第4章线性控制系统的复域分析法

1,第4章线性控制系统的复域分析法,目录4-l引言4-2绘制根轨迹的基本规则4-3广义根轨迹的绘制4-4纯迟延系统根轨迹的绘制4-5利用根轨迹分析控制系统4-6利用MATLAB进行根轨迹分析,2,4-l引言4.1.1根轨迹的基本概念根轨迹的提出对于图4-l所示单位反馈系统，已知开环传递函数为,图4-1反馈系统,3,则系统的闭环传递函数为,系统的特征方程为,系统的特征根或闭环极点为,(4-1),4,式(4-1)表明，闭环极点随变量k的变化而变化，从而影响系统的瞬态响应，系统具有不同的动态过程。因为系统闭环极点的位置影响系统的瞬态响应及品质指标。其中，(1)当k=0时；系统特征根s1=0,s2=-2，与开环极点重合。(2)当0k0.5时，系统特征根s1,s2均为负实根，系统呈过阻尼状态，阶跃响应单调变化。(3)当k=0.5时，s1=s2=-1，两根重合，其阶跃响应为临界阻尼状态。(4)当0.5m时，有m支根轨迹终止于开环零点，其余(n-m)支根轨迹趋向无穷远处。由此可见，n阶系统的n支根轨迹（n个分支）分别起始于n个开环极点，其中m支终止于m个开环零点，其余(n-m)支终止于无穷远处。如果把趋向无穷远处根轨迹的终点称为无限开环零点，有限数值的开环零点称为有限开环零点，那么可以说根轨迹必终止于开环零点处。从这个意义上讲，可得绘制根轨迹的规则2。规则2：根轨迹起始于开环极点，而终止于开环零点。,21,3根轨迹的渐近线由上可知，当系统的nm时，根轨迹一定有(n-m)支在k+时趋向无穷远处，根轨迹在无穷远处的趋向可由渐近线来决定。假设在根轨迹上无穷远处有一点s，即当s时,由于系统开环零、极点到根轨迹上无限远s点构成的向量差别很小，几乎重合。因而,可以将从各个不同的开环零、极点指向s点的向量,用从同一点a处指向无限远s点的向量来代替,即用向量(s-a)来代替向量(s-zj)和(s-pi)。,22,此时针对由根据特征式(4-7)所得的下式,(4-11),有,(4-12),即,(4-13),式中，,(4-14),23,式(4-13)即为根轨迹的渐近线方程。由式(4-13)可知，在给定开环传递函数的情况下（即n,m,pj,zi一定），自实轴上一定点a向无限远处根轨迹上的变点s作矢量(s-a)的长度为（因当k+时，k-1/(n-m)），相角a也一定，它不随s的变化而变化。,24,另外，根据式(4-11)和式(4-12)可得,(4-15),(4-16),比较式(4-15)和式(4-16)知，当s时，两式是等价的，其项的系数应相等，所以有,(4-17),25,规则3：当系统的nm时，根轨迹在k+时，有(n-m)支渐近线，它们与实轴的夹角a分别为,(4-18),其所有(n-m)支渐近线交于实轴上同一点，其交点坐标为,(4-19),26,说明:(1)由于开环零、极点或为实数或为共轭复数，故a必为实数，即各支渐近线的交点在实轴上。(2)在求渐近线与实轴的夹角a时，l依次取0,1,2,3,，直到所求值重复3600为止。(3)在(n-m)条渐近线中，两两与实轴成镜像关系。,27,4实轴上的根轨迹位于实轴上的根轨迹，可直接利用相角条件来判断，下面按两种情况讨论。,假设系统所有的开环零、极点均为实数,其分布如图4-5(a)中的z1，p1和p2所示。,图4-5开环零、极点分布,28,现假定讨论位于开环极点pl和p2之间的一段实轴，在该区间段上任取一点s0为试验点，很明显，从点s0左边的每一个实数开环零、极点向点s0所作矢量的相位角均为零，而从点s0右边的每一个实数开环零、极点向点s0所作矢量的相位角均为180。因此只有当点s0右边的实数开环零、极点总个数为奇数时，才满足相角条件。,29,(2)若系统还存在一对共轭复零点z2，3，和一对共轭复极点p3，4，其分布如图4-5(b)中所示。,由图4-5(b)可看出，开环复零点z2，3对实轴上任意一个试验点s0所作矢量的相位角之和为360，同理开环复极点p3，4对实轴上任意一个试验点s0所作矢量的相位角之和也为360，它们的位置对相角条件没有影响。因此，共轭复零点、共轭复极点对实轴上根轨迹的分布没有影响。,30,即,所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数之和(或差)必须是奇数。规则4：若实轴上某点右边的所有开环零点和开环极点数目之和为奇数，则这一点就是根轨迹。,如假设在试验点s0右边实轴上的开环零、极点数分别为m1和n1，在其左边实轴上的开环零、极点数分别为m2和n2，另外系统分别有m3和n3对共轭开环零、极点,则根据相角条件式(4-7)可得。,31,5根轨迹的分离（会合）点与分离（会合）角(1)分离（会合）点两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相交的点称为根轨迹的分离（会合）点。由于根轨迹对称于实轴，所以分离（会合）点可以位于实轴也可以位于复平面上。如图4-6所示。,图4-6根轨迹上的分离点和会合点,32,其中，在图4-6(a)和图4-6(b)中，分离点和会合点均位于实轴上，通常将根轨迹分支离开实轴进入复平面时与实轴的交点称为分离点，如图4-6(a)所示；而将根轨迹分支从复平面进入实轴时与实轴的交点称为会合点，如图4-6(b)所示。分离（会合）点还可以共轭复数对的形式出现在复平面中，如图4-6(c)所示。,33,由于根轨迹上的分离（会合）点实质上就是闭环特征方程的重根，因而可以利用求解方程重根的方法确定根轨迹上的分离（会合）点。针对式(4-6)所示系统，可得其特征多项式为,(4-20),则在根轨迹上的分离（会合）点，即系统特征方程的重根处，一定满足,(4-21),(4-22),34,将式(4-21)除式(4-22)得,(4-23),即,由于,所以,(4-24),35,根据式(4-24)，可得,利用式(4-25)求出实数s值（实轴上的根轨迹）中，使k0的点，即为所求的分离点与会合点。对应于重根处的k值，可由式(4-21)或特征方程式(4-7)求得，即,(4-26),(4-25),36,(2)分离（会合）角所谓分离（会合）角是指根轨迹进入分离（会合）点的切线方向与离开分离（会合）点的切线方向之间的夹角。这里不加证明地给出，当有条根轨迹进入并离开分离（会合）点时，分离（会合）角的计算公式为,(4-27),显然，当r=2时，分离（会合）角必为直角。,37,另外，因为针对于实轴上的根轨迹而言，在分离点处的k值最大，会合点处的k值最小。故也可根据求导来得到最大k值处的s值和最小k值处的s值。此时，利用根轨迹增益k的表达式(4-26)，将增益k对s求导，并令其为零，即，可得,(4-28),或,(4-29),38,可见，所得结果式(4-29)与式(4-23)是等价的。规则5：根轨迹的分离（会合）点可由式(4-25)或式(4-28)求解；分离（会合）点对应的根轨迹增益k可利用式(4-26)求解；根轨迹在分离（会合）点处的分离（会合）角可由式(4-27)求解。必须指出，规则5用来确定分离点或会合点的条件只是必要条件，不是充分条件，也就是说由式(4-25)或式(4-28)求的解不一定是分离点和会合点。只有当求出的重根点在根轨迹上时，该点才是分离点或会合点。所以在求出重根及对应的k值后，必须判断该点的k值,如果该点的k0，才能认为该点为分离点或会合点。,39,例4-1已知系统开环传递函数,试绘制k从0+变化时的根轨迹。,40,图4-7例4-1系统的根轨迹,41,6根轨迹与虚轴的交点由前可知，系统闭环极点的位置影响系统的瞬态响应及品质指标，特征根在s平面的左半平面时，系统处于稳定状态，根轨迹穿越虚轴进入右半平面，系统将不稳定，根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有一部分极点为纯虚数，系统处于临界稳定状态。为了判断系统的稳定范围，需确定根轨迹与虚轴的交点。,42,根轨迹与虚轴的交点可采用以下两种方法确定：1)利用劳斯判据，可求出系统临界稳定时的k值和根轨迹与虚轴的交点。,2)由特征方程,方程s=j联立求解，可得,即,(4-30),和虚轴,43,根据式(4-30)，则可解出根轨迹与虚轴的交点值及对应的临界开环增益k值。,规则6：根轨迹与虚轴的交点可根据劳斯判据或式(4-30)求解。,44,7根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角，是指起始于复数开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴方向的夹角。如图4-8中的p1角。而根轨迹的入射角，是指终止于复数开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴方向的夹角，如图4-9中的z1角.,图4-8根轨迹的出射角图4-9根轨迹的入射角,45,在图4-8所示根轨迹上，靠近起始点p1附近取一点s1，根据根轨迹相角条件有,当s1无限靠近pl时，则各开环零、极点指向sl的向量，就变成各开环零、极点指向pl的矢,即为出射角,量，而这时,更一般情况，根据相角条件式(4-7)，根轨迹在第a个开环极点pa处的出射角为,(4-31),46,同理可得，根轨迹在第b个开环零点zb处的入射,有了出射角与入射角，就可确定根轨迹在复数开环极点和复数开环零点处大致的起始方向与终止方向。规则7：根轨迹的出射角和入射角分别根据式(4-31)和式(4-32)计算。,角为,(4-32),47,例4-2单位反馈系统的开环传递函数,试绘制系统根轨迹。,48,图4-10例4-2的根轨迹,49,8系统的闭环极点之和与闭环极点之积系统的特征方程可表示为,当系统nm+2时，sm阶次比sn、sn-1要低，上式,闭环特征方程还可由闭环极点pci来表示,(4-35),(4-33),合并为,(4-34),50,比较式(4-34)与(4-35)中sn-1的系数有,式中，pci为系统闭环极点，i=l,2,n；pi为系统开环极点，i=l,2,n。根据这一规则可知，当系统nm+2时，根轨迹若有一些分支向左移，必有一些分支向右移动，以保持,不变。,(4-36),比较式(4-34)与(4-35)式的常数项可得，n个闭环极点之积为,(4-37),51,式中，pci为系统闭环极点，i=l,2,n；pi为系统开环极点，i=l,2,n；zj为系统开环零点，j=l,2,m；k为根轨迹增益。由此可见，当根轨迹增益k为确定值时，若已知一些闭环极点，利用根之和、根之积规则可以较方便地确定其它待求的根。规则8：当系统满足nm+2时，根轨迹增益k变化时，闭环极点之和为常数，等于开环极点之和。系统闭环极点之积满足式（4-37）。,52,由此可见，在给定系统开环零点和开环极点的情况下，利用以上介绍的绘制根轨迹的8条基本规则，就可以比较迅速地绘制出根轨迹的大致形状和变化趋势。如果对某些重要部分的根轨迹感兴趣，比如虚轴和原点附近的根轨迹，可以根据相角条件精确绘制。需要说明的是，根据系统的不同，绘制系统的根轨迹不一定要用到以上全部的绘制规则，有时只用到部分规则就可以绘制出系统完整的根轨迹。,53,图4-11正反馈控制系统,4.2.2正反馈系统的根轨迹,前面提到的建立根轨迹的基本规则是针对负反馈控制系统而言的。而对图4-11所示的正反馈控制系统，其闭环传递函数为,其特征方程式为,(4-38),54,由此可得正反馈系统的特征方程式应满足的两个条件幅值条件,相角条件,由式(4-38)、(4-39)可见正反馈系统根轨迹的幅值条件与负反馈系统的相同，而相角条件与负反馈系统的不同。因此绘制正反馈系统的根轨迹时，必须修改绘制负反馈系统根轨迹基本规则中的与相角有关的规则，即规则3、规则4和规则7。即：,(4-39),(4-40),55,规则3：正反馈系统根轨迹渐近线与实轴的夹角为,(4-41),规则4：正反馈系统在实轴上的根轨迹是分布在其右边的开环实零、极点总数为偶数的线段上。规则7：正反馈系统根轨迹的出射角为,根轨迹的入射角为,(4-43),(4-42),56,除了上述3条规则修改外，其它规则与负反馈系统相同。其中包括分离（会合）角的计算公式仍按式(4-28)计算。上面介绍的负反馈系统和正反馈系统根轨迹的绘制规则，都是在绘制根轨迹前首先将系统的开环传递函数表示成如式(4-6)所示的零、极点形式为基础，根据根轨迹增益k从0+变化，应用系统特征方程的相角条件或幅值条件进行推导的。这是因为对于某些控制系统虽然是负反馈（或正反馈）结构，但在其开环传递函数的分子或分母多项式中，s的最高次幂项的系数为负，使系统具有正反馈（或负反馈）的性质。所以对于这样的负反馈（或正反馈）系统，应采用正反馈（或负反馈）控制系统的根轨迹规则进行绘制。,57,由此可见，绘制系统的根轨迹时，不仅要看系统的结构，而且也要看系统的开环传递函数的形式，结合两者才能判断该系统的根轨迹满足的相角条件是式(4-5)还是式(4-39)，从而最终决定采用何种反馈方式的规则进行绘制系统的根轨迹。通常，也将复平面上所有满足相角条件式(4-5)的点s连成的曲线称为180等相角根轨迹，即上面介绍的负反馈系统的根轨迹，简称根轨迹；将复平面上所有满足相角条件式(4-39)的点s连成的曲线称为0等相角根轨迹，即上面介绍的正反馈系统的根轨迹。,58,例4-3系统结构图如图4-12所示，试绘制具有正反馈控制系统的根轨迹，并证明根轨迹为一圆。,图4-12正反馈控制系统,59,图4-13例4-3正反馈控制系统的根轨迹,60,4-3广义根轨迹的绘制前面讨论系统根轨迹的绘制方法时，是以根轨迹增益k（或开环增益K）为可变参量，这是在实际中最常见的情况。通常将上述以根轨迹增益k为可变参量的根轨迹称为常规根轨迹。而在实际控制系统中，有时需要研究根轨迹增益k以外的其它参数，如开环零点、开环极点、时间常数和反馈系数等对系统性能的影响，这时可绘制以其它参数为可变参数的根轨迹，称为参数根轨迹，或广义根轨迹。,61,4.3.1单参数根轨迹已知系统的开环传递函数为,假设m为可变参数，闭环系统的特征方程,(4-45),(nm)(4-44),62,总可以化成,当,的阶次不小于,的阶次时，有,否则，有,(4-48),(4-46),(4-47),63,比较式（4-45）和式（4-47）知，它们尽管等式左边的第二项不同，但它们都由同一特征方程式,得到，因而可得到相同的闭环极点，故可把,看成一个等效开环传递函数,，即令,(4-49),则,等效开环传递函数中m所处的位置与原开环传递函数中k的位置相同，这样就可按前述绘制以k为参变量的方法来绘制以m为参变量的根轨迹。,64,例4-4已知系统开环传递函数,试绘制k=6，T变化时系统的根轨迹。,65,图4-14例4-4控制系统的根轨迹,66,4.3.2多参数根轨迹在有些场合，需研究几个参数同时变化时对系统性能的影响。这时就需要绘制几个参数同时变化时的根轨迹，此时根轨迹将是一族曲线，称为根轨迹族。设系统开环传递函数为,试绘制k1和k2为可变参量的根轨迹族。,(4-50),第一步：令可变参数k2为零，绘制k1的根轨迹。第二步：令k1为某一常值，绘制k2变化时的根轨迹。,67,例4-5已知系统开环传递函数为,试绘制以k和a为参变量的根轨迹族。,68,图4-15例4-5控制系统的根轨迹,69,4-4纯迟延系统根轨迹的绘制在很多控制系统中，如过程控制系统的成分分析控制、温度控制等，不仅存在着时间常数较大的环节，还常有纯迟延存在，这时系统的开环传递函数中含有纯迟延因子e-s。假设系统的开环传递函数为,则系统闭环特征方程为,(4-56),(4-57),(4-55),70,由于e-s是一个超越函数，故式(4-57)为一超越方程，它有无穷多个根。因此，具有纯延迟系统的根轨迹有无穷多条分支，这是纯迟延系统根轨迹的特点。,则纯延迟系统根轨迹的幅值条件为,因为,相角条件为,(4-58),(4-59),式中，l=0,l,2,71,纯延迟系统根轨迹绘制的基本规则为：1根轨迹的分支数、对称性和连续性由于e-s是超越函数，可展开成无穷级数，即由此可知，e-s展成无穷级数后，方程式(4-57)仍为实系数方程，仅仅是阶次是无穷大的多项式。因而系统的特征根有无穷多个。当k从0+连续变化时，根轨迹对称于实轴，且连续变化。所以可得绘制纯迟延系统根轨迹的规则1。规则1：纯迟延系统的根轨迹是对称于实轴的连续曲线，其分支数为无穷多个。,72,2根轨迹的起点和终点由幅值条件(4-58)式可得当k=0时，即根轨迹的起点条件为s=pi或s的实部趋于-。当k=+时，由式(4-58)可得根轨迹的终止条件为s=zj或s的实部趋于+。规则2：纯迟延系统根轨迹的起始点为有限的开环极点pi和无穷多个-的无穷远点；而根轨迹的终止点为有限零点zj和无穷多个+的无穷远点。,73,3根轨迹的渐近线由上可知，纯迟延系统根轨迹的渐近线有无穷多条，且全部平行于s平面的实轴。渐近线与虚轴的交点由下式计算。(1)起点处的渐近线因在根轨迹的起点处有:k=0，-。所以，这时所有开环零、极点到s平面左半无穷远处变点s的矢量相角均为。根据纯迟延系统的相角条件式(4-59)有(4-60),74,为使式(4-60)成立，当n-m=奇数时，应为的偶数倍，即=2l(l=0,1,2,)当n-m=偶数时，应为的奇数倍，即=(2l+1)(l=0,1,2,)所以起点处的渐近线与虚轴的交点为当n-m=奇数时，=2l/(l=0,1,2,)(4-61)当n-m=偶数时，=(2l+1)/(l=0,1,2,)(4-62),75,(2)终点处的渐近线因在根轨迹的终点处有:k=，+。所以，这时所有开环零、极点到s平面右半无穷远处变点s的矢量相角均为0。根据纯迟延系统的相角条件式(4-59)有所以终点处的渐近线与虚轴的交点为=(2l+1)/(l=0,1,2,)(4-63)规则3：纯迟延系统的根轨迹在起点处和终点处均有无穷多条渐近线平行于实轴；其中，起点处的无穷多条渐近线与虚轴的交点按式(4-61)或式(4-62)计算；终点处的无穷多条渐近线与虚轴的交点按式(4-63)计算。,76,4实轴上的根轨迹在实轴上，将=0代入相角条件式(4-59)，其变为与常规根轨迹时相角条件相同，因此，确定实轴上根轨迹的规则4同前。,5其它规则同前，可仿照进行。,77,例4-6已知纯迟延系统开环传递函数为,试绘制k变化时系统的根轨迹。,78,图4-16例4-6控制系统的根轨迹,79,4-5利用根轨迹分析控制系统利用特征根在s平面上的位置分析系统的稳定性和动态特性是根轨迹法的重要应用。本节通过实例来具体说明。4.5.1利用根轨迹定性分析系统如果系统的根轨迹全部位于s左半平面，则对于所有的根轨迹可变参数，闭环系统都是稳定的。但是很多系统的根轨迹通常一部分位于s左半平面，而另一部分位于s右半平面。这意味着对于某些根轨迹的可变参数，在一定范围内取值时，闭环系统是稳定的；而取值超出此范围时，闭环系统是不稳定的。可变参数在一定范围内取值才能使闭环系统稳定，这样的系统称为条件稳定系统。对于条件稳定系统，可由根轨迹法确定使系统稳定的参数取值范围。即使对于稳定的系统，也可能由于根轨迹的不同，系统表现为不同的动态过程。,80,例4-7已知系统开环传递函数,(1)试绘制k从0+变化时的根轨迹；(2)利用根轨迹分析k对系统动态特性的影响；(3)利用根轨迹确定使闭环系统稳定时的根轨迹增益k的范围。,81,图4-18例4-7控制系统的根轨迹,82,4.5.2利用根轨迹定量分析系统1利用根轨迹估算系统的性能根轨迹分析法和时域分析法的实质是一样的，都可用来分析系统的性能。但是由根轨迹采用的是图解方法，与时域分析法相比，避免了繁琐的数学计算，又能清楚地看到系统开环根轨迹增益或其它开环参数变化时，系统闭环极点位置及其动态性能的改变情况。根轨迹法用于控制系统的分析和设计十分方便，尤其是对于具有主导极点的高阶系统，使用根轨迹对系统进行分析和设计更加简便。,83,对于典型二阶系统的传递函数,(4-65),在欠阻尼状态下，系统的两个闭环极点为一对共轭复极点，即,根据第3章3.3.4小节中的讨论可知，二阶系统的等线与负实轴间的夹角越小，系统的阻尼比就越大，则系统的超调量越小。闭环极点离开虚轴的距离越远，系统的调整时间越小。,；,84,图4-19,显然，如果二阶系统的闭环极点位于如图4-19所示的折线ABCD的左边区域，则必有,；,85,在具有主导极点的高阶系统中，可以使用该方法估算系统的动态性能指标。在进行高阶系统的性能指标估算时，应先确定系统的闭环主导极点；然后将