第二章基本初等函数

第二章章末总结,1.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.,关于指数、对数的运算,【名师指津】,2.对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).,【特别提醒】在运用对数的运算性质进行运算时，特别注意真数的变化和运算符号，以及公式运用过程中范围的变化.,【审题指导】第(1)题关于分数指数幂的运算，要把握分数指数幂的运算性质，要注意运算顺序.第(2)题关于常用对数的运算，对于底数相同的对数式的化简，要将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.,【规范解答】(1)原式=,数的大小比较常用方法(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.,数的大小比较,【名师指津】,(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.,【例2】比较下列各组数的大小.(1)27,82；(2)log0.22,log0.049;(3)a1.2,a1.3;(4)0.213,0.233.【审题指导】本题是关于指数式与指数式或对数式与对数式比较大小，可先尽量化为同底的指数式或对数式，再利用指数、对数函数的单调性比较大小.,【规范解答】(1)82=(23)2=26,由指数函数y=2x在R上单调递增知26log0.23,即log0.22log0.049.,(3)因为函数y=ax(a0且a1)当底数a大于1时在R上是增函数；当底数a小于1时在R上是减函数，而1.21时，有a1.2a1.3.(4)y=x3在R上是增函数，且0.211时，y=au是增函数，当01时，原函数在(-,-3上是减函数，在-3,+)上是增函数.当00,a1,x0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系.a变化时，函数的图象和性质也随之改变.,幂函数、指数函数、对数函数性质的综合应用,【名师指津】,(2)指数函数y=ax(a0,a1)的图象恒过定点(0，1)，对数函数y=logax(a0,a1,x0)的图象恒过定点(1，0).(3)指数函数y=ax(a0,a1)与对数函数y=logax(a0,a1,x0)具有相同的单调性.(4)指数函数y=ax(a0,a1)与对数函y=logax(a0,a1,x0)互为反函数，两函数图象关于直线y=x对称.,【例4】已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x)(1)判断函数的奇偶性；(2)若f(x)=lgg(x),判断函数g(x)在(0，1)上的单调性并用定义证明.【审题指导】本题关键是利用函数的奇偶性与单调性的定义证明.,【规范解答】(1)由得-10,g(x)在(0，1)上单调递减.,数形结合的应用数形结合就是把数学关系精确刻画，把代数关系与几何图形的直观形象有机地结合起来，从而充分揭示问题的条件与结论之间的内在联系，使问题转化为简单的、熟悉的问题来解决.数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范围等；有时用数形结合的思想寻找解题思路,通过数与形的相互转化达到“以形助数，以数解形”的目的.,数形结合思想,【名师指津】,【例5】求不等式x-10,x=2时，log6(2+3)-(2-1)0,所以1b0).(1)求f(x)的定义域；(2)若f(x)在(1,+)上递增且恒取正值，求a,b满足的关系