，BU，CU，DU，最后得出目标层的评价矩阵RI，（I1,2,3,4,5）。利用A,B两城相互比较法，根据实际数据建立二级指标对于相应一级指标的模糊判断矩阵I（I1,2,3,4,5）P然后，我们经过次试验调查，明确了各层元素相对于上层指标的重要性排序，N构造模糊判断矩阵，利用公式1,IJIJNKJU1,NIIJWU1,IINJJWRWRWO54321,计算出权重值，经过一致性检验公式RIC检验后，均有，由此得出各层次的权向量。然后后，0C12,TNW给出建立绩效评价模型（其中O是评价结果向量），应用模糊数学中最大隶属度原则，对被评价城市交通的绩效进行分级评价。接着，为了优化兰州安宁区道路交通，我们建立了评价城市交通的指标体系，继而构造模糊判断矩阵，计算出相应的权重值。我们挑选了道路因素进行优化，以主P干道利用率约束、红绿灯效率约束、公交站点数目约束、非负约束为约束条件建立了安宁区道路交通优化方案的权系数模型，最后利用实际测算数据给出最终优化模型，提出合理化的优化建议，希望能为更好的建设兰州交通体系作出贡献。关键词城市交通层次分析模糊综合评判绩效评价隶属度11、问题重述城市交通系统是城市赖以生存和发展的保证，交通的顺畅程度直接影响着城市的发展。近年来,随着城镇化进程的不断加快和汽车工业的快速发展，近年来我国城市机动车拥有量得以大幅度增加。尽管政府每年都要投入大量的资金进行包括道路建设在内的城市基础设施的建设，但是道路建设的速度赶不上汽车拥有量增长的速度。长期以往，城市交通不堪重负，交通拥堵越来越严重。交通拥堵已严重影响到城市的人居环境，也成为制约可持续发展的重要瓶颈，自然也就成了大中型城市亟待解决的共同难题。造成交通拥堵的原因有很多，既有交通投入、道路系统的原因，也有交通结构、交通管理的原因，更有城市功能结构与布局上的原因。如何控制兰州的交通拥堵状况成为了兰州市政府亟待解决的问题之一，本文将利用数学建模的方法对兰州交通拥堵的成因以及如何解决交通拥堵进行分析，并提出可行的建议。1、存在的问题（1）机动车增长速度过快,道路容量严重不足。（2）受先地形条件限制，兰州市内4区建成区呈“哑铃”状，中心城区正好位于最窄处，路网结构不合理，支路分流循环不畅。（3）城市道路交通发展滞后,服务水平差。（4）在西部大发展的浪潮中，兰州市人口总量在近十年中迅速膨胀，导致了十分严重交通拥挤。2、需解决的问题（1）通过对交通拥堵的成因分析，进一步健全城市交通绩效评价的治标体系，建立城市交通规划和道路交通标线的优化模型。（2）基于我们的优化模型，选定兰州市一个典型的交通线路，制定一个详细的具有可操作性的道路交通优化方案（方案至少要包含交通路口各个方向（含人行道）的通行时间分配，左、右转向设定的条件，直行、转向车道的标线设置等内容），并运用你们的评价体系评估我们的交通方案。二、问题分析交通拥堵在我国大城市普遍存在，交通拥堵不仅影响了城市居民的出行,而且由于汽车尾气及噪音污染,影响了城市居民的生活环境。我国城市交通问题错综复杂,解决交通拥堵问题刻不容缓,它直接关系到广大市民的切身利益,交通顺畅与否直接影响到城市功能的发挥和城市运转的效率,也影响着大气环境质量。因此，优化城市交通规划和道路交通标线，提高交通效率，努力提高城市交通整体绩效水平至关重要。2在本文中，我们采用层次分析法从车辆因素、道路因素、人为因素、社会因素四个个方面对城市交通进行综合评估，最终得出一个综合评分。车辆因素主要从车辆自身对交通问题影响，包括车流量，车辆运载效率等；道路因素指标目的在于衡量道路的交通运输能力，以及道路交通标线的设计；人为因素体现人为主观行动对交通的影响；社会因素从社会现象上分析对交通的影响。利用A,B两城市比较法，通过实际数据对比计算相似度，构建模糊矩阵得出二级指标权重向量，再利用专家打分法一级指标权重向量，综合得出应用上述评价体系和评价指标体系，可以对城市交通进行评价，以判断城市交通的现状，诊断其发展进程中的问题，为城市交通的优化提供决策参考。考虑到用层次分析法计算各因素权重的过程中专家评分具有主观性，各指标具有离散性，因而会有误差，所以我们最后用模糊数学的知识对模型进行了优化处理，对有些变量进行连续化处理，并建立其关于上级指标的隶属函数，进而计算出隶属度，由此隶属度构成的矩阵，综合各因素的权重列向量，经过矩阵运算，得出技术效益的综合结果。由这些因素集的综合结果构成上一层的因素集，再根据上一层的权重分配方案，采取同样的计算方法，得到最终的综合分数。三、模型假设假设一我们的模型只列出了16项影响城市交通绩效的指标，因为宏观因素及微观因素，影响因素远远不止这些，我们假设除本文所列项目，其他因素的影响甚微，可以忽略不计。假设二文中层次分析模型建构过程中涉及到了专家打分，但由于评分专家对所评方案的评分受个人因素影响，我们假设5个专家的打分是客观、公正的,且对指标无明显偏好。假设三假设受评规划方案均满足城市交通规划方案的优化选择模型的基本要求。四、符号说明1R人为因素的评价矩阵人为因素的模糊判断矩阵P人为因素的权向量1W2道路因素的评价矩阵道路因素的模糊判断矩阵3道路因素的权向量2W3R车辆因素的评价矩阵车辆因素的模糊判断矩阵P车辆因素的权向量34社会因素的评价矩阵社会因素的模糊判断矩阵4W社会因素的权向量5R功能特征的评价矩阵P功能特征的模糊判断矩阵5功能特征的权向量总目标的模糊判断矩阵总目标的权向量WO评价结果向量I权系数Z综合评价五、模型建立51数学知识回顾511层次分析法AHPANALYTICHIERARCHYPROCESS方法1，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家TLSATTY提出的。它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。定理421（PERRON定理）设阶方阵，为的最大特征根，则N0AMAX,而且它所对应的特征向量为正向量；MAX0为的单特征根，且AMAX对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。AX定理422阶正互反矩阵是一致阵的充要条件是NAIJNMAXN512隶属函数隶属函数是指给定论域U上的一个模糊子集A,对于任意UU,都确定了一个数4AU,0AU1,那么AU叫做U对A的隶属程度,A叫做A的隶属函数。513模糊综合评价模糊综合评价是应用模糊变换原理，考虑与评价对象相关的各种因素，对其所作的综合评价。其基本原理是（1）根据评价的标准构造多个隶属函数。（2）通过评测指标在各个隶属函数中对应的程度不同（即隶属度不同），可以形成一个模糊关系矩阵。（3）构造权重系数矩阵。（4）将权重系数模糊矩阵和模糊关系矩阵通过模糊运算，最终就可以得到综合指标对各个评价等级的隶属度矩阵。通常根据最大隶属度原则，在最后的隶属度矩阵中，综合指标对哪个评价等级的隶属度更高，那么我们就将其所要评价的目标定为该评价等级。52建立层次分析结构模型2利用层次分析法解决问题可分如下三步进行第一层目标层。这一层只有一个元素，即交通状况综合评分。第二层准则层。包括所有为实现目标所涉及的所有中间环节，它们属于一级指标。第三层子准则层由准则层的各个因素构成，受准则层的支配。子准则层的因素构成二级指标。（如下表）城市交通绩效评价指标总目标一级指标二级指标单线高峰客流量（万人次/小时）A11居民品均出行耗时小时）A12人为因素A1人均城市道路占有量（平方米）A13道路利用率A21红绿灯效率A22道路因素A2公交站点密度A23车辆因素A3万人车辆标台数（标台/万人）A315公交出行数量（辆）A32主干道平均车速（千米/小时）A33汽车燃油消耗元/公里）A34路段空气质量超标率A41干道的昼间噪声（百分贝）A42社会因素A4油耗比A43降雨量毫米/年）B11交通基础设施B12功能特征B1日增车辆（辆）B13（A1，A2，A3、A4为共性指标；B1为兰州特性指标）53确定各指标的相对隶属度，建立评价矩阵。根据一级指标对评价集合V的隶属关系,建立评价矩阵RNRRPPN5213325211KMMK其中，RPM为第N个一级评价指标下第P个二级评价指标相对于第M个评价等级的隶属度，通过德尔菲法由专家打分给出。各专家的评判用百分数表示，并作为论域，即U0,100，各项指标的测评分为（优,良,中,差），都是U上的模糊子集，分别用A,B,C,D表示，应用模糊统计建立它们的隶属函数如下0，0U85AU1/21/2SIN/10U90，85U951，95U1000，0U751/21/2SIN/5U775，75U80BU1，80U851/21/2SIN/10U90，85U950，95U10060，0U601/21/2SIN/10U65，60U70CU1，70U751/21/2SIN/5U775，75U800，80U1001，0U60DU1/21/2SIN/10U65，60U700，70U100上述隶属度函数确定的合理性在于，假定1个专家对某项指标测评为87分，则在AU所属函数中的值为00955，在BU所属函数中的值为09045，在CU所属函数中的值为0，在DU所属函数中的值为0。与实际中以百分制为计的87分为良吻合。同时，也注意到87分也有可能向优的趋势发展。但不可能是中和差，从所属函数中的值为0可完全得到验证。上述隶属度函数如图1。各专家对每项指标测评。例如，有5个专家对A11项进行测评分别为62、73、84、92、53，则AU1/5A62A73A84A92A5301588BU1/5B62B73B84B92B53024127CU1/5C62C73C84C92C5302191DU1/5D62D73D84D92D530380954构造模糊判断矩阵先构造一级评价指标间两两比较判断矩阵P；由次调查，就某因素对其相关的N同一层的全部因素的重要性本文中由于条件所限，我们根据讨论的结果给各个因素的重要性做了排序）进行两两比较，结果以模糊数定量表示，得模糊判断矩阵。P，其中是三角模糊数。二级指标的模糊判断矩阵分别记为P1，P2，P3IJNPUIJU，P4，P5构造方法与P的一致。根据上述各符号的意义得矩阵P1U2NU1212NNPUU55确定各评价指标的权重。551一、二级评价指标的权重确定标度含义1表示因素与比较，具有同等重要性IUJ3表示因素与比较，比稍微重要IJIUJ5表示因素与比较，比明显重要IJIJ7表示因素与比较，比强烈重要IUJIJ9表示因素与比较，比极端重要IJIUJ2，4，6，82，4，6，8分别表示相邻判断1和3，3和5，5和7，7和9的中值倒数表示因素与比较得判断，则与比IUJIJUJI较得判断JI1/IJ1和积法计算各因素的权重值1将判断矩阵每一列归一化1,IJIJNKJU1,2IJN82每一列正规化的判断矩阵按行相加1,NIIJWU,2N3对向量作正规化处理依次所12,TNWW1,IINJJ1,IJ得到的即为所求的特征向量，亦为权重。12,TN2检验权重的分配是否合理，需要对判断矩阵进行一致性检验，如果一致性不满足要求，则需要调整判断矩阵直到其达到一致性的要求。（1）计算判断矩阵的最大特征根；MAX1IPWNW（2）检验CIR其中，RI为判断矩阵的平均随机一致性指标。MAX1IN对于19阶判断矩阵，RI取值如下表N123456789RI000000058090112124132141145当CR010时，判断矩阵满足一致性，说明权重分配是合理的；同理，求得各二级评价指标的权重，记为W1,W2,W3,W4，W5。56建立绩效评价模型依据城市交通绩效影响因素的特点，本文采用二级综合评价模型。二级综合评价模型的思想是将评价因子集分成若干子集（即城市交通绩效评价指标体系中的两级结构），对每个二级指标的子集进行评价后，再以各二级指标的评价结果为因子，对一级指标进行评价。RWRWO54321,其中，O是评价结果向量。最后，应用模糊数学中最大隶属度原则，对被评价城市交通的绩效进行分级评价。9六、模型求解61权重计算法由于本模型涉及多项数据指标，所以我们采用A，B类城市相比较的方式由模糊矩阵方法得出二级指标的权重。其中A类是交通绩效相对比较高的城市，B类是交通绩效有待改进的城市。最终我们在考虑到功能特征后以接近A类城市为最优解。相似程度SA类指标/（B类指标A类指标）见附表61（一）、人为因素的模糊判断矩阵1P1P1将判断矩阵每一列归一化得到归一化后的判断矩阵2每一列正规化的矩阵按行相加对向量做正规化处W2414214/241/2/1/241/241057057889142910428710得到权重向量10574285701429W3一致性检验因为CR010，所以判断矩阵P1满足一致性，说明权重分配是合理的人为因素相应权重（二）道路因素的模糊判断矩阵2P人为因素单线高峰客流量（万人次/小时）居民品均出行耗时小时）人均城市道路占有量（平方米）相应权重057140285701429174208587174271420858771402859MAX130482058CIR3MAX1730567125129IIPW112TAMPTWW4321,道路利用率A2121A表示交通道路利用率，N表示某一时刻某一面积道路的车台数，S表主干道路线数。交叉口红绿灯效率A22M表示红灯时停车台数，T表示红灯时间，P表示穿过马路的人数。2P设权重向量为1将判断矩阵每一列归一化得到归一化后的判断矩阵2每一列正规化的矩阵按行相加对该向量做正规化处理123/231/2/1/2321/23054740561822916705389146W21S123/121212/2/13/2/3/13/1/1/2/2/2132/3/13/3一致性检验3MAX1IPWW30092由于092358CIR00080，（I，J1,2,N）各指标两两比较判断,采用专家打分法对各指标两两比较打分。18（图（721）人为因素车辆因素道路因素社会因素功能特征城市交通影响因素分析居民品均出行耗时小时）A12居民品均出行耗时小时）A12居民品均出行耗时小时）A12人均城市道路占有量（平方米）A13道路利用率红绿灯效率公交站点密度降雨量单线高峰客流量万人车辆标台数公交出行数量主干道平均车速汽车燃油消耗路段空气质量超标率A41调系数干道的昼间噪声贝油耗比交通基础设施日增车辆19722具体优化方案2、各层次各个功能评价指标相对权重计算对于判断矩阵U,其特征向量W的第I个分量WI为（1）对向量WW1,W2,WN作归一化处理,即（2）则ANAT,21L为所求特征向量,即根数分配向量,判断矩阵的最大特征根。（3）3、一致性检验一致性检验指标为（4）计算一致性比例CRCI/RI5若CR01,则认为评价过程具有满意的一致性了,否则,需对判断矩阵中的打分进行适当调整,使之具有满意的一致性为止。4、建立城市交通规划的权系数优化模型3由于篇幅所限，我们只挑选了道路因素进行优化，如果能找到较好的优化方法，本次竞赛的问题的其他指标也可以类似处理。以安宁区北滨河路安宁东路为研究对象,以权系数I为绩效系数,以综合评价绩效Z最大为目标,建立该路段优化方案的权系数模型如下目标函数XXMZL21MA6约束条件A主干道利用率约束12MXLXC7式中CI是各个主干道C已有或已建的安宁区主干道总和总和。B红绿灯效率约束NJIUNI1/NIII1/NIIAU1MAXMAXNCI2012MYLYS8式中Y为各个红绿灯，S为安宁区红绿灯总个数。C公交站点约束120MZLZQ9式中Z为各个公交站点，Q为安宁区公交站点总数。D非负约束力IXI,0L用MATLAB求解线性规划问题即可得出最佳的决策变量。方案二由各个指标的权重，同时综合客观因素对安宁区进行道路规划和路标设置。（1）主干道利用率的指标权重最高而且与A类标准城市的相似度相差较大，所以应该对主干道的建设进行调整，增加主干道，提高辅道利用率形成城区微循环。（2）红绿灯效率指标相对较重，所以也应该进行调整。可以由相关数据比较得出红绿灯停车数量是导致相似度下降的主要原因。（3）公交站点密度权重最小，所以在合理有效的前提下调整应该较小。八、结果分析与评价我们从兰州实际情况出发，根据兰州城市交通发展现状及发展规划，建立了城市交通绩效评价指标体系。同时，结合绩效评价指标体系建立了城市交通规划和道路交通标线模型。根据对城市交通的综合测评，可以得到各层指标的评价集和隶属度，以及评价水平。在此基础上，可以从城市交通绩效的总水平出发，逐层比较，找出评价水平较差的层次和具体指标，从而为城市交通绩效的改进提供准确方向和目标。方案二根据可靠测算指标主要基于道路因素提出可执行道路交通标线设计，为安宁区提供可执行道路标线改进方向。本文的模型简介易懂，算法虽然繁琐一些，结果却令人满意。尤其是模型经过优化处理后，其决策精度大大提高，具有更高的可靠性。九、模型的展望本文中的绩效评价模型是建立在层次分析法基础之上的应用模糊数学知识的城市交通绩效评价模型。这种模型主要考虑各指标（各因素）在评价中所处地位或所起作21用不尽相同，进而引进权重的概念，依据一定的评分标准做加权评分，然后归类进行决策。此种模型（尤其是本文中优化后的模型）还可以应用到其他的领域，譬如可以对服装进行评判，可以应用到教师评职称，以及教师教学质量评估，农业经营决策等方面。当然这些还有待于进行进一步地研究，由于能力和篇幅所限，只能叙述到此。城市交通优化方案的权系数模型可以城市交通的规划是否合理，从得到的最优解可以给规划者提供依据，以便更好地优化城市交通规划和道路交通标线。十、结束语随着我国经济的持续发展以及全球经济一体化进程的推进，城市交通正成为推动我国国民经济发展的关键环节，成为经济高起点发展的新的增长点。本文对城市交通规划中的一些问题进行探讨，有助于加深对相关问题的了解与认识。城市交通规划还涉及诸多需要探讨的问题，诸如交叉口效率、交通事故发生率、行人行为对道路情况影响等，同时本文所探讨的问题并不十分深入，仍有待进一步研究。目前，城市交通发展规划正在全国各地展开，深入系统地探讨我国城市交通发展中的各种问题，优化城市交通规划和道路交通标线，提高交通效率，努力提高城市交通整体绩效水平至关重要。给兰州市交通局的一封信尊敬的领导您好首先，非常感谢您在百忙之中抽出时间看我们的信。我们是西北师范大学的学生，最近一段时间我们对结合全国的道路交通状况，针对兰州的具体情况对兰州的安宁区进行了调查和分析，在这里我们对如何优化城市交通规划和道路交通标线，提高交通效率，努力提高城市交通整体绩效水平提出建议和对策。受先地形条件限制，兰州市内4区建成区呈“哑铃”状，中心城区正好位于最窄处，路网结构不合理，支路分流循环不畅，特别是解放门、西关什字、中山路一带，犹如天然交通瓶颈，使以平面混合交通为主的兰州市城市交通显得混乱不堪，车与车之间、人与车之间不断发生的交通冲突成了交通拥堵发生的重要因素。优化城市交通规划和道路交通标线规划便显得尤为重要。经过我们的调查和分析，我们发现兰州城市交通主要存在以下几个问题22（一）道路供需矛盾根据兰州市统计年鉴资料显示，在过去10年中，全市道路里程增长不足30，而机动车保有量却以每年186的速度在增长，形成了断层般悬殊。使得兰州市的道路交通更加拥挤。城市机动车行驶速度急剧下降，直接导致公共交通服务水平下降，道路与交通管理设施建设滞后进一步突出，停车场等静态交通设施严重不足。（二）城市路网布局、运输结构不尽合理在城市交通发展的总体布局中，由于对交通影响评估和规划不足导致难以愈合的“硬伤”，土地利用与交通模式没有达到统一，各职能片区之间的交通联系不够便捷、通畅，交通流在时间和空间上高度集中，主、次干道和支路比例不均衡，薄弱的次干道和支路系统难以承担车辆疏解和分流功能，使得大部分交通流聚集在主干道上。而次干道和支路同时又缺乏系统性连接，不能形成完善的网络，无法分流区域间的交通出行。受特殊地形、规划等主客观因素的影响，城区的公交枢纽站和长途客运站点设置布局不合理，公交场站建设不足，换乘体系不完善，线路设置过长、重复过多，过街天桥、停车泊位等交通配套设施不足，大量集中的人流、车流，导致了道路交通拥堵问题的不断加剧。从交通运输结构来看，每万人拥有公共汽车、出租车辆数也未达到国家标准，各种车辆混行严重。（三）环境污染严重兰州市独特的地理环境与产业结构使其成为大气污染较为严重的城市。近几年，城市机动车数量增加的同时，带来了噪音污染。由此而来的振动、电磁波等严重危及着人们的生理与心理健康，影响着人们正常的生活与学习。通过此次的调查建模，我们提出以下以下几点建议（一）狭长河谷型的城市交通可持续发展的交通体系定位保障畅通的道路网络体系和对城市交通问题有快速反映能力的交通管理体制。（二）结合兰州市的地形特征，公交解决模式力主用快速公交