第2章(2)MATLAB矩阵及其运算

数值数组及其运算(二),2.2.1矩阵的大小,1.向量的长度(用length函数)a=123456;length(a)ans=6,2.矩阵的大小(用size函数)size(a)ans=16a=123;456;size(a)ans=23,2.2.2矩阵的拆分,1矩阵元素(引用方法有两种)(1)通过下标引用矩阵的元素，例如A=1520;20050;A(1,2)=20(2)采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。例如A=1,2,3;4,5,6;A(3)ans=2,显然，序号(Index)与下标(Subscript)是一一对应的，以mn矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。a=1520;2530a=15202530a(2,2)ans=30a(4)ans=30,序号(Index)与下标(subscript)相互转换关系也可利用sub2ind和ind2sub函数求得sub2ind下标换算成序号Ind2sub序号换算成下标,a=1520;2530a=15202530sub2ind(size(a),2,2)ans=4,a=1520;2530a=15202530ind=1234;ij=ind2sub(size(a),ind)i=1212j=1122,2矩阵拆分(1)利用冒号表达式获得子矩阵A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。A(i:i+m,:)表示取A矩阵第ii+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩阵第kk+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第ii+m行内，并在第kk+m列中的所有元素。此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。,例:,a=123;456;789a=123456789a(:,2)ans=258,a(2,:)ans=456,a(1end,:)ans=123789,a(12,:)ans=123456,a(13,:)ans=123789,b=123;a(b,:)ans=123456789,(2)利用空矩阵删除矩阵的元素在MATLAB中，定义为空矩阵。给变量X赋空矩阵的语句为X=。注意，X=与clearX不同，clear是将X从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为0。,例:,a=123;a=a=clearaa?Undefinedfunctionorvariablea.,2.2.3特殊矩阵,1通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。eye：产生单位矩阵。rand：产生01间均匀分布的随机矩阵。randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。,例2-3分别建立33、32和与矩阵A同样大小的零矩阵。(1)建立一个33零矩阵。zeros(3)(2)建立一个32零矩阵。zeros(3,2)(3)设A为23矩阵，则可以用zeros(size(A)建立一个与矩阵A同样大小零矩阵。A=123;456;%产生一个23阶矩阵Azeros(size(A)%产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵(特殊)建立一个222零矩阵。zeros(2,2,2),例：,zeros(3)ans=000000000zeros(3,2)ans=000000,A=123;456;zeros(size(A)ans=000000zeros(2,2,2)ans(:,:,1)=0000ans(:,:,2)=0000,2用于专门学科的特殊矩阵(1)魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素n2个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。,例将101125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。M=100+magic(5)M=117124101108115123105107114116104106113120122110112119121103111118125102109,(2)帕斯卡矩阵我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。,例求(x+y)4的展开式。pascal(5)ans=111111234513610151410203515153570矩阵次对角线上的元素1,4,6,4,1即为展开式的系数。,基本数学函数,1常用三角函数sin正弦函数asin反正弦函数cos余弦函数acos反余弦函数tan正切函数atan反正切函数,2常用双曲函数,sinh双曲正弦函数asinh反双曲正弦函数cosh双曲余弦函数acosh反双曲余弦函数tanh正双曲切函数atanh反双曲正切函数,应用举例,注意：所对应的角度均为弧度。sin(pi/2)ans=1sin(90)ans=0.8940,需用角度时，用函数sindsind(90)ans=1,3.指数函数,exp指数函数log自然对数函数log10常用(以10为底)对数因数log2以2为底对数pow2以2为底的幂函数sqrt平方根函数,例：,log(10)ans=2.3026log10(10)ans=1log2(16)ans=4,4复数函数,abs模函数angle相角函数conj复共矩函数imag复距阵虚部real复距阵实部,例：,a=1.5+2ja=1.5000+2.0000iabs(a)ans=2.5000angle(a)ans=0.9273conj(a)ans=1.5000-2.0000i,imag(a)ans=2real(a)ans=1.5000,5.舍入函数和剩余函数,fix朝零圆整函数(舍掉尾数)ceil朝+圆整函数(取高值返回不小于x的下一个整数)（5.56）Floor朝-圆整函数(取低值返回不大于x的下一个整数)（5.55）round四舍五入函数rem求余函数mod模除求余函数sign符号函数,示例：,0,5,6,5.5,-6,-5,-5.5,floor,fix,floor,ceil,fix,ceil,例：,fix(5.5)ans=5fix(-5.5)ans=-5ceil(5.5)ans=6,ceil(-5.5)ans=-5floor(5.5)ans=5floor(-5.5)ans=-6,求余函数,mod(x,y)=x-n.*y,这里n=floor(x./y)rem(x,y)=x-n.*y,这里n=fix(x./y),mod(3,2)ans=1mod(-3,2)ans=1,rem(3,2)ans=1rem(-3,2)ans=-1,符号函数,a=-101.2;-5.1-35a=-1.000001.2000-5.1000-3.00005.0000sign(a)ans=-101-1-11,数组的函数运算,a=123;-456a=123-456log(a)ans=00.69311.09861.3863+3.1416i1.60941.7918sin(a)ans=0.84150.90930.14110.7568-0.9589-0.2794,abs(a)ans=123456,运用技巧举例,某一数值分析中,已知输入参数为光波长L,输出参数为n,l,分别计算得到一组数据:A1=1,1.4,1e-6A2=1.5,1.35,1e-7A3=1.2,1.38,2e-5A4=2,1.41,3.5e-6要求绘制L与n和l的关系曲线。,方法一：L=11.21.52n=1.41.381.351.41l=1e-62e-51e-73.5e-6缺点：不直观；易出错；补充数据复杂,方法二,n=0;n=n+1;q(n,:)=1,1.4,1e-6;n=n+1;q(n,:)=1.5,1.35,1e-7;n=n+1;q(n,:)=1.2,1.38,2e-5;n=n+1;q(n,:)=2,1.41,3.5e-6;,p=sortrows(q);w=p(:,1);nx=p(:,2);lx=p(:,3);,#sortrows:对矩阵按行排序,结果,p=11.41e-0061.21.382e-0051.51.351e-00721.413.5e-006,q=11.41e-0061.51.351e-0071.21.382e-00521.413.5e-006,降序排序,q(:,1)=1./q(:,1)p=sortrows(q);p(:,1)=1./p(:,1);w=p(:,1);nx=p(:,2);lx=p(:,3);,结果,p=21.413.5e-0061.51.351e-0071.21.382e-00511.41e-006,关系操作和逻辑操作,所谓的基本逻辑关系运算指的是几乎所有的高级语言所普遍适用的逻辑运算。如大小的比较、逻辑与或非等逻辑关系。Matlab自身的特点：约定（1）所有的关系表达式和逻辑表达式中，输入的任何非0数都被看作“逻辑真”，0被认为“逻辑假”（2）所有的关系表达式和逻辑表达式的计算结果，是由0和1组成的逻辑数组，1表示“真”，0表示“假”（3）逻辑数组是特殊的数值数组，但又不完全相同，它还表示对事物的判断结论“真”和“假”,关系操作,符号运算符功能函数名=等于eq=不等于ne大于gt=大于等于ge说明:(1)标量可以与任何维数数组进行比较，比较在此标量与每个元素之间进行，因此结果将与被比数组同维(2)两个数组进行相比必须同维，比较在两数组同位置的元素间进行,【例2.13.1-1】关系运算示例。A=1:9,B=10-A,r0=(At=-2*pi:pi/10:2*pi;y=sin(t)./t;tt=t+(t=0)*eps;yy=sin(tt)./tt;subplot(1,2,1),plot(t,y),axis(-7,7,-0.5,1.2),xlabel(t),ylabel(y),title(残缺图形)subplot(1,2,2),plot(tt,yy),axis(-7,7,-0.5,1.2)xlabel(t),ylabel(yy),title(正确图形)Warning:Dividebyzero.(TypewarningoffMA