概率论第四章20170406

第四章连续型随机变量,为了对离散型和连续型随机变量r.v（randomvariable）以及更广泛类型的r.v给出一种统一的描述方法,引入了分布函数的概念，它是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量.本章首先引进分布函数的概念，然后给出连续型随机变量的定义，介绍几种常见的连续型随机变量及其数字特征。,4.1连续型随机变量的概念(conceptofContinuousRandomVariable),除了离散型随机变量外，还有一类重要的随机变量连续型随机变量，由于这种随机变量的所有可能取值可以取到区间a,b或(-，+)的一切值，取值无法像离散型随机变量那样一一排列，因而也就不能用离散型随机变量的分布律来描述它的概率分布，刻画这种随机变量的概率分布可以用分布函数，或者更常用的方法是用所谓的概率密度。,例设某厂生产某产品的规定尺寸为25.40cm,已知某批产品的最小尺寸为25.20cm,最大尺寸为25.60cm.现从这批产品中任取100件,得到100个测量值.计算得如下数据表:,我们关心的是随机变量落在某一区间的概率，这可通过统计样本的尺寸在每个小区间的频率近似得到。,25.235,25.565,建立频率柱形图如下:,当n无限增大,组距无限减小时,频率分布直方图就会无限接近一条光滑曲线,此即为随机变量X的概率密度曲线,以该曲线为图形的函数称为的概率密度函数.记为f(x).,这样，随机变量落在某区间的概率为区间上曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,4.1.2连续型随机变量(ContinuousRandomVariable),则称为连续型随机变量，而称f(x)为的分布密度函数（或概率密度函数），简称分布密度（或概率密度）。,f(x),x,面积,分布密度f(x)必须满足:,密度函数的几何特征：1分布密度函数的曲线总在横轴的上方，在整个实数轴有定义。,(3)对于任意实数,由概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的关系即得结论,进一步可得,上式说明：f(x)不是取值x的概率,但是它可反映在x点附近取值的概率的大小,注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即,证明：,由此可得：,1连续型随机变量的概率与区间的开闭无关,2设为连续型随机变量,=a是可能发生的事件,但总有,若为离散型随机变量,例6(书例4)：,确定a的值;求的分布函数F(x);求概率P(21).,解：(1)根据密度函数的非负性，有a0又由,解,例7,1234,例8设r.v的分布函数为,(1)求取值在区间(0.3,0.7)的概率；(2)求的概率密度.,解:(1)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3),=0.72-0.32=0.4,(2)f(x)=,注意到F(x)在x=1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点0,1处，任意规定的值.,设X为一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)。y=g(x)为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数,(1)求Y的分布函数FY(y),(2)对FY(y)求导，得到fY(y),连续型随机变量的函数的分布,一般方法,第一步先求Y=2X+8的分布函数,解,例,第二步由分布函数求概率密度.,4.1.3连续型随机变量的数学期望,定义：,否则称的数学期望不存在.,比较离散型情形：随机变量的概率分布为P(=xn)=pn,n=1,2,.,若级数绝对收敛,则称该级数为的数学期望,记为,4.1.3.1连续型随机变量的数学期望,f(x),在数轴上取分点x0x1x2.,分布律,可视为的离散近似,=maxxi0,解,例9,例10：设随机变量X服从柯西()分布,其密度函数为,解:由于积分,因此柯西分布的数学期望不存在.,在数轴上取分点x0x10,则,结果是，选择A，使满足,A,可见当,1.方差的计算,4.1.3.2方差、切比雪夫不等式,由随机变量的函数的期望计算公式得：,比较为离散型，P(=xk)=pk,D()=,证明,或利用公式计算(回顾离散型方差的性质),方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度.D()值越大,表示取值分散程度越大,或者说D()值小,表示的取值越集中.,2.方差的意义(与离散型同),解：,例13,于是,前面已算得：,2.切比雪夫不等式,证明：,取连续型随机变量的情况来证明.,切比雪夫不等式,证毕,切比雪夫不等式的等价形式,=0.75,=0.8889,=0.9375,切比雪夫不等式说明了任一随机变量落入区间|-E()|的概率可由方差D()估计,当D()越小时，落入该区间的概率越大，说明了方差D()确实反映取值的集中(于期望)程度。,D()=0的充要条件是P=E()=1(以概率1取常数C=E()）,P|-E()|,对任意的0,令0得,P=E()=1,进一步，我们还可证明：,充分性显然，下证必要性,设D()=0,由切比雪夫不等式,证明：,例14:假设一批种子的良种率为1/6，从中任意选出600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种数所占比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。,4.1.3.3贝努里大数定律：,定理2设n是n重贝努里试验中事件A发生的次数，A在每次试验中出现的概率为p,则对任意的0，有,证明：,由切比雪夫不等式,在上式令n取极限即,蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律,当投针次数N很大时，用针与线相交的频率n/N近似针与线相交的概率p(A)，从而求得的近似值.,贝努里大数定律建立了重复试验下事件发生的频率稳定于其概率P的性质，确定了“稳定”的意义，给用频率估计概率的方法提供了理论基础。,A=“针与任一平行直线相交”,已经算得,4.2重要的连续型随机变量,4.2.1均匀分布,概率密度函数图形,分布函数,分布函数图形,例1设随机变量在2,5上服从均匀分布,现对进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.,的分布密度函数为,设A表示“对的观测值大于3”的事件,解,即A=3.,因而有,设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则,解：,例2,的分布密度函数为,方程有实根的概率的充要条件为,均匀分布的期望和方差,则有,均匀分布的数学期望位于区间的中点.,均匀分布的特征是：随机变量落在任意小区间的概率只与小区间的长度有关，而与小区间的位置无关。某种意义上表现随机变量取值的“等可能”性。,4.2.2.1正态分布(或高斯分布),=5,正态概率密度函数的图形,正态分布的分布函数,标准正态分布的图形,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,正态分布的期望和方差,则有,正态分布下的概率计算,原函数不是初等函数，因此概率不能通过积分算出。,方法：转化为标准正态分布查表计算,解,例3,查表,解,例4,证明:,例5证明,证明:,-x,x,解,例6(书例10,查表,查表,解,查表,查表,(续),例7(书例11)已知电源电压UN(220,252)(单位V)通常有3种状态：电压不超过200V;电压在200240之间;电压超过240V.在上述三种状态下，某类电子器件损坏的概率分别是0.1，0.001,0.2.(1)求该类电子器件损坏的概率;(2)对已经损坏的该电子器件,分析在损坏时电源电压所处的状态.,解：设A=“电子器件损坏”,B1=“电压不超过200V”,B2=“电压在200V240V之间”,B3=“电压超过240V”,P(B1)=P(U200)=F(200),P(B3)=P(240U)=1-F(240),P(B2)=1-P(B1)-P(B3)=0.576,可算得：,又已知：,书例11已知电源电压UN(220,252)(单位：V)通常有3种状态：电压不超过200V;电压在200240之间;电压超过240V.在上述三种状态下，某类电子器件损坏的概率分别是0.1，0.001,0.2.(1)求该类电子器件损坏的概率;(2)对已经损坏的该电子器件,分析在损坏时电源电压所处的状态.,解：设A=“电子器件损坏”,B1=“电压不超过200V”,B2=“电压在200V240V之间”,B3=“电压超过240V”,P(B1),P(B2)=0.576，,由全概率公式：,书例11已知电源电压UN(220,252)(单位：V)通常有3种状态：电压不超过200V;电压在200240之间;电压超过240V.在上述三种状态下，某类电子器件损坏的概率分别是0.1，0.001,0.2.(1)求该类电子器件损坏的概率;(2)对已经损坏的该电子器件,分析在损坏时电源电压所处的状态.,解：设A=“电子器件损坏”,B1=“电压不超过200V”,B2=“电压在200V240V之间”,B3=“电压超过240V”,P(B1),P(B2)=0.576，,由贝叶斯公式,例8(书例12)设已知测量误差N(0,102),现独立重复进行100次测量，求误差绝对值超过19.6的次数不少于3有概率.,解：由已知N(0,102),故A=|19.6的概率可以算出,现独立重复进行100次，100次中A发生的次数B(100,0.05)，,故所求的概率为P3=1-P=0-P=1-1-P=2,n较大p较小,书例13某单位招聘155人，标准是以综合考试成绩从高到低分依次录用，现有526人报名应聘，假定考试成绩服从正态分布N(，2).已知90分以上12人，60分以下83人，已知某应聘者成绩是78分，问此人能否被录用？,解：,此人能录用，取决于录用率和此人的成绩在所有应聘者成绩的地位,录用率=155/526=0.2947,反查正态分布表,90,60,例13某单位招聘155人，标准是以综合考试成绩从高到低分依次录用，现有526人报名应聘，假定考试成绩服从正态分布N(，2).已知90分以上12人，60分以下83人，已知某应聘者成绩是78分，问此人能否被录用？,解得：,故该人可被录用,另法，根据录取率求出录取下限分数，也可得出结论.,即录取下限分数是75分，因此该人可被录用,4.2.3指数分布,指数分布密度函数图形,分布函数,指数分布分布函数图形,指数分布的期望与方差,则有,某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命,电力设备的寿命,动物的寿命等都服从指数分布.,应用与背景,指数分布的重要性质:“无记忆性”.,对任意的正数s,t,考虑条件概率,如果将看作某类动物的寿命，则上式可解释为某动物已活到s岁s，则它再活t年以上的概率与已经活过的岁数无关。所又称指数分布为“永远年青”的分布。,设顾客到某服务窗口办事，需要排队等候，若等待的服务时间(单位：min)服从指数分布,其概率密度为,1.试求顾客等待服务的平均时间?,书例18,2.某人到此窗口办事，在等待15分钟仍未能得到接待时，他就要愤然离去，若此人在一月内共去该处10次，试求,(1)有2次愤然离去的概率,(2)最多有2次愤然离去的概率,(3)至少有2次愤然离去的概率,解1,因此,顾客平均等待10分钟就可得到服务.,解2,先求任一次等待时，愤然离去的概率,则在10次排队中，愤然离去的次数B(10,0.2231),0.6735,(1)有2次愤然离去的概率,(2)最多有2次愤然离去的概率,(3)至少有2次愤然离去的概率,1.试求顾客等待服务的平均时间?,2.某人在等待15分钟仍未能得到接待时，就要离去，此人在一月内共去该处10次，试求,书例19假设一大型设备在任何长度为t的一段时间内发生故障的次数(t)服从参数为t的泊松分布，若用表示相邻两次故障之间的时间间隔，试求：(1)的概率分布;(2)在排除一次故障后，该设备能无故障运行8小时的概率Q1;(3)该设备在已经无故障运行了t0小时后，再无故障运行8小时以上的概率。,解(1)先求的分布函数，由定义,t0,时，先求P(t)=1-F(t),由的定义,t=在长为t的时间内