第九章多元函数微分法及其应用电子教案第五节

一、一个方程的情形,二、方程组的情形,本节将研究以下两个问题：,(1)一个或多个多元方程在什么条件下可以确定一个,或一组隐函数；,(2)方程能确定隐函数时，研究其连续性、可微性及,求导方法问题.,我们知道一元函数的图形是平面曲线，,二元方程,F(x,y)=0如果能确定一个一元隐函数，,则该一元隐函,数的图形当然也是平面曲线，,称之为隐式曲线,二元方程F(x,y)=0能绘制,出丰富多彩的隐式曲线,一、一个方程的情形,1.一元隐函数,心形线,CayleysSextic,笛卡尔叶形线,伯努利双纽线,精彩曲线1,精彩曲线2,精彩曲线3,卡通小人,定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内满足,则方程F(x,y)=0在点x0的某邻域内可唯一确定一个,单值连续函数y=f(x),并有连续,(1)具有连续的偏导数,(2),(3),满足条件y0=f(x0)，,导数,定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,一元隐函数求导公式,两边对x求导,在,的某邻域内,设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则,若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,的二阶导数:,则还可求隐函数,例1验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数y=f(x)，并求,例2验证方程,在点(0,0)某邻域,不能确定一个单值可导隐函数y=f(x)，但能唯一确定隐,函数x=g(y)，并求,例3验证方程,在点(0,0)的任一邻,域内都不能确定一个单值可导隐函数y=f(x)或x=g(y),2.二元隐函数,我们知道二元函数的图形是空间曲面，,三元方程,F(x,y,z)=0如果能确定一个二元隐函数，,则该二元隐,函数的图形当然也是空间曲面，,称之为隐式曲面,三元方程F(x,y,z)=0能绘,制出丰富多彩的隐式曲面,Roman曲面,ClebschCubic,Orthocircles,CayleyCubic,花生曲面,六通管道,爱心曲面,指环,定理2设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域,则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某邻域内可唯一,确定一个单值连续函数z=f(x,y),(1)具有连续的偏导数，,(2),(3),满足z0=f(x0,y0)，,并有连续导数,定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,内满足,二元隐函数求导公式,两边对x求偏导,同样可得,则,在(x0,y0,z0)的某邻域内Fz0,设z=f(x,y)是方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数,例4设,求,例5,设F(x,y)具有连续偏导数,已知方程,求dz.,二、方程组的情形,定理3设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，,又,F(x0,y0,u0,v0)=0，G(x0,y0,u0,v0)=0，,且偏导数所,组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式),在点P(x0,y0,u0,v0)不等于零，,则方程组,在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续,且具有连续偏导数的函数u=u(x,y)，v=v(x,y)，,它们,满足条件u0=u(x0,y0)，v0=v(x0,y0)，,并有,定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,确定隐函数组,则,两边对x求导得,设方程组,在点P的某邻域内,故得,系数行列式,这是关于,的线性方程组，,同理可得,例6设,求,例7设函数,在点(u,v)的某一,(1)证明函数组,(x,y)的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有连,(2)求,对x,y的偏导数.,在与点(u,v)对应的点,邻域内有连续的偏导数，且,续偏导数的反函数,例如，例6中的方程组,当x2+y20时，,可以确定一组隐函数,其