2015年重庆市高考数学试卷理科

第1页（共24页）2015年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2015重庆）已知集合A1，2，3，B2，3，则（）AABBABCABDBA2（5分）（2015重庆）在等差数列AN中，若A24，A42，则A6（）A1B0C1D63（5分）（2015重庆）重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A19B20C215D234（5分）（2015重庆）“X1”是“（X2）0”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件5（5分）（2015重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD6（5分）（2015重庆）若非零向量，满足|，且（）（32），则与的夹角为（）第2页（共24页）ABCD7（5分）（2015重庆）执行如图所示的程序框图，若输出K的值为8，则判断框图可填入的条件是（）ASBSCSDS8（5分）（2015重庆）已知直线LXAY10（AR）是圆CX2Y24X2Y10的对称轴过点A（4，A）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|（）A2BC6D9（5分）（2015重庆）若TAN2TAN，则（）A1B2C3D410（5分）（2015重庆）设双曲线1（A0，B0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D若D到直线BC的距离小于A，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A（1，0）B（，1）C（，0）D（，）（第3页（共24页）（0，1）（1，）（0，），）二、填空题本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上11（5分）（2015重庆）设复数ABI（A，BR）的模为，则（ABI）（ABI）12（5分）（2015重庆）的展开式中X8的系数是（用数字作答）13（5分）（2015重庆）在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC三、考生注意（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14（5分）（2015重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，则BE15（5分）（2015重庆）已知直线L的参数方程为（T为参数），以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线L与曲线C的交点的极坐标为16（2015重庆）若函数F（X）|X1|2|XA|的最小值为5，则实数A四、解答题本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（13分）（2015重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个（）求三种粽子各取到1个的概率；第4页（共24页）（）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望18（13分）（2015重庆）已知函数F（X）SIN（X）SINXX（）求F（X）的最小正周期和最大值；（）讨论F（X）在上的单调性19（13分）（2015重庆）如题图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACBD，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2（）证明DE平面PCD（）求二面角APDC的余弦值20（12分）（2015重庆）设函数F（X）（AR）（）若F（X）在X0处取得极值，确定A的值，并求此时曲线YF（X）在点（1，F（1）处的切线方程；（）若F（X）在3，）上为减函数，求A的取值范围21（12分）（2015重庆）如题图，椭圆1（AB0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1（）若|PF1|2|2，求椭圆的标准方程；（）若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率E第5页（共24页）22（12分）（2015重庆）在数列AN中，A13，AN1ANAN1AN20（NN）（）若0，2，求数列AN的通项公式；（）若（K0N，K02），1，证明22第6页（共24页）2015年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2015重庆）已知集合A1，2，3，B2，3，则（）AABBABCABDBA考点子集与真子集菁优网版权所有专题集合分析直接利用集合的运算法则求解即可解答解集合A1，2，3，B2，3，可得AB，AB2，3，BA，所以D正确故选D点评本题考查集合的基本运算，基本知识的考查2（5分）（2015重庆）在等差数列AN中，若A24，A42，则A6（）A1B0C1D6考点等差数列的性质菁优网版权所有专题等差数列与等比数列分析直接利用等差中项求解即可解答解在等差数列AN中，若A24，A42，则A4（A2A6）2，解得A60故选B点评本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力3（5分）（2015重庆）重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）第7页（共24页）A19B20C215D23考点茎叶图菁优网版权所有专题概率与统计分析根据中位数的定义进行求解即可解答解样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选B点评本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键比较基础4（5分）（2015重庆）“X1”是“（X2）0”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件考点充要条件菁优网版权所有专题简易逻辑分析解“（X2）0”，求出其充要条件，再和X1比较，从而求出答案解答解由“（X2）0”得X21，解得X1，故“X1”是“（X2）0”的充分不必要条件，故选B点评本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题第8页（共24页）5（5分）（2015重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD考点由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题空间位置关系与距离分析判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可解答解由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为故选A点评本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键6（5分）（2015重庆）若非零向量，满足|，且（）（32），则与的夹角为（）ABCD考点数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有专题平面向量及应用分析根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可解答解（）（32），（）（32）0，即32220，即32222，第9页（共24页）COS，即，故选A点评本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键7（5分）（2015重庆）执行如图所示的程序框图，若输出K的值为8，则判断框图可填入的条件是（）ASBSCSDS考点循环结构菁优网版权所有专题图表型；算法和程序框图分析模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的K，S的值，当S时，退出循环，输出K的值为8，故判断框图可填入的条件是S解答解模拟执行程序框图，K的值依次为0，2，4，6，8，因此S（此时K6），因此可填S故选C点评本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键第10页（共24页）8（5分）（2015重庆）已知直线LXAY10（AR）是圆CX2Y24X2Y10的对称轴过点A（4，A）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|（）A2BC6D考点直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题直线与圆分析求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线LXAY10经过圆C的圆心（2，1），求得A的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值解答解圆CX2Y24X2Y10，即（X2）2（Y1）24，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆由题意可得，直线LXAY10经过圆C的圆心（2，1），故有2A10，A1，点A（4，1）由于AC2，CBR2，切线的长|AB|6，故选C点评本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，属于基础题9（5分）（2015重庆）若TAN2TAN，则（）A1B2C3D4考点三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值菁优网版权所有专题三角函数的求值分直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合第11页（共24页）析已知条件以及积化和差个数化简求解即可解答解TAN2TAN，则3故答案为3点评本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力10（5分）（2015重庆）设双曲线1（A0，B0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D若D到直线BC的距离小于A，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A（1，0）B（，1）C（，0）D（，）（第12页（共24页）（0，1）（1，）（0，），）考点双曲线的简单性质菁优网版权所有专题计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程分析由双曲线的对称性知D在X轴上，设D（X，0），则由BDAC得，求出CX，利用D到直线BC的距离小于A，即可得出结论解答解由题意，A（A，0），B（C，），C（C，），由双曲线的对称性知D在X轴上，设D（X，0），则由BDAC得，CX，D到直线BC的距离小于A，CXA，C2A2B2，01，双曲线的渐近线斜率的取值范围是（1，0）（0，1）故选A点评本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键二、填空题本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上11（5分）（2015重庆）设复数ABI（A，BR）的模为，则（ABI）（ABI）3考点复数代数形式的乘除运算；复数求模菁优网版权所有专题数系的扩充和复数第13页（共24页）分析将所求利用平方差公式展开得到A2B2，恰好为已知复数的模的平方解答解因为复数ABI（A，BR）的模为，所以A2B23，则（ABI）（ABI）A2B23；故答案为3点评本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题12（5分）（2015重庆）的展开式中X8的系数是（用数字作答）考点二项式定理菁优网版权所有专题二项式定理分析先求出二项式展开式的通项公式，再令X的幂指数等于8，求得R的值，即可求得展开式中的X8的系数解答解由于的展开式的通项公式为TR1，令158，求得R2，故开式中X8的系数是，故答案为点评本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题13（5分）（2015重庆）在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC考点余弦定理的应用菁优网版权所有专题解三角形分析利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可解答解由题意以及正弦定理可知，即，ADB45，A18012045，可得A30，则C30，三角形ABC是等腰三角形，第14页（共24页）AC2故答案为点评本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力三、考生注意（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14（5分）（2015重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，则BE2考点与圆有关的比例线段菁优网版权所有专题选作题；推理和证明分析利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE即可解答解设CE2X，EDX，则过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，由切割线定理可得PA2PCPD，即363（33X），X3，由相交弦定理可得9BECEED，即9BE63，BE2故答案为2点评本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础15（5分）（2015重庆）已知直线L的参数方程为（T为参数），以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线L与曲线C的交点的极坐标为（2，）考点简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程菁优网版权所有专题坐标系和参数方程分析求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可第15页（共24页）解答解直线L的参数方程为（T为参数），它的直角坐标方程为XY20；曲线C的极坐标方程为，可得它的直角坐标方程为X2Y24，X0由，可得X2，Y0，交点坐标为（2，0），它的极坐标为（2，）故答案为（2，）点评本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查16（2015重庆）若函数F（X）|X1|2|XA|的最小值为5，则实数A6或4考点带绝对值的函数菁优网版权所有专题创新题型；函数的性质及应用分析分类讨论A与1的大小关系，化简函数F（X）的解析式，利用单调性求得F（X）的最小值，再根据F（X）的最小值等于5，求得A的值解答解函数F（X）|X1|2|XA|，故当A1时，F（X），根据它的最小值为F（A）3A2A15，求得A6当A1时，F（X）3|X1|，它的最小值为0，不满足条件当A1时，F（X），根据它的最小值为F（A）A15，求得A4第16页（共24页）综上可得，A6或A4，故答案为6或4点评本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题四、解答题本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（13分）（2015重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个（）求三种粽子各取到1个的概率；（）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望考点离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有专题概率与统计分析（）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（）随机变量X的取值为0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望解答解（）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）（）随机变量X的取值为0，1，2，则P（X0），P（X1），P（X2），X012PEX012点评本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键18（13分）（2015重庆）已知函数F（X）SIN（X）SINXX（）求F（X）的最小正周期和最大值；（）讨论F（X）在上的单调性考点二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性菁优网版权所有第17页（共24页）专题三角函数的图像与性质分析（）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得F（X）的最小正周期和最大值（）根据2X0，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得F（X）在上的单调性解答解（）函数F（X）SIN（X）SINXXCOSXSINX（1COS2X）SIN2XCOS2XSIN（2X），故函数的周期为，最大值为1（）当X时，2X0，故当02X时，即X，时，F（X）为增函数；当2X时，即X，时，F（X）为减函数点评本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题19（13分）（2015重庆）如题图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACBD，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2（）证明DE平面PCD（）求二面角APDC的余弦值考点二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有专题空间角分析（）由已知条件易得PCDE，CDDE，由线面垂直的判定定理可得；第18页（共24页）（）以C为原点，分别以，的方向为XYZ轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得解答（）证明PC平面ABC，DE平面ABC，PCDE，CE2，CDDE，CDE为等腰直角三角形，CDDE，PCCDC，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，DE平面PCD（）由（）知CDE为等腰直角三角形，DCE，过点D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1，又由已知EB1，故FB2，由ACB得DFAC，故ACDF，以C为原点，分别以，的方向为XYZ轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），（1，1，0），（1，1，3），（，1，0），设平面PAD的法向量（X，Y，Z），由，故可取（2，1，1），由（）知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取（1，1，0），两法向量夹角的余弦值COS，二面角APDC的余弦值为第19页（共24页）点评本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题20（12分）（2015重庆）设函数F（X）（AR）（）若F（X）在X0处取得极值，确定A的值，并求此时曲线YF（X）在点（1，F（1）处的切线方程；（）若F（X）在3，）上为减函数，求A的取值范围考点利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题导数的综合应用分析（I）F（X），由F（X）在X0处取得极值，可得F（0）0，解得A可得F（1），F（1），即可得出曲线YF（X）在点（1，F（1）处的切线方程；（II）解法一由（I）可得F（X），令G（X）3X2（6A）XA，由G（X）0，解得X1，X2对X分类讨论当XX1时；当X1XX2时；当XX2时由F（X）在3，）上为减函数，可知X23，解得即可解法二“分离参数法”由F（X）在3，）上为减函数，可得F（X）0，可得A第20页（共24页），在3，）上恒成立令U（X），利用导数研究其最大值即可解答解（I）F（X），F（X）在X0处取得极值，F（0）0，解得A0当A0时，F（X），F（X），F（1），F（1），曲线YF（X）在点（1，F（1）处的切线方程为，化为3XEY0；（II）解法一由（I）可得F（X），令G（X）3X2（6A）XA，由G（X）0，解得X1，X2当XX1时，G（X）0，即F（X）0，此时函数F（X）为减函数；当X1XX2时，G（X）0，即F（X）0，此时函数F（X）为增函数；当XX2时，G（X）0，即F（X）0，此时函数F（X）为减函数由F（X）在3，）上为减函数，可知X23，解得A因此A的取值范围为解法二由F（X）在3，）上为减函数，F（X）0，可得A，在3，）上恒成立令U（X），U（X）0，U（X）在3，）上单调递减，AU（3）第21页（共24页）因此A的取值范围为点评本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题21（12分）（2015重庆）如题图，椭圆1（AB0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1（）若|PF1|2|2，求椭圆的标准方程；（）若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率E考点椭圆的简单性质菁优网版权所有专题创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程分析（）由椭圆的定义，2A|PF1|PF2|，求出A，再根据2C|F1F2|2，求出C，进而求出椭圆的标准方程；（）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|PF1|4A|PF1|，解得|PF1|2（2）A，从而|PF2|2A|PF1|2（1）A，再一次根据